第12章 氣體動(dòng)理論

第12章氣體動(dòng)理論教學(xué)基本要求一、理解平衡態(tài)、狀態(tài)參量等概念。二、理解宏觀物體的微觀圖像和理想氣體的宏觀、微觀模型。三、理解理想氣體的壓強(qiáng)及溫度的微觀本質(zhì)；熟練掌握理想氣體狀態(tài)方程、壓強(qiáng)公式、溫度公式的運(yùn)用。四、理解麥克斯韋速率分布函數(shù)、分布曲線的物理意義；掌握氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的最可幾速率、平均速率、方均根速率的意義及計(jì)算方法。五、理解能量按自由度均分定理，并能運(yùn)用其計(jì)算理想氣體的內(nèi)能。六、了解氣體分子的平均碰撞頻率、平均自由程的概念。作業(yè)：1-6,8,9,10,11,12,14,16,18

12.0概述氣體分子運(yùn)動(dòng)論以氣體為研究對(duì)象，從氣體分子熱運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用力學(xué)規(guī)律和統(tǒng)計(jì)的方法研究大量氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律。氣體分子運(yùn)動(dòng)論是人們深入到物質(zhì)內(nèi)部研究熱現(xiàn)象微觀本質(zhì)的基礎(chǔ)。

氣體分子運(yùn)動(dòng)論和熱力學(xué)都是研究熱現(xiàn)象問題，它們之間聯(lián)系很緊，但各有側(cè)重。氣體動(dòng)理論——微觀描述，研究大量數(shù)目的熱運(yùn)動(dòng)的粒子系統(tǒng)，應(yīng)用模型假設(shè)和統(tǒng)計(jì)方法.

熱力學(xué)——宏觀描述，實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，給出宏觀物體熱現(xiàn)象的規(guī)律，從能量觀點(diǎn)出發(fā)，分析研究物態(tài)變化過程中熱功轉(zhuǎn)換的關(guān)系和條件.兩種方法的關(guān)系氣體動(dòng)理論熱力學(xué)相輔相成

氣體動(dòng)理論揭示宏觀現(xiàn)象的本質(zhì)，但有局限性，與實(shí)際有偏差，不可任意推廣。

熱力學(xué)具有可靠性，但知其然而不知其所以然；主要用宏觀參量描述。宏觀量微觀量統(tǒng)計(jì)平均12.1.1平衡態(tài)在分子動(dòng)理論與熱力學(xué)中，把要研究的對(duì)象稱為系統(tǒng)或體系。對(duì)所研究的系統(tǒng)能夠發(fā)生相互影響的其他物體，稱為外界或環(huán)境。12.1平衡態(tài)理想氣體狀態(tài)方程熱力學(xué)第零定律系統(tǒng)的瞬時(shí)狀況稱為狀態(tài)。對(duì)于系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)，可將其劃分為平衡態(tài)及非平衡態(tài)。平衡態(tài)是指在沒有外界影響時(shí)，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)將不隨時(shí)間發(fā)生任何變化的宏觀狀態(tài)。否則，稱為非平衡態(tài)第一，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)在平衡狀態(tài)下雖然不隨時(shí)間變化，但是組成系統(tǒng)的大量微觀粒子卻仍處在不斷的運(yùn)動(dòng)中，只是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的平均效果不變而已。因此，熱力學(xué)的平衡狀態(tài)是一種動(dòng)的平衡，常稱為熱動(dòng)平衡。

第二，在平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)宏觀物理量的數(shù)值仍會(huì)發(fā)生或大或小的漲落，在適當(dāng)?shù)臈l件下可以觀察到這種漲落現(xiàn)象，這是統(tǒng)計(jì)平均的必然結(jié)果。說明真空膨脹12.1.2狀態(tài)參量

處在平衡態(tài)下的系統(tǒng)，其宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間發(fā)生任何變化，因而可以引進(jìn)一些描述系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的物理量來描寫系統(tǒng)的狀態(tài)，稱為狀態(tài)參量。

2.氣體壓強(qiáng)：作用于容器壁上單位面積的正壓力（力學(xué)描述）.單位：1.體積:氣體所能達(dá)到的最大空間（幾何描述）.

