第8章logistic回歸模型

第八章Logistic回歸模型許多社會(huì)科學(xué)的觀察都只分類(lèi)而不是連續(xù)的．比如，政治學(xué)中經(jīng)常研究的是否選舉某候選人．又如，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中所涉及的是否銷(xiāo)售或購(gòu)買(mǎi)某種商品、是否簽訂—個(gè)合同等等．這種選擇量度通常分為兩類(lèi)，即“是’與“否”．在社會(huì)學(xué)和人口研究中，人們的社會(huì)行為與事件的發(fā)生如犯罪、逃學(xué)、遷移、結(jié)婚、離婚、患病等等都可以按照二分類(lèi)變量來(lái)測(cè)量。線性回歸模型在定量分析中也許是最流行的統(tǒng)計(jì)分析方法，然而在許多情況下，線性回歸會(huì)受到限制.比如，當(dāng)因變量是一個(gè)分類(lèi)變量，不是一個(gè)連續(xù)變量時(shí)，線性回歸就不適用,嚴(yán)重違反假設(shè)條件.

分類(lèi)變量分析通常采用對(duì)數(shù)線性模型(Log-linearmodel),而因變量為二分變量時(shí),對(duì)數(shù)線性模型就變成Logistic回歸模型.logistic回歸是一個(gè)概率型模型，因此可以利用它預(yù)測(cè)某事件發(fā)生的概率。例如在臨床上可以根據(jù)患者的一些檢查指標(biāo)，判斷患某種疾病的概率有多大。目的：作出以多個(gè)自變量（危險(xiǎn)因素）估計(jì)應(yīng)變量（結(jié)果因素）的logistic回歸方程。屬于概率型非線性回歸。資料：1.應(yīng)變量為反映某現(xiàn)象發(fā)生與不發(fā)生的二值變量；2.自變量宜全部或大部分為分類(lèi)變量，可有少數(shù)數(shù)值變量。分類(lèi)變量要數(shù)量化。用途：研究某種疾病或現(xiàn)象發(fā)生和多個(gè)危險(xiǎn)因素（或保護(hù)因子）的數(shù)量關(guān)系。用檢驗(yàn)（或u檢驗(yàn)）的局限性：1.只能研究1個(gè)危險(xiǎn)因素；2.只能得出定性結(jié)論。1.成組（非條件）logistic回歸方程。2.配對(duì)（條件）logistic回歸方程。第八章第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束logistic回歸模型

