第六章空間力系

第六章空間力系空間力系：力的作用線是空間分布的力系?？臻g一般力系§6-2

力在直角坐標軸的分解和投影一、力在直角坐標軸上的投影a)一次投影法（直接投影法）空間匯交力系空間平行力系§6-1

工程中的空間力系問題b)二次投影法（間接投影法）力F投影z軸上投影當(dāng)力F與坐標軸Ox、Oy間的夾角不易確定時坐標平面Oxy上，力矢量Fxyx和y軸上投影二、力沿直角坐標軸的分解以、、表示力F沿直角坐標軸x、y、z的正交分量力F在坐標軸上的投影和力沿坐標軸的正交分矢量間的關(guān)系可表示為：大小方向余弦力F的例6—1如圖所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力的作用。已知斜齒輪的齒傾角(螺旋角)和壓力角，以求力沿x、y和z軸的分力。解：先將力Fn向z軸和Oxy平面投影，得再將力向x、y軸投影，得則力沿各軸的分力為例6—2已知力沿直角坐標軸的解析式為試求這個力的大小和方向，并作圖表示。解：力的大小方向余弦則角度為力F對z軸的矩就是分力Fxy對點O的矩，力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量、是一個代數(shù)量。即§6-3

力對軸的矩絕對值：該力在垂直于該軸的平面上的投影對于這個平面與該軸的交點的矩的大小。正負號：從z軸正端來看，若力的這個投影使物體繞該軸按逆時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動，則取正號，反之取負號。也可按右手螺旋規(guī)則來確定其正負號，如圖所示，姆指指向與z軸一致為正，反之為負。當(dāng)力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零：(1)當(dāng)力與軸相交時(此時h＝0)；(2)當(dāng)力與軸平行時(此時)。力對軸的矩的單位為N·m空間一般力系的合力矩定理空間任意力系的合力對于任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。根據(jù)合力矩定理，得即力對軸之矩的解析式力作用點A的坐標為A(x，y，z)力在三個坐標軸上的投影分別為X、Y、Z，力對軸之矩的解析表達式例6—3手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個力F，如圖所示，它在垂直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為。如果CD＝a，桿BC平行于x軸，桿CE平行于y軸，AB和BC的長度都等于l。試求力F對x、y和z三軸的矩。根據(jù)合力矩定理解：解法一將力F沿坐標軸分解解法二力F在x、y、z軸的投影為力作用點D的坐標為空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。方向余弦合力的大小§6-4