單位：標(biāo)準(zhǔn)大氣壓：緯度海平面處,時(shí)的大氣壓.若研究對(duì)象是混合氣體，則還需要用到反映系統(tǒng)化學(xué)成分的參量。當(dāng)有電磁現(xiàn)象出現(xiàn)時(shí)，除上述三類參量外，還要加上一些電磁參量，才能對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行完全描述。如電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度等。12.1.3溫度上述所提及的四類參量都不是熱學(xué)中所特有的，都不能直接表征系統(tǒng)的冷熱程度。必需引入一個(gè)新的物理量----溫度來對(duì)系統(tǒng)的冷熱程度進(jìn)行描述。1.熱平衡

假設(shè)有兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，原來均處在各自的平衡態(tài)，現(xiàn)在讓這兩個(gè)系統(tǒng)互相接觸，使它們之間能發(fā)生傳熱(這種接觸叫做熱接觸)。實(shí)驗(yàn)證明，一般而言，熱接觸后兩個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)都將發(fā)生變化，但經(jīng)過一段時(shí)間后，兩個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)便不再隨時(shí)間變化，表明它們已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)共同的平衡態(tài)。由于這種平衡態(tài)是兩個(gè)系統(tǒng)在發(fā)生傳熱的條件下達(dá)到的，因此，叫做熱平衡。

2.熱力學(xué)第零定律取三個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)A、B和C來做實(shí)驗(yàn)。將B和C互相隔絕開，但使它們同時(shí)與A熱接觸，經(jīng)過一段時(shí)間后，A和B以及A和C都將分別達(dá)到熱平衡。這時(shí)，如果再使B和C熱接觸，則可發(fā)現(xiàn)和的狀態(tài)都不再發(fā)生變化，說明B和C也是處于熱平衡的。由此得出結(jié)論：如果兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)中的每一個(gè)都與第三個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)處于熱平衡，則它們彼此也必定處于熱平衡，這稱為熱力學(xué)第零定律或熱平衡定律。

3.溫度

熱力學(xué)第零定律表明，處在同一平衡態(tài)的所有系統(tǒng)都具有一個(gè)共同的宏觀性質(zhì)，這個(gè)決定系統(tǒng)熱平衡的宏觀性質(zhì)定義為溫度。一切互為熱平衡的系統(tǒng)都具有相同的溫度。每個(gè)系統(tǒng)在熱平衡時(shí)的溫度僅僅決定于系統(tǒng)內(nèi)部的熱運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，實(shí)質(zhì)上它反映了組成系統(tǒng)的大量微觀粒子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。溫度的數(shù)值表示法稱為溫標(biāo)。早年建立而目前還在使用的溫標(biāo)有：華氏溫標(biāo)、攝氏溫標(biāo)；此外還有熱力學(xué)溫標(biāo)，它是一種理想溫標(biāo)。用該溫標(biāo)確定的溫度，稱為熱力學(xué)溫度或絕對(duì)溫度。