一、兩分類(lèi)因變量與Logistic回歸模型事件發(fā)生的條件概率P(yi=1|xi)與xi之間的非線性關(guān)系通常是單調(diào)函數(shù)，假設(shè)有一個(gè)理論上存在的連續(xù)反應(yīng)變量yi代表事件發(fā)生的可能性，其值域?yàn)樨?fù)無(wú)窮至正無(wú)窮．當(dāng)該變量的值跨越一個(gè)臨界點(diǎn)c(比如c＝o)，使導(dǎo)致事件發(fā)生．于是有：當(dāng)yi*>0時(shí),yi=1在其它情況,yi=0這里，yi是實(shí)際觀察到的反應(yīng)變量,yi＝1表示事件發(fā)生．yi＝0表示事件未發(fā)生．如果假設(shè)在反應(yīng)變量yi*和自變量xi之間存在一種線性關(guān)系，即如果假設(shè)在反應(yīng)變量yi*和自變量xi之間存在一種線性關(guān)系，即這里，yi是實(shí)際觀察到的反應(yīng)變量,yi＝1表示事件發(fā)生．yi＝0表示事件未發(fā)生．由上面的式子得到：通常，假設(shè)公式中誤差項(xiàng)εi有l(wèi)ogistic分布或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．由于logistic分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布都是對(duì)稱(chēng)的，得到：如果εi為logistic分布，就得到logistic模型;如果εi為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，就得到probit模型.其中F為累積分布函數(shù).當(dāng)εi為logistic分布時(shí):上式可以變換為:記條件概率得logistic回歸模型pi是xi的非線性函數(shù)，可以轉(zhuǎn)換為線性函數(shù)定義不發(fā)生事件的條件概率為:那么事件發(fā)生概率與不發(fā)生概率之比為:這個(gè)比率成為事件的發(fā)生比（theoddsoftheexperiencinganevent）,簡(jiǎn)稱(chēng)odds，對(duì)odds取對(duì)數(shù)，可以得到對(duì)數(shù)發(fā)生比：上面的式子由于做了對(duì)數(shù)變換，被稱(chēng)作logit形式，也稱(chēng)作y的logit,即logit(y).當(dāng)有k個(gè)自變量時(shí)，相應(yīng)的logistic回歸模型將有如下形式：其中，pi=P(yi=1|x1i,x2i,…,xki)為在給定系列自變量x1,x2,…,xki的值時(shí)事件發(fā)生概率。第八章第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Logistic回歸模型估計(jì)最大似然估計(jì)(MaximumLikelihoodEstimation)最大似然估計(jì)法既可以用于線性模型，也可以用于更為復(fù)雜的非線性估計(jì)．方法:首先要建立似然函數(shù)(Likelihoodfunction)將觀測(cè)數(shù)據(jù)的概率表示為未知模型的參數(shù)選擇能夠使這一函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)估計(jì)一、建立似然函數(shù)假設(shè)有由N個(gè)案例構(gòu)成的總體、Yl，…YN，從中隨機(jī)抽取n個(gè)案例作為樣本，觀測(cè)值標(biāo)注為Yl,…,yn,設(shè)pi＝P(yi=1|xi)為給定xi的條件下得到結(jié)果yi＝1的條件概率。而在同樣條件下得到結(jié)果yi＝0的條件概率為1-pi,于是得到一個(gè)觀測(cè)值的概率為：其中yi=0或1，聯(lián)合分布可以表示為各個(gè)邊際分布的乘積：似然函數(shù)取對(duì)數(shù)為了求最大的估計(jì)參數(shù),得到回歸模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù):分別對(duì)α，?求偏導(dǎo)，令它等于0，可以得到似然方程組:由于方程是α和?的非線性函數(shù),求解是通過(guò)計(jì)算機(jī)迭代計(jì)算完成的.得到α和?的最大似然估計(jì)值從上面的兩個(gè)公式的得到的，?的值估計(jì)就是最大似然估計(jì)。按照慣例，用^表示估計(jì)值，p表示條件概率的估計(jì)值,這個(gè)值是在給定xi的條件下yi=1的條件概率的估計(jì)。