第11章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

第11章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程§11-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程§11-1動(dòng)力學(xué)基本定律§11-3非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程引言1.動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與它的質(zhì)量和受力情況之間的關(guān)系。

美國(guó)的Tacoma老橋于1940年11月7日因風(fēng)力引起的振動(dòng)而產(chǎn)生斷裂破壞。建造設(shè)計(jì)風(fēng)速60m/s破壞時(shí)的風(fēng)速19m/s2.力學(xué)模型(1)質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量，而其形狀和大小對(duì)所研究的問(wèn)題不起主要作用，可以忽略不計(jì)的物體。例如：研究衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)研究衛(wèi)星的姿態(tài)時(shí)剛體；

剛體作平動(dòng)時(shí),剛體質(zhì)點(diǎn)。(2)質(zhì)點(diǎn)系：由有限或無(wú)限個(gè)有著一定聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。

非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制。質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)中普遍的抽象化模型；包括剛體、彈性體、流體。

自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不受約束的限制。

剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，由無(wú)數(shù)個(gè)相互間保持距離不變的質(zhì)點(diǎn)組成。又稱為不變質(zhì)點(diǎn)系。3.

動(dòng)力學(xué)分類：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。4.

動(dòng)力學(xué)的基本問(wèn)題：大體上可分為兩類：綜合性問(wèn)題：已知部分力，部分運(yùn)動(dòng)求另一部分力、部分運(yùn)動(dòng)。已知主動(dòng)力，求運(yùn)動(dòng)，再由運(yùn)動(dòng)求約束力。

第一類：已知物體的運(yùn)動(dòng)情況，求作用力；第二類：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動(dòng)?！?1-1動(dòng)力學(xué)基本定律

動(dòng)力學(xué)基本定律是動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ),但它們只能直接應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系,應(yīng)該將它們分別應(yīng)用于每一質(zhì)點(diǎn),然后導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

質(zhì)點(diǎn)是物體最簡(jiǎn)單、最基本的模型，是構(gòu)成復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程給出了質(zhì)點(diǎn)受力與其運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓在總結(jié)前人研究成果基礎(chǔ)上提出的，稱為牛頓三定律。1.動(dòng)力學(xué)基本定律第一定律（慣性定律）質(zhì)點(diǎn)如不受外力作用，則將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

質(zhì)點(diǎn)保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)，也就是保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，這種性質(zhì)稱為慣性。故點(diǎn)的勻速直線運(yùn)動(dòng)，稱為慣性運(yùn)動(dòng)。所以第一定律也稱為慣性定律。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到外力作用，而這些作用又不互相抵消時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將按一定規(guī)律發(fā)生變化。第二定律就表明了這一變化規(guī)律。第二定律（力與加速度之間關(guān)系的定律）(11-1)

質(zhì)點(diǎn)受外力作用時(shí)，將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比。上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。從該式還可以看出，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大，因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量?；蚝?jiǎn)寫為：第三定律（作用與反作用定律）

由于作用與反作用，引起了機(jī)械運(yùn)動(dòng)在相互作用的兩質(zhì)點(diǎn)（物體）間發(fā)生轉(zhuǎn)移。力就是這種機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)移的反映。

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力，總是大小相等，方向相反，且沿著同一直線，分別作用在這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。

在靜力學(xué)里，研究物體的平衡用到它。在動(dòng)力學(xué)里，這一定律依然成立。

以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)，稱為古典力學(xué)或經(jīng)典力學(xué)，在此范疇，質(zhì)量、空間和時(shí)間是“絕對(duì)”的，與運(yùn)動(dòng)沒(méi)有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時(shí)間和空間都與物體的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，只是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)量、時(shí)間和空間的影響是微不足道的。2.慣性參考系

動(dòng)力學(xué)基本定律在其中能正確成立的參考系稱為慣性參考系,簡(jiǎn)稱慣性系。在一般問(wèn)題中,與地球固接的參考系或相對(duì)于地面作慣性運(yùn)動(dòng)的參考系,可近似看成慣性系。