攝氏溫標(biāo)與熱力學(xué)溫標(biāo)的換算關(guān)系為熱力學(xué)溫度是基本的物理量，其單位為(kelvin，開爾文，簡稱開)，定義為水三相點(diǎn)熱力學(xué)溫度的1/273.16。理想氣體12.1.4理想氣體狀態(tài)方程但對(duì)于不同氣體、不同溫度和壓強(qiáng)的條件下，并非都遵守此實(shí)驗(yàn)定律。2.理想氣體：在實(shí)際應(yīng)用中，若氣體的密度不太大、溫度不太低、壓強(qiáng)能嚴(yán)格遵守試驗(yàn)定律的氣體，稱為理想氣體。不太大，許多種氣體都能較好地遵守氣體試驗(yàn)定律。1.實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)：當(dāng)一定質(zhì)量的氣體處于平衡態(tài)時(shí)，它的狀態(tài)參量壓強(qiáng)p、體積V和溫度T之間具有確定的關(guān)系狀態(tài)方程3.理想氣體狀態(tài)方程：VpRTM()kgMR氣體的質(zhì)量(kg)1mol(11)JmolK氣體的摩爾質(zhì)量8.31氣體普適常量nVpRTnMn或氣體的摩爾數(shù)設(shè)氣體分子的質(zhì)量為ｍ，氣體分子的總數(shù)為Ｎ，則氣體的質(zhì)量，氣體的摩爾質(zhì)量。則有是單位體積內(nèi)的分子數(shù)玻爾茲曼常數(shù)物質(zhì)與分子12.2分子熱運(yùn)動(dòng)的無序性及統(tǒng)計(jì)規(guī)律性12.2.1物質(zhì)的微觀模型費(fèi)曼曾經(jīng)說過：“假如在一次浩劫中所有的科學(xué)知識(shí)都被摧毀，只剩下一句話留給后代，什么語句可用最少的詞包含最多的信息？我相信，這是原子假說。即萬物由原子（微小粒子）組成，它們永恒地運(yùn)動(dòng)著，并在一定距離以外相互吸引，而被擠壓在一起時(shí)則相互排斥。在這一句話里包含了有關(guān)這世界巨大數(shù)量的信息”。的確，在長期觀察和大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，人們逐步認(rèn)識(shí)到，物質(zhì)是由大量的分子或原子組成的；分子永不停息地作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)；各分子間有相互作用的引力和斥力。這就是一般物質(zhì)的微觀模型，也是分子運(yùn)動(dòng)論的基本觀點(diǎn)。

物質(zhì)與分子1.宏觀物體是由大量的分子或原子組成N06.0221023個(gè)分子摩爾一秒鐘數(shù)200萬個(gè),要數(shù)100億年1摩爾的任何物質(zhì)所含的分子稱為阿伏加德羅N0常數(shù)數(shù)1molN0個(gè)組成物質(zhì)的分子數(shù)量非常巨大。在常溫、常壓下，空氣的分子數(shù)密度約為：2.51019個(gè)cm3物質(zhì)中含有如此巨大的分子數(shù)，表明分子是非常小的，若將分子看成小球，可估算出分子直徑的數(shù)量級(jí)一般為.

熱運(yùn)動(dòng)大量分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)稱為分子的熱運(yùn)動(dòng)2.分子都處在永不停息的、無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)中分子無規(guī)運(yùn)動(dòng)的激烈程度與物體的溫度有關(guān)許多常見的現(xiàn)象都可說明物質(zhì)結(jié)構(gòu)是不連續(xù)的，在分子之間存在著一定的空隙。例如氣體很容易被壓縮，說明氣體分子之間有空隙。物態(tài)與分子力3.分子之間有相互作用力——分子力rFF斥F引合力R0有效半徑r0固體分子或原子之間距離很近,束縛力也大,只考慮分子或原子在平衡位置附近的振動(dòng).液體分子或原子之間距離比固體遠(yuǎn),束縛力不太大,有一定流動(dòng)性.約10倍于分子自身線度,束縛力很小,可在各向運(yùn)動(dòng).氣體分子或原子之間距離相當(dāng)遠(yuǎn),rrr0數(shù)量級(jí)r0~10–

10mR0數(shù)量級(jí)~10–

8m引力為主rR0分子力可忽略

1）分子可視為質(zhì)點(diǎn)；

線度間距;

2）除碰撞瞬間,分子間無相互作用力；4）分子的運(yùn)動(dòng)遵從經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律.3）彈性質(zhì)點(diǎn)（碰撞均為完全彈性碰撞）；4.理想氣體的微觀模型

對(duì)于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時(shí)，必須用統(tǒng)計(jì)的方法..................................................................................小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律.12.2.2大量粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及統(tǒng)計(jì)方法1.大量粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律當(dāng)小球數(shù)N

足夠大時(shí)小球的分布具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律.設(shè)為第格中的粒子數(shù).概率粒子在第格中出現(xiàn)的可能性大小.歸一化條件

...................................................粒子總數(shù)2.統(tǒng)計(jì)性假設(shè)(1)系統(tǒng)內(nèi)氣體的分子數(shù)密度處處相同；(2)系統(tǒng)內(nèi)沿各方向運(yùn)動(dòng)氣體的分子數(shù)相等；(3)分子速度在各方向上的分量的各種統(tǒng)計(jì)平均值相等。設(shè)邊長分別為、

