高中數學人教A版第二章平面向量學業(yè)分層測評14

學業(yè)分層測評(十四)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．設P是△ABC所在平面內一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，則()A．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0C．eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0【解析】因為eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，所以點P為線段AC的中點，故選項B正確．【答案】B2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【解析】eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，D三點共線．【答案】A3．(2023·北京高一檢測)四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形【解析】因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，又eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝－4a－b－(－5a－3b)＝a＋2b＝eq\o(AB,\s\up6(→)).又因在四邊形ABCD中，有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形．【答案】B4．已知O是△ABC所在平面內一點，D為BC邊中點，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A．eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) B．eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C．eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))【解析】由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))，又因為eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).【答案】A5.如圖2－2－20，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()圖2－2－20A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))【解析】eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).【答案】D二、填空題6．(2023·鄭州高一檢測)已知eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，若eq\o(PP1,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，則λ等于________．【解析】因為eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，所以－eq\o(PP1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(PP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P2,\s\up6(→)))，即eq\o(PP1,\s\up6(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，所以λ＝－eq\f(2,5).【答案】－eq\f(2,5)7．(2023·南寧高一檢測)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，O為平面上任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)【解析】eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝t(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))－teq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).【答案】(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))三、解答題8.如圖2－2－21所示，OADB是以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b為鄰邊的平行四邊形．又BM＝eq\f(1,3)BC，CN＝eq\f(1,3)CD，試用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).【導學號：00680044】圖2－2－21【解】eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(a－b)，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.9．(2023·紹興高一檢測)設a，b是兩個不共線的非零向量，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb(t∈R)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么當實數t為何值時，A、B、C三點共線？【解】∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a，∵A、B、C三點共線，∴存在實數λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即tb－a＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－\f(2,3)a)).由于a，b不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)λ，,－1＝－\f(2,3)λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))故當t＝eq\f(1,2)時，A、B、C三點共線．[能力提升]1．設O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的()A．外心 B．內心C．重心 D．垂心【解析】設BC的中點為M，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，又因為eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，且由題有eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝2λeq\o(AM,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AM,\s\up6(→))共線，又因為AM為△ABC的BC邊上中線，過重心，所以點P的軌跡通過△ABC的重心．【答案】C2．點E，F分別為四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點，設eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DA,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(EF,\s\up6(→)).【解】如圖：取AB的中點P，連接EP，FP，在△ABC中，因