2022年山西省忻州市西雷中學高三數學理模擬試卷含解析

2022年山西省忻州市西雷中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，梯形中，,,,,將沿對角線折起．設折起后點的位置為，并且平面平面.給出下面四個命題：①；②三棱錐的體積為；③平面；④平面平面.其中正確命題的序號是

（A）①②

（B）③④

（C）①③

（D）②④參考答案：B2.下列函數在其定義域內,既是奇函數又存在零點的是 A． B． C. D．參考答案：B略3.雙曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點F1作曲線C2：x2+y2=a2的切線，設切點為M，延長F1M交曲線C3：y2=2px（p＞0）于點P，其中C1與C3有一個共同的焦點，若M為F1P的中點，則雙曲線C1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求出P的坐標，代入拋物線方程，從而求雙曲線的離心率．【解答】解：|OF1|=c，|OM|=a，|F1M|=b，又∵M為PF1的中點，∴|PF2|=2|OM|=2a，|PF1|=2b，∵C1與C3有一個共同的焦點，∴p=2c，設P（x，y），則x+c=2a，∴x=2a﹣c，∵c?yM=ab，∴yM=，∴yP=，代入拋物線方程可得=4c（2a﹣c），∵e＞1，∴e=．故選A．【點評】本題考查了學生的作圖能力及分析轉化的能力，考查了學生數形結合的思想應用，同時考查了雙曲線的定義，屬于中檔題．4.=（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C5.已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：①若；②若；③④若m、n是異面直線，

其中真命題是

（

）A．①和②

B．①和③

C．①和④

D．③和④參考答案：C6.如右圖，在一個長為，寬為2的矩形內，曲線

與軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形

內隨機投一點（該點落在矩形內任何一點是等可能的），則所

投的點落在陰影部分的概率是（）A．

B.

C.

D.參考答案：D7.世界華商大會的某分會場有A，B，C三個展臺，將甲，乙，丙，丁共4名“雙語”志愿者分配到這三個展臺，每個展臺至少1人，其中甲，乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數有(A)12種

(B)10種

(C)8種

(D)6種參考答案：D8.的展開式中的常數項是（

）A.-7 B.-5 C.5 D.7參考答案：B【分析】根據二項式展開式的通項公式，求得題目所求展開式中的常數項.【詳解】根據二項式展開式的通項公式可知，的展開式中的常數項是.故選：B【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式的應用，屬于基礎題.9.已知函數，則函數的圖象可能是（

）參考答案：B10.直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點，則“k=1”是“△OAB的面積為”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線與圓相交的性質．專題：直線與圓；簡易邏輯．分析：根據直線和圓相交的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結論．解答：解：若直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點，則圓心到直線距離d=，|AB|=2，若k=1，則|AB|=，d=，則△OAB的面積為×=成立，即充分性成立．若△OAB的面積為，則S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，則（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，則k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件．故選：A．點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關系是解決本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數在區(qū)間內任取兩個實數，且，不等式恒成立，則實數的取值范圍為

．參考答案：，表示點與點連線的斜率，因為，所以，，即函數圖象在區(qū)間內任意兩點連線的斜率大于1，即在內恒成立。由定義域可知，所以，即，所以成立。設，則，當時，函數的最大值為15，所以，即的取值范圍為。12.宿舍樓內的走廊一排有8盞燈，為節(jié)約用電又不影響照明，要同時熄掉其中3盞，但這3盞燈不能相鄰，則不同的熄燈方法種數有

（用數字作答）參考答案：答案：2013.已知為等差數列，其前項和為．若，，，則

▲

．參考答案：8略14.已知⊙O1和⊙O2交于點C和D，⊙O1上的點P處的切線交⊙O2于A、B點，交直線CD于點E，M是⊙O2上的一點，若PE=2，EA=1，AMB=30o，那么⊙O2的半徑為

參考答案：2，12略15.《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是：“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半．”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sn=尺．參考答案：【考點】數列的求和．【分析】根據題意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距離為等比數列，根據等比數列的前n項和公式，求得Sn．【解答】解：由題意可知：大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數列，前n天打洞之和為=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距離=2﹣，∴Sn=2n﹣1+2﹣=，故答案為：=．16.不等式的解集為

．參考答案：17.已知函數，則關于x的不等式f(x2)＞f(3－2x)的解集是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）【選修4—1:幾何證明選講】如圖，是圓的內接三角形，是圓的切線，交于點，交圓于點，已知，，，（1）求證：；（2）求

參考答案：（1）∵且，∴（2）∵，

∴，由（1）知是等邊三角形，∴，，又∵，∴，由可得：，又由（1）在中，，得19.在直角坐標系xOy中，過點P（2，﹣1）的直線l的傾斜角為45°．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極坐標建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4cosθ，直線l和曲線C的交點為A，B．（1）求曲線C的直角坐標方程；

（2）求|PA|?|PB|．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y求曲線C的直角坐標方程；

（2）利用參數的幾何意義求|PA|?|PB|．【解答】（1）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，…∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x…（2）∵直線l過點P（2，﹣1），且傾斜角為45°．∴l(xiāng)的參數方程為（t為參數）．…代入

y2=4x

得t2﹣6t﹣14=0…設點A，B對應的參數分別t1，t2∴t1t2=﹣14…∴|PA|?|PB|=14．…20.不等式選講

已知函數。（1）若的解集為，求實數的值。（2）當且時，解關于的不等式。

參考答案：略21.（12分）（2015秋?哈爾濱校級月考）已知函數．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上函數值的集合．參考答案：【考點】三角函數的周期性及其求法．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的圖像與性質．【分析】（Ⅰ）由調價利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性得出結論．（Ⅱ）由x∈區(qū)間，利用正弦函數的定義域和值域，求得函數的值域．【解答】解：（Ⅰ）由于函數=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故函數的最小正周期為=π．（Ⅱ）∵x∈區(qū)間，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，函數的值域為[﹣12]．【點評】本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的周期性、定義域和值域，屬于基礎題．22.（I）求|2x﹣1|+|2x+3|＜5的解集；（II）設a，b，c均為正實數，試證明不等式，并說明等號成立的條件．參考答案：【考點】不等式的證明；絕對值不等式的解法．【專題】證明題；轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅰ）根據（+）≥≥，當且僅當a=b時等號成立，同理得到其它，相加即可得以證明．【解答】解：（Ⅰ）由|2x﹣1|+|2x+3|＜5，可得①，②，，③，解①求得x∈?，解②