第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理

第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.1測量誤差的基本概念2.2測量不確定度及測量結(jié)果的表征2.3加權平均與回歸分析小結(jié)習題二

§2.1測量誤差的基本概念

一、與誤差有關的基本概念

1．真值一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值。要想得到真值，必須利用理想的量具或測量儀器進行無誤差的測量。由此可推斷，物理量的真值實際上是無法測得的。這首先因為，“理想”量具或測量儀器即測量過程的參考比較標準（或叫計量標準）只是一個純理論值。例如電流的計量標準安培，按國際計量委員會和第九屆國際計量大會的決議，定義為“安培是一恒定電流，若保持在處于真空中相距l(xiāng)米的兩根無限長而圓截面可忽略的平行直導線內(nèi)，則此兩導線之間產(chǎn)生的力為每米長度上等于2×l0-7牛頓”，顯然這樣的電流計量標準是一個理想的而實際上無法實現(xiàn)的理論值。因而，某電流的真值我們無法實際測得，因為沒有符合定義的可供實際使用的測量參考標準，盡管隨著科技水平的提高，可供實際使用的測量參考標準可以愈來愈逼近理想的理論定義值。其次，在測量過程中由于各種主觀、客觀因素的影響，做到無誤差的測量也是不可能的。2．指定值（約定真值）:一般就用來代替真值由于絕對真值是不可知的，所以一般由國家設立各種盡可能維持不變的實物標準（或基準），以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指定值。如指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1kg；指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫-l33原子基態(tài)的兩個超精細能級之間躍遷所對應的輻射的919263l770個周期的持續(xù)時間為1s（秒）等。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。

3．實際值實際測量中，不可能都直接與國家基準相比對，國家通過一系列的各級實物計量標準構成量值傳遞網(wǎng)，把國家基準所體現(xiàn)的計量單位逐級比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。在每一級的比較中，都以上一級標準所體現(xiàn)的值當作準確無誤的值，通常稱為實際值，也叫作相對真值，比如如果更高一級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的1/3到l/l0，就可以認為更高一級測量器具的測得值（示值）為真值。在本課程后面的敘述中，不再對實際值和真值加以區(qū)別。

4.標稱值:測量器具上標定的數(shù)值如標準砝碼上標出的lkg，標準電阻上標出的1Ω，標準電池上標出來的電動勢1.0186V，標準信號發(fā)生器度盤上標出的輸出正弦波的頻率100kHz等。由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標出測量器具的標稱值時，通常還要標出它的誤差范圍或準確度等級。

5．示值:由測量器具指示的被測量量值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數(shù)值和單位。指針式模擬表，其讀數(shù)和示值的關系。如：以l00分度表示50mA的電流表，當指針指在刻度盤上50分度時，讀數(shù)是50，而示值是25mA。為便于核查測量結(jié)果，在記錄測量數(shù)據(jù)時，一般應記錄儀表量程、讀數(shù)和示值（當然還要記載測量方法，連接圖，測量環(huán)境，測量用儀器及編號及測量者姓名、測量日期）。數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。

6．測量誤差：測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異在實際測量中，由于測量器具不準確，測量手段不完善，環(huán)境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等因素，都會導致測量結(jié)果與被測量真值不同。測量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。人們進行測量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的測量結(jié)果，如果測量誤差超出一定限度，測量工作及由測量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。在科學研究及現(xiàn)代生產(chǎn)中，錯誤的測量結(jié)果有時還會使研究工作誤入歧途甚至帶來災難性后果。因此，人們不得不認真對待測量誤差，研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及對測量結(jié)果的處理等。

7．單次測量和多次測量單次（一次）測量：是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進行一次測量。在測量精度要求不高的場合，可以只進行單次測量。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。多次測量：是用測量儀器對同一被測量進行多次重復測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測量都須進行多次測量，如儀表的比對校準等。8．等精度測量和非等精度測量①等精度測量：在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進行的多次測量過程。測量條件一般包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素，如測量中使用的儀器、方法、測量環(huán)境，操作者的操作步驟和細心程度等。等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。非等精度測量（不等精度測量）：在同一被測量的多次重復測量中，不是所有測量條件都維持不變（如改變了測量方法，或更換了測量儀器，改變了連接方式，測量環(huán)境發(fā)生了變化，前后不是一個操作者，或同一操作者按不同的過程進行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細心專致程度等）。等精度測量和非等精度測量在實踐中都存在，相比較而言，等精度測量意義更為普遍，有時為了驗證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測量方法、檢定不同的測量儀器時也要進行非等精度測量。

二、誤差的表示方法

1．絕對誤差絕對誤差定義為(2-1a)

式中△x為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。前面已提到，真值A0一般無法得到，所以用實際值x0代替A0

，因而絕對誤差更有實際意義的定義是：(2-1b)

對于絕對誤差，應注意下面幾個特點：

①

絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同。

②絕對誤差是有符號的量，其符號表示出測量值與實際值的大小關系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負值。

③測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。

④對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為：

式中A為實際值，x為供給量的指示值（標稱值）。如果沒有特殊說明，本書涉及的絕對誤差，按式（2-1）定義計算。

⑤與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示：

【例】由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書，得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值為-0.02mA，那么被測電流的實際值為：

智能儀器的優(yōu)點之一就是可利用內(nèi)部的微處理器，存貯和處理修正值，直接給出經(jīng)過修正的實際值。二、誤差的表示方法2．相對誤差：用來說明測量精度的高低。

(1)相對真誤差（實際相對誤差）相對真誤差定義為：(2-2)a

(2)示值相對誤差（測量值相對誤差）示值相對誤差定義為：(2-2)b

如果測量誤差不大，可用示值相對誤差代替實際誤差，但若和相差較大，兩者應加以區(qū)別。

(3)引用誤差（滿度相對誤差）測量儀器滿度相對誤差定義為絕對誤差與儀表滿度值（量程上限值）的百分比值(2-5a)