要使車子在水平直線軌道上勻速前進(jìn)，為什么還需不斷對(duì)它施加水平推力？這與慣性定律有無(wú)矛盾？

試比較下述幾種情況下站在電梯中的人對(duì)電梯地板的壓力大?。?a)電梯靜止不動(dòng)；(b)電梯勻速上升；(c)電梯勻速下降；(d)電梯加速上升；(e)電梯減速下降。思考題11-1思考題11-2

以下說(shuō)法是否正確？(a)質(zhì)點(diǎn)如有運(yùn)動(dòng)則它一定受力，其運(yùn)動(dòng)方向總是與所受力的方向一致；(b)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如速度大則它所受的力也大，速度小則所受的力也小，若速度為零則質(zhì)點(diǎn)不受力；(c)機(jī)車以某一力牽引車輛加速前進(jìn)時(shí)，車輛給機(jī)車的反力必小于機(jī)車對(duì)列車的牽引力。思考題11-3

若不計(jì)空氣阻力，自由下落的石塊與向下仍（即給以向下的初速）的石塊，哪一個(gè)加速度較大？思考題11-4§11-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程(11-2)(11-3)

動(dòng)力學(xué)基本方程是矢量方程，為了便于計(jì)算，常將它改寫成投影式，并表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。(11-4)1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)投影

設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，作平面曲線運(yùn)動(dòng)。取直角坐標(biāo)系Oxy，將質(zhì)點(diǎn)受到的力與加速度在直角坐標(biāo)軸上投影得：式(11-4)和(11-5)是兩種常用的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程?？梢郧蠼赓|(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類問(wèn)題。2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影(11-5)動(dòng)力學(xué)基本方程在自然軸系上的投影為：由運(yùn)動(dòng)學(xué)知5)求解未知量。(1)第一類：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問(wèn)題）解題步驟和要點(diǎn)：1)正確選擇研究對(duì)象；（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。2)正確進(jìn)行受力分析,畫出受力圖；(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。3)正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析；（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。4)選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程；（建立坐標(biāo)系）。5)求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。(2)第二類：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（積分問(wèn)題）解題步驟如下：1)正確選擇研究對(duì)象。2)正確進(jìn)行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，對(duì)變力建立力的表達(dá)式）。3)正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。(除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件）。4)選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。

橋式起重機(jī)跑車用鋼絲繩吊掛一質(zhì)量為m的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v0，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為l。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)向前擺動(dòng)，試求鋼絲繩的最大拉力。解：1.選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象2.受力分析3.運(yùn)動(dòng)分析，沿以懸掛點(diǎn)為圓心,l為半徑的圓弧擺動(dòng)。例題11-14.列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程5.求解未知量例題11-1P=mg例題11-1[討論](1)減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長(zhǎng)度。(2)拉力FTmax由兩部分組成,一部分等于物體重量,稱為靜拉力。一部分由加速度引起，稱為附加動(dòng)拉力。全部拉力稱為動(dòng)拉力。例題11-2

煤礦用填充機(jī)進(jìn)行填充,為保證充填材料拋到距離為s=5m，H=1.5m的頂板A處。試求(1)充填材料需有多大的初速度v0

？(2)初速

與水平的夾角j0？不計(jì)空氣阻力。選擇填充材料M為研究對(duì)象，畫受力圖，M作斜拋運(yùn)動(dòng)。解：已知力為常量，屬于第二類問(wèn)題。列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程并對(duì)其積分運(yùn)算代入最高點(diǎn)A處值，得：即將到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的時(shí)間t，x=s，y=H

代入運(yùn)動(dòng)方程，得拋射初速度大小與發(fā)射角j0為：

鉛垂上拋的物體，至少應(yīng)具有多大的初速才可不再回到地球。這一速度稱為第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力。例題11-3