及

的長方體中有

N

個(gè)全同的質(zhì)量為m

的氣體分子，計(jì)算壁面所受壓強(qiáng).12.3理想氣體的壓強(qiáng)公式單個(gè)分子單位時(shí)間施于器壁的作用力為x方向動(dòng)量變化兩次碰撞間隔時(shí)間單位時(shí)間碰撞次數(shù)

單個(gè)分子遵循力學(xué)規(guī)律時(shí)間單個(gè)分子施于器壁的沖量為單位時(shí)間N個(gè)粒子對(duì)器壁總作用力

大量分子總效應(yīng)器壁受到的壓強(qiáng)為2）分子各方向運(yùn)動(dòng)概率均等分子運(yùn)動(dòng)速度熱動(dòng)平衡的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（平衡態(tài)）1）分子按位置的分布是均勻的大量分子對(duì)器壁碰撞的總效果：恒定的、持續(xù)的力的作用.單個(gè)分子對(duì)器壁碰撞特性:偶然性、不連續(xù)性.

方向速度平方的平均值各方向運(yùn)動(dòng)概率均等氣體壓強(qiáng)是氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能壓強(qiáng)公式

統(tǒng)計(jì)關(guān)系式壓強(qiáng)的物理意義宏觀可測量量微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值壓強(qiáng)是大量分子對(duì)時(shí)間、對(duì)面積的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果.分子平均平動(dòng)動(dòng)能宏觀可測量量微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值分子平均平動(dòng)動(dòng)能12.4理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系可得由式和這就是理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系溫度T的微觀統(tǒng)計(jì)意義3）在同一溫度下，各種氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能均相等。

熱運(yùn)動(dòng)與宏觀運(yùn)動(dòng)的區(qū)別：溫度所反映的是分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，它和物體的整體運(yùn)動(dòng)無關(guān)，物體的整體運(yùn)動(dòng)是其中所有分子的一種有規(guī)則運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn).1）溫度是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度（反映熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度）.注意2）溫度是大量分子的集體表現(xiàn)，個(gè)別分子無意義.（A）溫度相同、壓強(qiáng)相同。（B）溫度、壓強(qiáng)都不同。（C）溫度相同，但氦氣的壓強(qiáng)大于氮?dú)獾膲簭?qiáng).（D）溫度相同，但氦氣的壓強(qiáng)小于氮?dú)獾膲簭?qiáng).解

一瓶氦氣和一瓶氮?dú)饷芏认嗤?，分子平均平?dòng)動(dòng)能相同，而且它們都處于平衡狀態(tài)，則它們討論

例

理想氣體體積為V，壓強(qiáng)為p，溫度為T,一個(gè)分子的質(zhì)量為m，k為玻爾茲曼常量，R為摩爾氣體常量，則該理想氣體的分子數(shù)為：（A）（B）（C）（D）解凡例解法提要1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（1atm)=1.10310Pa5例已知某氧器瓶內(nèi)，氧氣的壓強(qiáng)p1.00

atm溫度27

Ct視為理想氣體，平衡態(tài)求氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能ke；分子數(shù)密度nkekT由32ke1.381023()27+27332J

6.211021()由pnke32pn32ke321.1031056.211021252.6610()個(gè)m3自由度在討論分子熱運(yùn)動(dòng)能量時(shí)，應(yīng)考慮分子各種運(yùn)動(dòng)形式的能量。實(shí)際上，由于氣體分子本身具有一定的大小和較復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此，分子除平動(dòng)外，還會(huì)有轉(zhuǎn)動(dòng)和分子內(nèi)原子間的振動(dòng)；相應(yīng)地，分子不僅具有平動(dòng)動(dòng)能，還可能存在轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和振動(dòng)動(dòng)能．為了計(jì)算分子各種運(yùn)動(dòng)形式的能量，需要12.5能量均分定理理想氣體的內(nèi)能本節(jié)討論氣體在平衡態(tài)下分子能量所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即能量按自由度均分定理．據(jù)此，可用來計(jì)算理想氣體的內(nèi)能和熱容。引用力學(xué)中自由度的概念。