它代表了logistic模型的擬合值或預(yù)測(cè)值，令偏導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)，這意味著觀測(cè)值之和等于預(yù)測(cè)概率之和，這一性質(zhì)在評(píng)價(jià)模型擬和情況時(shí)非常有用。二、模型估計(jì)的假設(shè)條件1.數(shù)據(jù)必須來(lái)自于隨機(jī)樣本2.因變量Yi被假設(shè)為K個(gè)自變量Xki的函數(shù)．3.Xi對(duì)多重共線性敏感,自變量之間存在的多重共線性會(huì)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)誤的膨脹。4.因變量是分類(lèi)變量5.因變量和各自變量之間的關(guān)系是非線性的6.在OLS回歸中要假設(shè)方差不變，類(lèi)似的假設(shè)在logistic中不需要7.沒(méi)有關(guān)于自變量分布的假設(shè)條件，自變量可以是連續(xù)變量，也可以使離散變量，還可以是虛擬變量，并且不需要假設(shè)它們之間存在多元正態(tài)分布三、最大似然估計(jì)的性質(zhì)logistic的最大似然估計(jì)與OLS估計(jì)的性質(zhì)幾乎完全相同，即logistic的最大似然估計(jì)有:一致性，漸進(jìn)有效性漸進(jìn)正態(tài)性四、模型估計(jì)的樣本規(guī)模最大似然估計(jì)具有的一致性、有效性和正態(tài)性都是一些很好的統(tǒng)計(jì)件質(zhì)，然而保持這些性質(zhì)的條件為樣本規(guī)模要很大．但是，這并不等于說(shuō)最大似然估計(jì)在小樣本時(shí)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)就—定不好．簡(jiǎn)單而言，我們通常并不知道在小樣本時(shí)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)究競(jìng)?cè)绾?。更?shí)際的問(wèn)題是，樣本在多大時(shí)就可以應(yīng)用最大似然化計(jì)，或多大樣本可以保證統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)得到顯著的結(jié)果．這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)無(wú)明確的答案．許多研究者在沒(méi)有其他方法可供選擇的條件下，便無(wú)論對(duì)大樣本還是對(duì)小樣本都用最大似然估計(jì)方法根據(jù)一些資深研究人員的看法，最大似然估計(jì)的大樣本性質(zhì)維持得較好，即使在中等規(guī)模樣本(比如M＝100)的條件下也能夠接受。Long(1997)提到，在樣本規(guī)模小于100時(shí)使用最大似然估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)較大．樣本大于500時(shí)就顯得比較充分了。第八章第三節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Logistic回歸模型的評(píng)價(jià)模型估計(jì)完成以后，我們需要評(píng)價(jià)模型如何有效地描述反應(yīng)金旦及模型匹配配觀測(cè)數(shù)據(jù)的程度如果模型的預(yù)測(cè)值能夠與對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值有較高的一致性，就認(rèn)為這一模型擬和數(shù)據(jù)．否則，將不能接受這一模型，就需要對(duì)模型重新設(shè)置。一、擬和優(yōu)度檢驗(yàn)預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值之間差別在開(kāi)始討論具體擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)指標(biāo)之前，先介紹一下協(xié)變類(lèi)型的概念,這一概念又稱(chēng)為子總體.協(xié)變類(lèi)型描述的是模型中協(xié)變量不同值的特定組合.如果模型中只包括兩個(gè)分類(lèi)變量,比如性別和重點(diǎn)大學(xué),出于性別和重點(diǎn)大學(xué)都是二分類(lèi)變量，因此模型中只有4種(即2x2)可能的協(xié)變類(lèi)型組合,即協(xié)變類(lèi)型或子總體為4個(gè)。在固定樣本規(guī)模n情況下，協(xié)變類(lèi)型越多，每個(gè)類(lèi)型(即每個(gè)子總體)中的案例數(shù)nj就越少在每個(gè)協(xié)變類(lèi)型中，預(yù)測(cè)的事件發(fā)生頻數(shù)表示為nj*，其中是第j種協(xié)變類(lèi)型中事件發(fā)生的模型預(yù)測(cè)概率。