高中數學人教A版第一章空間幾何體 第一章單元檢測

第一章單元檢測班級____姓名____考號____分數____本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．下列說法中不正確的是()A．圓柱的側面展開圖是一個矩形B．圓錐中過軸的截面是一個等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊所在直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺中平行于底面的截面是圓面答案：C解析：本題考查了對基本概念的理解，根據圓柱、圓錐、圓臺的定義和性質知，應選C.2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1上下底面中心分別為O1、O2，將正方體繞直線O1O2旋轉一周，其中由線段BC1旋轉所得圖形是答案：D解析：由圖形的形成過程可知，在圖形的面上能夠找到直線，在B，D中選，顯然B不對．因為BC1中點繞O1O2旋轉得到的圓比B點和C1點的小，故選D.3．長方體一個頂點上的三條棱長分別為3,4，x，表面積為108，則x等于()A．2B．3C．5D．答案：D解析：該長方體的表面積為2(3×4＋3x＋4x)＝108，x＝6.4．過圓錐的軸的平面截圓錐所得三角形是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為()\f(π,3)\f(\r(3)π,3)\f(2π,3)\f(2\r(3)π,3)答案：B解析：由條件知圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，所以體積為eq\f(\r(3)π,3).5．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的側面積等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2答案：B解析：由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為3cm，母線長為5cm的圓錐，其側面積為πrl＝π×3×5＝15π6.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形答案：A解析：依據斜二測畫法的原則可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又∵AO⊥BC，∴AB＝AC＝2.故△ABC是等邊三角形．7．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，高為1，M為線段AB的中點，則三棱錐C－MC1D1的體積為\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)\f(2,3)答案：D解析：S△C1D1C＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝eq\f(1,3)S△C1D1C·h＝eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3).8．設正方體的表面積為24，那么其內切球的體積是()\r(6)π\(zhòng)f(4,3)π\(zhòng)f(8,3)π\(zhòng)f(32,3)π答案：B解析：正方體棱長為2，內切球半徑為1.9．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為12π＋eq\f(8\r(5),3)，則正視圖中x的值為()A．5B．4C．3D答案：C解析：該幾何體上部為正四棱錐(底面為正方形且頂點在底面的射影是正方形中心的四棱錐)，四棱錐的高為eq\r(32－22)＝eq\r(5)，底面正方形的邊長為2eq\r(2)；下部為圓柱，圓柱的高為x，底面圓的直徑為4.V四棱錐＝eq\f(1,3)×(2eq\r(2))2×eq\r(5)＝eq\f(8\r(5),3)，V圓柱＝π×22×x＝4πx，V四棱錐＋V圓柱＝eq\f(8\r(5),3)＋4πx＝eq\f(8\r(5),3)＋12π，所以x＝3，故選C.10．若正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為4，點M是棱AB的中點，則在該正方體表面上，點M到頂點C′的最短距離是()A．6B．10C．2eq\r(17)D．2eq\r(13)答案：D解析：將正方體展成一個平面再求最短距離．11．如右圖所示，A∈α，B∈l，C∈l，D∈β，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，P是棱l上的一個動點，則AP＋PD的最小值為()\r(5)B．2eq\r(2)C．3\r(10)答案：D解析：把α、β展開成一個平面，如圖，作AE∥BC，延長DC交AE于E，則AE＝BC＝1，EC＝1，∴在Rt△AED中有AD＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).12．如圖，如果底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下的部分的體積是()\f(1,3)πr2(a＋b)\f(1,2)πr2(a＋b)C．πr2(a＋b)D．2r2(a＋b)答案：B解析：將這樣兩個完全相同的幾何體拼在一起組成一個高為a＋b的圓柱．故圓柱被截下后剩下部分的體積為eq\f(1,2)πr2(a＋b)．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．若兩個球的半徑之比為1：2，且它們的體積之和為12π，則它們的表面積之和為________．答案：20π解析：設兩球半徑分別為r,2r，則體積之和為12πr3＝12π，r＝1，表面積之和為4π(r2＋4r2)＝20π.14．一個圓臺的上、下底面積分別為π、9π，中截面面積等于圓臺的側面積，則圓臺的母線長為________．答案：1解析：如圖所示，r1＝1，r3＝3，r2＝2，則π(1＋3)l＝π×4.∴l(xiāng)＝1.15．