自由度12.5.1分子的自由度i確定某物體空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目（），稱為該物體的自由度數(shù)。OZxyzXyabXyZOa,b5i2OH2,,N2xyz,,平動(dòng)自由度t轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r剛性雙原子分子ZxyzXyOi3AeHrN,,e平動(dòng)自由度txyz,,單原子分子ZzxyXyOjXyZOab,j6i2OH2,,COH4C剛性多原子分子xyz,,平動(dòng)自由度t轉(zhuǎn)動(dòng)自由度ra,b對(duì)于非剛性雙（多）原子分子，還有振動(dòng)自由度viv++rt能量均分定理12.5.2分子能量按自由度均分定理2mv2132kT每個(gè)平動(dòng)自由度的平均平動(dòng)動(dòng)能均為2kT11vx2v2v2yzv23因故2m1v22m1yv2z2kT1v22m1x

將等概率假設(shè)推廣到轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)能量相等，而且亦均等于2kT10000理想氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子平均平動(dòng)動(dòng)能為2kT1T能量均分定理（能量按自由度均分定理）在溫度為的平衡態(tài)下，氣體分子的每個(gè)自由度，都平均地具有的動(dòng)能。平均動(dòng)能20333333tri65362OCN2H2OH4HeArNeH2分子原子分子單原子分子雙原子分子多kT21()tr2ikTek剛性氣體分子的eketre平均動(dòng)能T處于平衡態(tài)溫度為的理想氣體，若將氣體分子看作剛性分子，tr如果分子有個(gè)平動(dòng)自由度，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，則個(gè)et2kTtrre2kT平均平動(dòng)動(dòng)能平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能氣體分子的平均動(dòng)能ek對(duì)于非剛性多原子分子，還有振動(dòng)自由度及振動(dòng)動(dòng)能和勢能內(nèi)能e2kTikEmol

1NeNkT2iRT2ikAANENek2kTiNN理想氣體的內(nèi)能1mol個(gè)剛性分子的理想氣體的內(nèi)能個(gè)剛性分子的1平均動(dòng)能12.5.3理想氣體的內(nèi)能E某一定量理想氣體的內(nèi)能組成氣體的全部分子的平均能量之和。剛性分子只考慮平均動(dòng)能。E8,i,T對(duì)給定氣體E8TnnERT2inmol理想氣體的內(nèi)能總質(zhì)量總質(zhì)量M摩爾質(zhì)量摩爾質(zhì)量M摩爾數(shù)摩爾數(shù)nnMM理想氣體RT2iMM內(nèi)能算例MM理想氣體質(zhì)量質(zhì)量摩爾質(zhì)量摩爾質(zhì)量U8,i,T對(duì)給定氣體U8Tmol理想氣體的內(nèi)能ERT2i若溫度變化T則內(nèi)能變化E2iRT2O例如5M103231.kgmOli在C0時(shí)2O分子的平均動(dòng)能ek2iT()J49.251.382103273.22101761mOlE在C0時(shí)2O的內(nèi)能1mOl2iTR.251.38273.5()J310g050在C0時(shí)2O的內(nèi)能ERT2i8273.053210325314.8.86()J10MMMMMMMMMM麥?zhǔn)纤俾史植即罅糠肿訜o規(guī)運(yùn)動(dòng)頻繁碰撞微觀上：每個(gè)分子的速率都不斷隨機(jī)變化，速率千差萬別。宏觀上：在一定條件下，分子的速率分布具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。實(shí)驗(yàn)和理論都證明分子質(zhì)量為的大量同種分子m在同樣的熱平衡溫度的情況下T0分子的運(yùn)動(dòng)速率v服從某種速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律麥克斯韋速率分布律12.6氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的速率分布律實(shí)驗(yàn)裝置測定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵分子速率分布圖：分子總數(shù)為速率在區(qū)間的分子數(shù).表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比.12.6.1速率分布函數(shù)在速率分布中，速率這一隨機(jī)變量是連續(xù)變化的。在測量速率時(shí)，由于測量儀器總有一定誤差，我們測不出恰好為某一速率的分子數(shù)是多少，但我們能測出具有某一間隔內(nèi)的分子數(shù)，下面我們通過實(shí)際例子來說明這一問題。表12.6.1表示在00C時(shí)氧氣分子的速率分布情況。表中的速率間隔為，為相應(yīng)區(qū)間中的分子數(shù)。由表可見,速率在區(qū)間的分子數(shù)占?xì)怏w分子總數(shù)的百分比最大；在大量分子的熱運(yùn)動(dòng)中，像上述這樣的低速及高速運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)較少、而多數(shù)分子以中等速率運(yùn)動(dòng)的分布情況，對(duì)處于任何