與此類(lèi)似，我們也可以計(jì)算每種協(xié)變類(lèi)型中事件末發(fā)生的頻數(shù).二、皮爾遜皮爾遜可以用通過(guò)比較模型預(yù)測(cè)的和觀測(cè)的事件發(fā)生和不發(fā)生的頻數(shù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ统闪⒌募僭O(shè).將觀測(cè)頻數(shù)和預(yù)測(cè)頻數(shù)代入標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算公式,J是協(xié)變類(lèi)型的種類(lèi)數(shù)目,Oj和Ej分別為第j類(lèi)協(xié)變類(lèi)型中的觀測(cè)頻數(shù)和預(yù)測(cè)頻數(shù)卡方值很小,意味著預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值之間沒(méi)有顯著差別卡方值很大,意味著預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值之間有顯著差別,擬合不佳三、偏差觀測(cè)值和預(yù)測(cè)值的比較還可以根據(jù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)表示，以作為模型所估計(jì)得最大似然值，它概括了樣本數(shù)據(jù)由這一模型所擬和的程度，由于這一統(tǒng)計(jì)量不能獨(dú)立于樣本規(guī)模，因此不能根據(jù)它的值估計(jì)模型的擬和優(yōu)度對(duì)于同一套數(shù)據(jù)還必須有一個(gè)基準(zhǔn)模型作為比較所設(shè)模型擬和優(yōu)度的標(biāo)準(zhǔn)。一種基準(zhǔn)模型為保和模型，它的最大似然值為，通過(guò)比較和，便可以估計(jì)所設(shè)模型代表數(shù)據(jù)的充分程度。通常采用-2乘以設(shè)定模型和飽和模型的最大似然值的對(duì)數(shù)：D統(tǒng)計(jì)量被稱(chēng)為偏差，D值越小，擬和優(yōu)度越好。四、Hosmer-Lemeshow擬合優(yōu)度指標(biāo)當(dāng)自變量數(shù)量增加時(shí)，尤其是連續(xù)自變量納入模型之后，協(xié)變類(lèi)型的數(shù)量便會(huì)很大，于是許多協(xié)變類(lèi)型只有很少的觀測(cè)案例．結(jié)果，偏差和皮爾遜卡方值不再適用于估計(jì)擬合優(yōu)度．Hosmer-Lemeshow研究了一種對(duì)logistic模型擬和優(yōu)度的檢驗(yàn)方法。Hosmer-Lemeshow指標(biāo)(記為HL)是一種類(lèi)似于皮爾遜χ2統(tǒng)計(jì)量的指標(biāo).它可以從觀測(cè)頻數(shù)和預(yù)測(cè)頻數(shù)構(gòu)成的2*G交互表中求得．其統(tǒng)計(jì)公式如下:其中G代表分組數(shù)，且G＜10,ng為第n組中的案例數(shù)；yg為第g組事件的觀測(cè)數(shù)量；為第g組的預(yù)測(cè)事件概率；ng為事件的預(yù)測(cè)數(shù)，實(shí)際上它等于第g組的預(yù)測(cè)概率之和．五、信息測(cè)量類(lèi)指標(biāo)另一種估計(jì)logistic回歸模型的擬合優(yōu)度的指標(biāo)是信息測(cè)量類(lèi)的指標(biāo)．這些指標(biāo)也可以用來(lái)比較不同模型的優(yōu)劣其中一種著名的信息測(cè)量指標(biāo)是Aknike信息標(biāo)準(zhǔn)。它的定義如下:其中K為模型中自變量的個(gè)數(shù)；S是反應(yīng)變量類(lèi)別總數(shù)減1（對(duì)于logistic回歸有S=2-1），n是觀測(cè)數(shù)量，是所設(shè)模型的估計(jì)最大似然值的自然對(duì)數(shù),其值較大表示擬合較好.其他條件不變的情況下,較小的AIC值表示擬合模型較好.AIC指標(biāo)還常常應(yīng)用于比較不同樣本的模型,或應(yīng)用于比較非嵌套關(guān)系的模型,而這些模型的比較不能采用似然比(L.R.)檢驗(yàn).六、Logistic回歸模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性—類(lèi)R2指標(biāo)線性回歸的R2有一種十分誘人的解釋特性，即它描述因變量的變動(dòng)中模型的自變量所“解釋”的百分比．