空間一般力系的平衡條件空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系的合力等于零，即空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。（三個方程，可求解三個未知量）例6—4如圖所示，用起重桿吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的點C和D，連線CD平行于x軸。已知：CE=EB＝DE，。CDB平面與水平面間的夾角，物重。如起重桿的重量不計，試求起重桿所受的壓力和繩子的拉力。解：取起重桿AB與重物為研究對象。取坐標軸如圖所示。由已知條件知：列平衡方程解得空間力偶對剛體的作用效果決定于下列三個因素(2)力偶作用面的方位；(1)力偶矩的大??；(3)力偶的轉(zhuǎn)向。矢的指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則。注：力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所決定?？臻g力偶用一個矢量，力偶矩矢M表示：矢的長度表示力偶矩的大小矢的方位與力偶作用面的法線方位相同，空間力偶系的合成與平衡條件任意個空間分布的力偶可合成為一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即合力偶矩矢的解析表達式為合力偶矩矢的大小方向余弦空間力偶系平衡的必要和充分條件是：該力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即由上式，有欲使上式成立，必須同時滿足空間力偶系的平衡方程空間力偶系平衡的必要和充分條件為：該力偶系中所有各力偶矩矢在三個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。（三個獨立的平衡方程，求解三個未知量）空間任意力系向一點的簡化·主矢和主矩力的平移定理空間任意力系空間匯交力系空間力偶系空間匯交力系合成一力，作用線通過點O，其大小和方向等于力系的主矢，即空間力偶系合成為一力偶，等于各附加力偶矩矢的矢量和，又等于原力系各力對于點O之矩的矢量和，即原力系對點O的主矩力系主矢的大小方向余弦力系對點O的主矩的大小方向余弦飛機在飛行時受到重力、升力、推力和阻力等力組成的空間任意力系的作用。將力系向飛機的重心O簡化。力三個作用于重心O的正交分力力偶矩矢三個繞坐標軸的分力偶有效推進力；有效升力；側(cè)向力；滾轉(zhuǎn)力矩；偏航力矩；俯仰力矩?？臻g任意力系平衡的必要和充分條件是：這力系的主矢和對于任一點的主矩都等于零，即可將上述條件寫成空間任意力系的平衡方程注：1.與平面力系相同，空間力系的平衡方程也有其它的形式。2.六個獨立的平衡方程，求解六個未知量。3.可以從空間任意力系的普遍平衡規(guī)律中導(dǎo)出特殊情況的平衡規(guī)律，例如空間平行力系、空間匯交力系和平面任意力系等平衡方程。例：設(shè)物體受一空間平行力系作用。令z軸與這些力平行，則自動滿足。因此，空間平行力系只有三個平衡方程，即：例6—5如圖所示的三輪小車，自重P＝8kN，作用于點E，載荷，作用于點C。求小車靜止時地面對車輪的反力。解：以小車為研究對象。解得例6—6如圖所示，皮帶的拉力，曲柄上作用有鉛垂力F=2000N。已知皮帶輪的直徑D＝400mm，曲柄長R＝300mm，皮帶1和2與鉛垂線間夾角分別為，。求皮帶拉力和軸承反力。解：以整個軸為研究對象。又有解得無論怎樣列方程，獨立平衡方程的數(shù)目只有6個。每個方程中最好只包含—個未知量。一般，力矩方程比較靈活，?？墒挂粋€方程只含一個未知量。為此，在選投影軸時應(yīng)盡量與其余未知力垂直；在選取矩的軸時應(yīng)盡量與其余的未知力平行或相交。投影軸不必相互垂直、取矩的軸也不必與投影軸重合。例6—7如圖所示均質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為P，在A處作用一水平力F，且F=2P。求各桿的內(nèi)力。解：取長方體剛板為研究對象，各支桿均為二力桿，設(shè)它們均受拉力。解得（壓力）解得解得解得§6—5重心1．概念及坐標公式重力是一個分布力系，可視為空間平行力系。一般所謂重力，就是這個空間平行力系的合力。重心：不變形的物體(剛體)在地表面無論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線通過的此物體—個確定的點。重心在工程實際中具有重要的意義。如重心的位置會影響物體的平衡和穩(wěn)定。通過平行力系的合力可以推導(dǎo)物體重心的坐標公式。這些公式也可用于確定物體的質(zhì)量中心、面積形心和液體的壓力中心等。平行力系中心將物體分割成許多微小體積，每小塊體積為，所受重力為。這些重力組成平行力系合力取直角坐標系Oxyz，使重力及其合力與z軸平行。設(shè)任一微體的坐標為xi

，yi，zi，重心C的坐標為xc

，yc，zc

。根據(jù)合力矩定理，對x軸取矩，有對y軸取矩有將物體連同坐標系一起繞x軸順時針轉(zhuǎn)，使y軸向下，再對x軸取矩，得由以上三式可得計算重心坐標的公式，即如果物體是均質(zhì)的，單位體積的重量＝常值,以表示微小體積，物體總體積為，將代入上式，得均質(zhì)物體的重心與其單位體積的重量(比重)無關(guān)，僅決定于物體的形狀。這時的重心稱為形心。均質(zhì)等厚薄殼的重心（面積的重心）公式注：曲面的重心一般不在曲面上，而相對于曲面位于確定的一點。均質(zhì)等截面細長線段的重心（線段的重心）公式注：曲線的重心一般不在曲線上。2.確定物體重心的方法如均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。(1)用組合法求重心若一個物體由幾個簡單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個物體的重心坐標(a)分割法例1試求Z形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。解：將該圖形分割為三個矩形。重心分別，，；面積分別為，，。由圖得該截面重心的坐標(b)