溫度下的任何一種氣體來說．大體上都是如此．這就是分子速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。這時(shí)比率就變?yōu)?，亦即，在某一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率與成正比，與成正比。因此有，它只是速率的函數(shù)，叫做氣體分子速率分布函數(shù)。它的物理意義是：一定量的氣體，在平衡態(tài)下，速率在附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。如果確定了速率分布函數(shù)方法求出分布在任一有限速率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：由于全部分子百分之百地分布在由0到∞整個(gè)速率范圍內(nèi)，所以如果在上式中取其結(jié)果顯然為1，即

這個(gè)關(guān)系式是由速率分布函數(shù)本身的物理意義所決定的，叫做速率分布函數(shù)的歸一化條件，是速率分布函數(shù)應(yīng)滿足的條件。，就可以用積分的fvOvv12v麥?zhǔn)戏植己瘮?shù)12.6.2麥克斯韋速率分布律（函數(shù)）若m0、T

給定，玻耳茲曼常數(shù)，函數(shù)圖形為k有單峰，不對(duì)稱vp速率分布曲線fvOv速率恒取正v2edvm2vT43/2m2Tfv2vppkkdNN001.麥克斯韋速率分布律

速率分布曲線Ov分布曲線轉(zhuǎn)換成相對(duì)分子數(shù)密度按速率的分布N總分子數(shù)dvvdNfvdNNdvv速率分布函數(shù)（概率密度函數(shù)）（附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率）vv+dv處于到速率間隔內(nèi)的分子數(shù)2edvm2vT43/2m2Tfv2vppkkdNN00統(tǒng)計(jì)意義OvfvdvdNNv（附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率）dvvv+dv速率區(qū)間的fvdvNdNvv12v1v2分子數(shù)v1v2fvdvdNN1vv12占分子總數(shù)的概率速率區(qū)間的分子數(shù)v1v2fvdvdNNvv+dv微區(qū)間的分子數(shù)占分子總數(shù)的概率速率分布函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義不同條件比較O1m2mvvp1p2v相同T1m2mfvT1OT2vp1p2vv同一種氣體T2T1fvmT不同的速率分布曲線的比較（或）

最概然速率edNNdvm2vT43/2m2Tfv2vpp速率分布函數(shù)kk

fvOvvp(1)最概然速率vpvp與此函數(shù)的極大值對(duì)應(yīng)的速率稱為最概然速率m2Tkb

fvddv0令2vev2ddv0ab即其中2.分子運(yùn)動(dòng)的三種統(tǒng)計(jì)速率(最可幾速率)141RTvpm2Tk

易得Tvp8mT

或2平均速率v(2)平均速率（算術(shù)平均速率）利用積分公式

式中：得到方均根速率v2(3)方均根速率v2（的統(tǒng)計(jì)平均值的開平方）v2以作為參與統(tǒng)計(jì)平均的連續(xù)變量利用積分公式,得到速率小結(jié)三種速率小結(jié)最概然速率vp1.41=kT2m=RT平均速率v1.60=RT=kTm8p方均根速率1.732v=kTm3RT=

討論

麥克斯韋速率分布中最概然速率的概念下面哪種表述正確？（A）是氣體分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值.（D）速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比率最大.特征速率例題氧氣摩爾質(zhì)量例已知3.20102kgmol1溫度t27C處于平衡態(tài)求氣體分子的vpv和v2解法提要：T27273300（k）483(ms)1394(ms)1447(ms)1vp141RTv1RT06v21RT37