但是，在logistic回歸分析中卻沒(méi)有相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)．不過(guò)，在模型似然值對(duì)數(shù)的基礎(chǔ)上，可以為logistic同歸模型計(jì)算某種類(lèi)似R2的指標(biāo)，表示如下：與R2類(lèi)似，LRI在0到1之間。當(dāng)自變量與因變量完全不相關(guān)時(shí)（即所有的回歸系數(shù)為0），LRI=0。當(dāng)模型的擬合程度提高時(shí)，LRI值增加，擬合得越好，LRI越接近1。七、模型卡方統(tǒng)計(jì)線性回歸及AN0VA模型中．常用自由度分別為K和n-K-1的F檢驗(yàn)(來(lái)檢驗(yàn)“除常數(shù)項(xiàng)外的所有系數(shù)都等于0”的無(wú)關(guān)假設(shè)。logistic回歸中服務(wù)于同一目的的檢驗(yàn)卻是似然比檢驗(yàn)，它可以用來(lái)檢驗(yàn)logistic回歸模型是否統(tǒng)計(jì)件顯著,似然比統(tǒng)計(jì)量近似地服從于卡方分布。實(shí)際上，模型卡方與多元線性回歸中的F檢驗(yàn)十分類(lèi)似.模型卡方作為一種卡方統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)可以提供關(guān)于零假設(shè)(即除常數(shù)項(xiàng)外的所有系數(shù)都等于0的假設(shè)，通常以公式表示為:H0:B1=B2=…=Bk=0第八章第四節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Logistic回歸系數(shù)的解釋當(dāng)logistic回歸模型能夠較好地?cái)M合數(shù)據(jù)時(shí)，便可以對(duì)模型的系數(shù)進(jìn)行解釋了．類(lèi)似于線性同歸系數(shù)，logistic回歸系數(shù)也可以被解釋為對(duì)應(yīng)自變量一個(gè)單位的變化所導(dǎo)致的因變量上的變化.logistic回歸模型的系數(shù)如果是正值且統(tǒng)計(jì)顯著，意味著在控制其他自變量的條件下．對(duì)數(shù)發(fā)生比隨對(duì)應(yīng)自變量值增加而增加;相反，一個(gè)顯著的負(fù)系數(shù)代表對(duì)數(shù)發(fā)生比隨對(duì)應(yīng)自變量的增加而減少;如果系數(shù)的統(tǒng)計(jì)性不顯著，說(shuō)明對(duì)應(yīng)自變量的作用在統(tǒng)計(jì)上與0無(wú)差異.由于Logistic回歸的因變量不是常規(guī)的連續(xù)變量，而是logit(即對(duì)數(shù)發(fā)生比，那么對(duì)應(yīng)每個(gè)自變量的估計(jì)系數(shù)便是對(duì)該自變量對(duì)logit的作用.盡管這種解直截了當(dāng)，但是其實(shí)十分含糊．因?yàn)閘ogit或?qū)?shù)發(fā)生比沒(méi)有較直觀的含義.通常，較方便的是將logit進(jìn)行轉(zhuǎn)換后再進(jìn)行解釋?zhuān)皇侵苯咏忉屜禂?shù)本身.如果我們將回歸模型等式兩側(cè)取自然指數(shù)，于是左邊便成為發(fā)生比(p／(1—p))．由于發(fā)生比是日常生活中的常用概念,比如關(guān)于高校錄取或投票選舉結(jié)果等成功與失敗的比率，因此這種解釋便變得容易理解．一、發(fā)生比和發(fā)生比率發(fā)生比是事件的發(fā)生頻數(shù)與不發(fā)生頻數(shù)之間的比，即：odds=(事件發(fā)生頻數(shù))/(事件不發(fā)生頻數(shù))由于發(fā)生比被表示為一個(gè)比值，因此其值域的上限無(wú)邊界，即可以在所有非負(fù)值域取值．當(dāng)比值大于1時(shí)，事件更為可能發(fā)生.比如，一個(gè)事件發(fā)生的概率為0.6．那么事件不發(fā)生的概率即0.4，于是發(fā)生比便等于0.6/0.4＝1.5這意味著事件發(fā)生的可能性是不發(fā)生的可能性的1.5倍，或者說(shuō)我們期望看到對(duì)應(yīng)每一次事件不發(fā)生有1.5次事件發(fā)生.如果發(fā)生比odd=0.25，說(shuō)明事件不發(fā)生可能性是發(fā)生可能性的4倍，或者說(shuō)可以期望對(duì)應(yīng)每4次事件不發(fā)生有1次事件發(fā)生.假設(shè)研究事件為“高中畢業(yè)后考入大學(xué)“(簡(jiǎn)標(biāo)為“是％)．否事件便是“未能考入大學(xué)”(簡(jiǎn)際為“否”)．