高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程 市一等獎2

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝8，那么|AB|等于()A．9 B．10C．7 D．5解析：由拋物線方程知：p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p＝8＋2＝10，故選B.答案：B2．拋物線x2＝－4y的通徑為線段AB，O為拋物線的頂點，則()A．通徑長為8，△AOB的面積為4B．通徑長為8，△AOB的面積為2C．通徑長為4，△AOB的面積為4D．通徑長為4，△AOB的面積為2解析：|AB|＝2p＝4，S△AOB＝eq\f(1,2)×1×4＝2.答案：D3．若拋物線y2＝2px(p＞0)上一點到準(zhǔn)線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點橫坐標(biāo)為()A．6 B．2或8C．1或9 D．10解析：設(shè)點坐標(biāo)為(x0,6)，則62＝2px0，∴x0＝eq\f(18,p)，又x0＋eq\f(p,2)＝10，∴eq\f(18,p)＋eq\f(p,2)＝10，∴p＝2或p＝18，∴x0＝9或x0＝1，故選C.答案：C4．以拋物線y2＝2px(p>0)的焦半徑為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系是()A．相交 B．相離C．相切 D．不確定解析：如圖，取AF中點C，作CN⊥y軸，AM⊥y軸，可得|CN|＝eq\f(1,2)|AF|.故選C.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．拋物線y2＝16x上一點P到x軸的距離為12，則點P與焦點F間的距離|PF|＝________.解析：由于點P到x軸的距離為12，可知點P的縱坐標(biāo)為12，∴點P的橫坐標(biāo)x＝eq\f(y2,16)＝eq\f(12×12,16)＝9.由拋物線的定義知|PF|＝x＋eq\f(p,2)＝9＋4＝13.答案：136．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________.解析：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則x1＋x2＋p＝8.設(shè)直線AB的方程為y＝x－eq\f(p,2)，聯(lián)立y2＝2px，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p.∴3p＋p＝8，即p＝2.答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)7．正三角形AOB的兩個頂點在拋物線y2＝2px(p＞0)上．若S△OAB＝36eq\r(3)，試確定拋物線的方程．解析：由于正△AOB的A、B兩點在拋物線y2＝2px上，依對稱性知∠AOX＝30°，其中X為線段AB與x軸的交點．設(shè)OA所在直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)x.方法一：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x，,y2＝2px))得A(6p,2eq\r(3)p)，B(6p，－2eq\r(3)p)．則|AB|＝4eq\r(3)p.由S△AOB＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3)p)2＝12eq\r(3)p2＝36eq\r(3)，得p2＝3，p＝eq\r(3).故拋物線的方程為y2＝2eq\r(3)x.方法二：設(shè)|OA|＝a，由S△AOB＝eq\f(\r(3),4)a2＝36eq\r(3)知a＝12.即|OA|＝eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))x))＝12，得x＝±6eq\r(3)，y＝eq\f(\r(3),3)×(±6eq\r(3))＝±6.由于A(x，y)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，所以A(6eq\r(3)，6)．由點A(6eq\r(3)，6)在y2＝2px上得p＝eq\r(3).故拋物線的方程為y2＝2eq\r(3)x.8.已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．(1)若|AF|＝4，求點A的坐標(biāo)；(2)求線段AB的長的最小值．解析：拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1.(1)設(shè)A(x0，y0)，則|AF|＝|x0＋1|＝4，∴x0＝3，∴y0＝±2eq\r(3)，∴A(3，±2eq\r(3))．(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，|AB|＝4，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，易知k≠0，令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq\f(4,k2)＞4，綜上所述，|AB|≥4.∴線段AB的最小值為4.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)A、B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，滿足OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點)，求證：(1)A、B兩點橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別為定值；(2)直線AB經(jīng)過一個定點．證明：(1)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.∵OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.∴yeq\o\al(2,1)·yeq\o\al(2,2)＝4p2x1·x2＝4p2(－y1·y2)，∴y1·y2＝－4p2.∴x1·x2＝4p2，結(jié)論成立．(2)∵yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2p,y1＋y2).則直線AB的方程為y－y1＝eq\f(2p,y1＋y2)(x－x1)．∴y＝eq\f(2p,y1＋y2)·x－eq\f(2p,y1＋y2)·eq\f(y\o\al(2,1),