如圖，水平放置的三棱柱的側棱長和底面邊長均為2，且側棱AA1⊥底面A1B1C1，正視圖是邊長為2的正方形，則該三棱柱的側視圖的面積為________答案：2eq\r(3)解析：由題意知該三棱柱的側視圖為矩形，該矩形的長為2，寬為底面正三角形的高，其值為eq\r(3)，所以其側視圖的面積是2eq\r(3).16．一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個幾何體的表面積是________．答案：2(1＋eq\r(3))π＋4eq\r(2)解析：此幾何體是半個圓錐，直觀圖如圖所示，先求出圓錐的側面積S圓錐側＝πrl＝π×2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)π，S底＝π×22＝4π，S△SAB＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝4eq\r(2).所以S表＝eq\f(4\r(3)π,2)＋eq\f(4π,2)＋4eq\r(2)＝2(1＋eq\r(3))π＋4eq\r(2).三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)已知圓臺的上、下底面半徑分別是2和5，且側面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長．解：設圓臺的上、下底面半徑分別為r、R，母線為l，則有πr2＋πR2＝π(r＋R)l，所以l＝eq\f(πr2＋πR2,πr＋R)＝eq\f(22＋52,2＋5)＝eq\f(29,7).即該圓臺的母線長為eq\f(29,7).18．(12分)已知三棱柱三個側面都是矩形，若底面的一邊長為2cm，另兩邊長都為3cm，側棱長為解：由題意設AB＝AC＝3，BC＝2，AA′＝4，則底面BC邊上的高為eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，所以體積為V＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×4＝8eq\r(2)cm3，表面積為S＝2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋(3＋3＋2)×4＝4eq\r(2)＋32(cm2)．19．(12分)如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成兩部分，其中V1是三棱臺AEF－A1B1C1的體積，V2是多面體BCFEB1C1的體積，求V解：設三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh.因為E、F分別為AB、AC的中點，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)h(S＋eq\f(1,4)S＋eq\r(S·\f(S,4)))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，故V1：V2＝7：5.20．(12分)已知一圓錐的母線長為10cm，底面半徑為(1)求它的高；(2)若該圓錐內有一球，球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切，求球的體積．解：(1)高為eq\r(102－52)＝5eq\r(3)(cm)．(2)其軸截面如圖，設球的半徑為rcm，△SCE與△SBD相似，則eq\f(r,5)＝eq\f(5\r(3)－r,10)，解得r＝eq\f(5\r(3),3).于是，所求球的體積V球＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)))3＝eq\f(500\r(3)π,27)(cm3)21．(12分)如圖的三個圖是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖和正視圖、側視圖(單位：cm)．(1)請畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積和表面積；(3)若將五邊形ADD′GE繞直線DD′旋轉一周，求所得幾何體的表面積和體積．解：(1)俯視圖如圖所示．(2)所求多面體體積V＝V長方體－V主棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3)(cm3)．易求得EF＝EG＝FG＝2eq\r(2)，△EFG的面積S△EFG＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3)(cm2)，所以表面積S表＝2×(4×4＋4×6＋4×6)－3×(eq\f(1,2)×2×2)＋2eq\r(3)＝112＋2eq\r(3)(cm2)．(3)五邊形ADD′GE繞直線DD′旋轉一周得到的幾何體是一個底面半徑為4，高為2的圓柱與一個上底半徑為2，下底半徑為4，高為2的圓臺的組合體，其體積＝V圓柱＋V圓臺＝π×42×2＋eq\f(1,3)×(4π＋16π＋eq\r(4π×16π))×2＝eq\f(152,3)π(cm3)．該幾何體的表面積＝S圓臺表＋S圓柱表＝π(2＋4)×2eq\r(2)＋4π＋16π＋2π×4×2＝36π＋12eq\r(2)π(cm2)．22．(14分)養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m，養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多的食鹽．現有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經濟些？解：(1)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積V1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×(eq\f(16,2))2×4＝eq\f(256,3)π(m3)．如果按方案二，倉庫的高變成8m，則倉庫的體積V2＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π