解：取物體（視為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)，并作受力圖。M——地球質(zhì)量，f——萬(wàn)有引力常數(shù)則在任意位置時(shí)的速度

即：例題11-3

可見，v隨著x的增加而減小。若則在某一位置x=R+H時(shí)速度將減小到零，物體回落。若時(shí)，無(wú)論x多大（甚至為∞），物體也不會(huì)回落。因此脫離地球引力而一去不返時(shí)（）的最小初速度（第二宇宙速度）例題11-3

已知地球半徑R=6370km,試求地面附近人造衛(wèi)星環(huán)繞地球的速度。這一速度稱為第一宇宙速度。不計(jì)空氣阻力。例題11-4

解：取衛(wèi)星（視為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)，并作受力圖。設(shè)人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為v。略去空氣阻力，它只受重力P。P=mg（第一宇宙速度）

試解釋人造衛(wèi)星（或宇宙飛船）上的物體失重現(xiàn)象。思考題11-4答：rRmgFNv

牛頓第一定律和牛頓第二定律只適用于慣性參考系，對(duì)于非慣性參考系是不適用的。下面將建立非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。但這里的時(shí)間、質(zhì)量及空間尺度的度量都是絕對(duì)的，速度也遠(yuǎn)小于光速，研究對(duì)象仍為宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，因此仍屬于古典力學(xué)（或稱經(jīng)典力學(xué)）范疇。

在非慣性系中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程不同于慣性系。

如圖,設(shè)質(zhì)點(diǎn)M相對(duì)Ox

y

z運(yùn)動(dòng)，選取一慣性參考系Oxyz作為定參考系。則有§11-3

非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程則(11-6)

上式稱為非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程,或稱為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程。其中FIe稱為牽連慣性力，F(xiàn)IC稱為科氏慣性力，可以理解為非慣性參考系中對(duì)于牛頓第二定律的修正項(xiàng)。它們具有力的量綱,且與質(zhì)量有關(guān)，因而稱之為慣性力。在動(dòng)參考系中，上式可以寫成微分方程形式，即(11-7)上式稱為非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，或稱為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程。應(yīng)用該方程時(shí)，一般取適當(dāng)?shù)耐队靶问?。幾種特殊情況(1)當(dāng)動(dòng)參考系相對(duì)定參考系做平移，aC=0，F(xiàn)IC=0，則(2)當(dāng)動(dòng)參考系相對(duì)定參考系做勻速直線運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)Ie=FIC=0，則

表明在這樣的參考系，牛頓定律也適用。故所有相對(duì)于慣性參考系作勻速直線平移的參考系都是慣性參考系。另可看出，參考系作慣性運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)不受牽連運(yùn)動(dòng)的影響。在慣性參考系中的任何力學(xué)現(xiàn)象，都無(wú)助于發(fā)覺(jué)該參考系本身的運(yùn)動(dòng)情況，以上稱為相對(duì)性原理。

(3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)參考系靜止時(shí)，有ar=0,vr=0,又FIC=0,則(4)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系作等速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，有ar=0，則上式稱為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止的平衡方程，即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在非慣性參考系中保持相對(duì)靜止時(shí)，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力與質(zhì)點(diǎn)的牽連慣性力相互平衡。

上式稱為質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)平衡方程?？梢娫诜菓T性參考系中，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止和作等速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其平衡條件是不同的。

站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬時(shí)，指針向讀數(shù)大的一邊偏，還是向讀數(shù)小的一邊偏？為什么？思考題11-5答：靜止時(shí)，F(xiàn)N=P

突然下蹲時(shí)，aC方向向下，

-maC=FN-P，

FN=P-maC<P,

所以指針向讀數(shù)小的一邊偏。若人突然站起來(lái)的瞬時(shí)，則指針向讀數(shù)大的一邊偏。

汽車以大小不變的速度