共有1000名高中畢業(yè)生，其中550名男生、450名女生．因此，考入大學(xué)的發(fā)生比為“是”的頻數(shù)除以“否”的頻數(shù)．假如分別有259名男生和76名女生考入了大學(xué)(同時(shí)有291名男生和374名女生落榜)男生和女生的(是／否)發(fā)生比分別為：oddsm=259/291=0.8900;oddsf=76/374=0.2032而男生與女生的發(fā)生比率(OR)為：OR＝oddsm/oddsj＝0.8900/0.2032＝4.38二、按發(fā)生比解釋系數(shù)對(duì)logistic回歸系數(shù)進(jìn)行解釋時(shí)，很難具體把握以對(duì)數(shù)單位測(cè)量的作用幅度，所以通常將以logit單位推導(dǎo)的作用轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的發(fā)生比率.例如有如下模型：其中變量p為高中畢業(yè)后進(jìn)人大學(xué)的概率；變量GENDER表示性別(1為男性。0為女性)；變量KFYSCH表示高中類(lèi)型(1為重點(diǎn)中學(xué)，0為其他中學(xué))；變量MEANGR代表高中平均成績(jī)，GENDERKEYSCH都是虛擬變量，而MEANGR是連續(xù)變量。因?yàn)槔斫獍l(fā)生比比理解對(duì)數(shù)發(fā)生比更容易，logistic回歸模型可以按事件發(fā)生比的形式改寫(xiě)為:連續(xù)自變量的發(fā)生比率在上面的例子中，自變量MEANER的logistic回歸系數(shù)為=0.4245，因此MEANER增加一個(gè)單位將使發(fā)生比變化。e0.4245=1.529在社會(huì)科學(xué)研究中，人們對(duì)一些連續(xù)變量中一個(gè)單位值的變化通常不感興趣．比如，年齡增加1歲或收入增加1元的作用十分微小，并不重要而一個(gè)離散的變化，如年齡增加5歲或收入增加100元的變化也許更有意義．為了估計(jì)連續(xù)變量的調(diào)整發(fā)生比率，通常先要設(shè)定兩個(gè)要比較的變量值比方用a和b標(biāo)志這兩個(gè)代表連續(xù)自變量Xk水平的值，那么這個(gè)變量從a變到b時(shí)，其logit的變化為：調(diào)整發(fā)生比率為：其中，代表在控制其他變量條件下，xk變化一個(gè)單位時(shí)導(dǎo)致logit（對(duì)數(shù)發(fā)生比）的變化估計(jì)在我們的例子中，計(jì)算當(dāng)MEANGR比總平均值高5分時(shí)調(diào)整發(fā)生比率是多少，應(yīng)用上面的式子可以得到：AOR=exp[(5-0)×0.4245]=8.352分類(lèi)自變量的發(fā)生比率當(dāng)分類(lèi)自變量多于兩個(gè)類(lèi)別時(shí)，就要建立—組虛擬變量來(lái)代表類(lèi)型的歸屬性質(zhì)如果—個(gè)分類(lèi)變量包括m個(gè)類(lèi)別，那么可以產(chǎn)生m個(gè)相應(yīng)的虛擬變量．但是，建模需要的虛擬變量的數(shù)目應(yīng)等于分類(lèi)總數(shù)減l這就是說(shuō)，如果變量包括m個(gè)類(lèi)別，那只需要建立m-1個(gè)虛擬變量即可．不能同時(shí)在模型中包括m個(gè)虛擬變量，因?yàn)槠渲械拿恳粋€(gè)虛擬變量都是其余虛擬變量的線性組合，這會(huì)違反回歸的基本假設(shè)條件。從建模中省略的那個(gè)類(lèi)別稱(chēng)作參照類(lèi)比如，學(xué)校的類(lèi)型是個(gè)名義變量，如果我們定義它有三個(gè)類(lèi)別：重點(diǎn)中學(xué)，城市普通中學(xué)，農(nóng)村普通中學(xué)．我們將在模型中設(shè)置兩個(gè)虛擬變量SCH1(表示重點(diǎn)中學(xué))和SCH2(表示城市普通中學(xué))模型中沒(méi)有包括表示農(nóng)村普通中學(xué)的虛擬變量，所以農(nóng)村普通中學(xué)這個(gè)類(lèi)別就作為參照類(lèi).分類(lèi)變量的哪一類(lèi)別應(yīng)為參照類(lèi)是隨意的，在省略農(nóng)村普通中學(xué)虛擬變量的情況下當(dāng)一個(gè)學(xué)生屬重點(diǎn)中學(xué)時(shí)，虛擬變量SCH1=1，否則，SCHl=0；當(dāng)屬城市普通中學(xué)時(shí),虛擬變量SCH2=1，否則，SCH2=0這時(shí)，模型如下：如同在線性回歸中一樣，系數(shù)代表重點(diǎn)中學(xué)與農(nóng)村普通中學(xué)(參照類(lèi))在因變量上的差別．所以