例計(jì)算在時(shí)，氫氣和氧氣分子的方均根速率.氫氣分子氧氣分子1）2）

例已知分子數(shù)，分子質(zhì)量，分布函數(shù)求1）速率在間的分子數(shù)；2）速率在間所有分子動(dòng)能之和.速率在間的分子數(shù)例

如圖示兩條曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，從圖上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最可幾速率.2000歸一化例題例

假設(shè)有大量的某種粒子，總數(shù)目為N，其速率分布函數(shù)為fv0v0v0v0vvc0vvc0v,均為正常數(shù)，且為已知0v畫出該速率分布函數(shù)曲線根據(jù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件，確定系數(shù)c求速率在區(qū)間的粒子數(shù)~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v拋物線方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v2c續(xù)33概率分布函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件fv80dv1本題v0vfv000vvc0vvdv要求0v361c1得c60v3~0速率在300v區(qū)間的粒子數(shù)N0300vfvdvN0300vv0vvdv60v3N6201NN得例

假設(shè)有大量的某種粒子，總數(shù)目為N，其速率分布函數(shù)為fv0v0v0v0vvc0vvc0v,均為正常數(shù)，且為已知0v畫出該速率分布函數(shù)曲線根據(jù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件，確定系數(shù)c求速率在區(qū)間的粒子數(shù)~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v拋物線方程ddvf0得fMax4c0v2vp0v2000vfv4c0v2v0v2平均自由程12.7.1平均碰撞頻率和平均自由程熱運(yùn)動(dòng)分子之間分子的運(yùn)動(dòng)路徑頻繁碰撞曲折復(fù)雜12.7氣體分子的平均碰撞頻率和平均自由程在相繼的兩次碰撞之間，可以認(rèn)為分子是在慣性支配下作勻速直線運(yùn)動(dòng)，它所經(jīng)過的這段直線路程，就是自由程。碰撞頻率分子在單位時(shí)間內(nèi)與其它分子的平均碰撞次數(shù)稱

碰撞頻率Z碰撞頻率的倒數(shù)為

相鄰兩次碰撞時(shí)間t1Z分子在與其它分子的相鄰兩次碰撞之間所經(jīng)歷路程的平均值為平均自由程llvtZv氣體在一定的狀態(tài)下，由于大量分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，分子的自由程具有確定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。自由程的平均值叫做平均自由程，用表示。

v為分子的平均速率1.分子為剛性小球；2.分子有效直徑為（分子間距平均值）；3.其它分子皆靜止,某一分子以平均速率相對(duì)其他分子運(yùn)動(dòng).12.7.2影響平均碰撞頻率和平均自由程的因素假設(shè)設(shè)想以A為中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線，以分子的有效直徑d為半徑作一個(gè)曲折的圓柱體，這樣，凡是中心在此圓柱體內(nèi)的分子都會(huì)與相碰。

自由程推導(dǎo)dddddddDABCaZvl若能找出與的關(guān)系，則可求質(zhì)心在半徑為、長度為的圓柱體內(nèi)的分子都會(huì)與相碰。設(shè)分子的碰撞路徑ABCD長度dtvatva設(shè)氣體分子數(shù)密度n則柱內(nèi)分子數(shù)為nVtn2pdv平均碰撞頻率ZnVtn2pdvnsvs2pd其中稱為碰撞截面但其它分子也在運(yùn)動(dòng)要作相對(duì)速率修正lvtZv平均自由程先假設(shè)其它分子靜止自由程算式lvtZv平均自由程平均碰撞頻率Zn2pdvnsv相對(duì)速率修正u2v證明略()Zvvn2pd2ns2ln2pd21ns21pTknlTk2pd2pTk2spT恒定l8p1,pl,Z若則單位時(shí)間內(nèi)平均碰撞次數(shù)考慮其他分子的運(yùn)動(dòng)

分子平均碰撞次數(shù)圓柱體的截面積

在時(shí)間t內(nèi)，所走過的路程為，相應(yīng)的圓柱體的體積為分