為重點(diǎn)中學(xué)對(duì)農(nóng)村普通中學(xué)的發(fā)生比率．在同樣的基礎(chǔ)上，

為城市普通中學(xué)對(duì)農(nóng)村普通小學(xué)的發(fā)生比率。標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)通常在線性回歸模型中的自變量是以不同尺度測(cè)量的．比如。收入的單位是元，年齡的單位是歲，長(zhǎng)度單位可用厘米、分米、或米，如此等等，于是，某個(gè)自變量中的一個(gè)單位的變化并不等價(jià)于另一個(gè)自變量上一個(gè)單位的變化如果我們要比較因變量與不同自變量之間關(guān)系的強(qiáng)度，通常采用標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)．出于同樣的原因，在logistic回歸分析中也可以考慮使用標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)。對(duì)logistic回歸來(lái)說(shuō)Logistic回歸的標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)為：第八章第五節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Logistic回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷如果模型滿(mǎn)足假設(shè)條件，可以由樣本模型的結(jié)果對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)汁推斷．統(tǒng)計(jì)推斷有兩個(gè)含義:假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)．1.假設(shè)檢驗(yàn)涉及的一系列工作最后導(dǎo)致接受或拒絕總體參數(shù)所作假設(shè)陳述的結(jié)論；2.參數(shù)估計(jì)便是估計(jì)出總體參數(shù)的值(包括點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間估計(jì))．一、Logistic回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)在logistic回歸模型中自變量xk對(duì)logit作用的顯著性檢驗(yàn)．這涉及到一個(gè)自變量是否與反應(yīng)變量顯著相關(guān)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，以及如何建立和檢驗(yàn)這一假設(shè)并做出結(jié)論。假設(shè)零假設(shè)H0為：＝o(表示自變量對(duì)事件發(fā)生可能性無(wú)影響作用)如果零假設(shè)被拒絕、說(shuō)明事件發(fā)生可能性依賴(lài)于xk的變化。Wald檢驗(yàn)選擇顯著性水平以后，就可以計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量了，可以采用Z統(tǒng)計(jì)量：其中為的標(biāo)準(zhǔn)誤Wald統(tǒng)計(jì)量的一般形式:Qβ=r其中β為待檢驗(yàn)的模型參數(shù)向量,Q為常數(shù)矩陣(各元素值為0或1),r為常數(shù)矩陣(元素為0)W=[Qβ-r]’[QVar(β)Q’]-1[Qβ-r]~χ2(Q的行數(shù))常用統(tǒng)計(jì)軟件中，對(duì)logistic回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)時(shí)通常使用wald檢驗(yàn)，其公式為：決策的規(guī)則為:若W在α=0.05水平的χ2>3.841，拒絕H0若W在α=0.01水平的χ2>6.635，拒絕H0若W在α=0.001水平的χ2>10.828，拒絕H0似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)已經(jīng)證明，在大樣本時(shí)，如果兩個(gè)模型之間有嵌套關(guān)系．那么兩個(gè)模型之間的對(duì)數(shù)似然比乘以-2的結(jié)果(簡(jiǎn)標(biāo)為-2LL)之差近似服從卡方分布。這一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為似然比(1ikelihoodratio簡(jiǎn)標(biāo)為L(zhǎng).R.),在0~+∞之間.其中β為待檢驗(yàn)的模型參數(shù)向量,Q為常數(shù)矩陣(各元素值為0或1),r為常數(shù)矩陣(元素為0)L.R.=(-2LLm2)-(-2LLm1)=-2ln(Lm2/Lm1)若令:

回歸模型概率P：0～1，logitP：－∞～∞。

取值范圍

logistic函數(shù)的圖形模型參數(shù)的意義常數(shù)項(xiàng)表示暴露劑量為0時(shí)個(gè)體發(fā)病與不發(fā)病概率之比的自然對(duì)數(shù)?；貧w系數(shù)表示自變量改變一個(gè)單位時(shí)logitP的改變量。流行病學(xué)衡量危險(xiǎn)因素作用大小的比數(shù)比例指標(biāo)。計(jì)算公式為：優(yōu)勢(shì)比OR(oddsratio)與logisticP的關(guān)系：二、logistic回歸模型的參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)

原理：最大似然(likelihood)估計(jì)

可反映某一因素兩個(gè)不同水平（c1，c0）的優(yōu)勢(shì)比。

2.優(yōu)勢(shì)比估計(jì)

例:下表是一個(gè)研究吸煙、飲酒與食道癌關(guān)系的病例－對(duì)照資料，試作logistic回歸分析。

確定各變量編碼

表吸煙與食道癌關(guān)系的病例－對(duì)照調(diào)查資料

經(jīng)logistic回歸計(jì)算后得:的95可信區(qū)間:飲酒與不飲酒的優(yōu)勢(shì)比OR1的95可信區(qū)間

吸煙與不吸煙的優(yōu)勢(shì)比：三、logistic回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)2.Wald檢驗(yàn)1.似然比檢驗(yàn)方法：前進(jìn)法、后退法和逐步法。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：不是F統(tǒng)計(jì)量，而是似然比統(tǒng)計(jì)量、

Wald統(tǒng)計(jì)量和計(jì)分統(tǒng)計(jì)量之一。四、變量篩選例：

為了探討冠心病發(fā)生的有關(guān)危險(xiǎn)因素，對(duì)26例冠心病病人和28例對(duì)照者進(jìn)行病例對(duì)照研究，各因素的說(shuō)明及資料見(jiàn)下兩。試用logistic逐步回歸分析方法篩選危險(xiǎn)因素。表冠心病8個(gè)可能的危險(xiǎn)因素與賦值表冠心病危險(xiǎn)因素的病例對(duì)照調(diào)查資料

表方程中的自變量及有關(guān)參數(shù)的估計(jì)值第八章第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束條件logistic回歸

一、原理配對(duì)資料。最常用的是每組中有一個(gè)病例和若干個(gè)對(duì)照，即1:M配對(duì)研究（一般Ｍ≤３）表1:M

條件logistic回歸數(shù)據(jù)的格式

*t=0為病例，其他為對(duì)照條件logistic模型Pi表示第i層在一組危險(xiǎn)因素作用下發(fā)病的概率,表示各層的效應(yīng)，為待估計(jì)的參數(shù)。與非條件logistic回歸模型不同之處在常數(shù)項(xiàng)上，不同匹配組的可以各不相同，但內(nèi)在假定了每個(gè)危險(xiǎn)因素的致病能力在不同匹配組中相同。二、應(yīng)用實(shí)例例

某北方城市研究喉癌發(fā)病的危險(xiǎn)因素，用1:2配對(duì)的病例對(duì)照研究方法進(jìn)行了調(diào)查?，F(xiàn)選取了6個(gè)可能的危險(xiǎn)因素并節(jié)錄25對(duì)數(shù)據(jù)，各因素的賦值說(shuō)明、資料列于下表。試作條件logistic逐步回歸分析。表進(jìn)入方程中的自變量及有關(guān)參數(shù)的估計(jì)值

采用逐步法

6個(gè)危險(xiǎn)