常用電工儀表的等級s為：±0.1、±0.2、±0.5、±1.0、±1.5、±2.5、±5.0七級，具體表示為：【例1】某電壓表s=1.5，試算出它在0V～100V量程中的最大絕對誤差。解：在0V～l00V量程內(nèi)上限值xm＝100V，由式(2-5b)，得到(2-5b)

一般講，測量儀器在同量程不同示值處的絕對誤差實際上未必處處相等；對使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞情況處理，即認為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個常數(shù)且等于△xm，人們把這種處理叫作誤差的整量化?！纠?】某1.0級電流表，滿度值xm＝l00uA，求測量值分別為x1＝100uA，x2＝80uA，x3

＝20uA時的絕對誤差和示值相對誤差。解：由式(2-5b)得：

按誤差整量化原則，各示值相對誤差為：可見在同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對誤差越大。由此我們應當注意到，測量中所用儀表的準確度并不是測量結(jié)果的準確度，只有在示值與滿度值相同時，二者才相等（不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差）。由式(2-5a)和【例1、2】可以看出，為了減小測量中的示值誤差，在進行量程選擇時應盡可能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的2/3?！纠?】要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0～300℃和l.0級、測量范圍為0～l00℃的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值相對誤差。解：對0.5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差按照誤差整量化原則，認為該量程內(nèi)絕對誤差，因此示值相對誤差：例2-3（教材P19)

同樣可算出用l.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差：

用1.0級低量程溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤差反而小一些，因此選l.0級溫度計較為合適。在實際測量操作時，一般應先在大量程下，測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡可能減小相對誤差。

二、誤差的表示方法

2．相對誤差

(4)分貝誤差在電子測量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝(dB)。分貝誤差廣泛用于增益（衰減）量的測量中。下面以電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。設雙端口網(wǎng)絡(比如放大器，或衰減器)的電壓/電流的傳輸函數(shù)為。傳輸函數(shù)A0用對數(shù)表示為G0稱為增益測得值的分貝值。設A為傳輸函數(shù)的實際值，其分貝值G=20lgA，由式（2-1b），有由此得到分貝誤差為

(2-4a)

(2-3)

若測量的是功率增益，分貝誤差定義為

(2-4b)【例4】某電壓放大器，當輸入端電壓Ui＝1.2mV時，測得輸出電壓Uo=6000mV，設Ui誤差可忽略，Uo的測量誤差。求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差，相對誤差及分貝誤差。

解：電壓放大倍數(shù):

輸出電壓絕對誤差:

電壓分貝增益:因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對誤差：電壓增益相對誤差：電壓增益分貝誤差：實際電壓分貝增益：例2-1（教材P17)當值很小時，分貝增益定義式(2-4a)和(2-4b)中的可分別利用下面近似式得到：(電壓、電流類增益)(功率類增益)

三、測量誤差的分類：根據(jù)測量誤差的性質(zhì)和特點，可將其分為三種----(一)、系統(tǒng)誤差在多次等精度測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當條件改變時按某種規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。如果系差的大小、符號不變而保持恒定，則稱為恒定系差，否則稱為變值系差。變值系差又可分為累進性系差、周期性系差和按復雜規(guī)律變化的系差。

下圖描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線a表示恒定系差；直線b屬變值系差中累進性系差，這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差；曲線c表示周期性系差，在整個測量過程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復雜規(guī)律變化的系差。0

產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有：①測量儀器設計原理及制作工藝上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心；使用過程中零點漂移，安放位置不當?shù)?。②測量時的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。③采用近似的測量方法或近似的計算公式等。④測量人員估計讀數(shù)時習慣偏于某方向等原因所引起的誤差。

系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度，系統(tǒng)誤差小，表明測量的正確度高。

(二)、隨機誤差隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預定的方式無規(guī)則變化的誤差。就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預定，但當測量次數(shù)足夠多時，其總體服從統(tǒng)計學規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。

隨機誤差的特點是，在多次測量中誤差絕對值的波動有一定的界限，即具有有界性；當測量次數(shù)足夠多時，正負誤差出現(xiàn)的機會幾乎相同，即具有對稱性；同時隨機誤差的算術平均值趨于零，即具有抵償性。由于隨機誤差的上述特點，可以通過對多次測量取平均值的辦法，來減小隨機誤差對測量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計的辦法對隨機誤差加以處理。表2.3-l圖2.3-2電阻測量值的隨機誤差分布

由表2.3-l和圖2.3-2可以看出以下幾點：①正誤差出現(xiàn)了7次，負誤差出現(xiàn)了6次，兩者基本相等，正負誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了隨機誤差的對稱性。②誤差的絕對值介于(0，0.1)、(0．1，0.2)、(0.2，0.3)、(0.3，0.4)、(0.4，0.5)區(qū)間，大于0.5的個數(shù)分別為6、3、2、1、2個和1個，反映了絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小。

③∑vi＝0，正負誤差之和為零，反映了隨機誤差的抵償性。④所有隨機誤差的絕對值都沒有超過某一界限，反映了隨機誤差的有界性。這雖然僅是一個例子，但也基本反映出隨機誤差的一般特性。

產(chǎn)生隨機誤差的主要原因包括：①測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。②溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地基振動等。

③測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。

隨機誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機誤差小，則精密度高。

(三)、粗大誤差在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。確認含有粗差的測得值稱為壞值，應當剔除不用，因為壞值不能反映被測量的真實數(shù)值。

產(chǎn)生粗差的主要原因包括：

①測量方法不當或錯誤。例如用普通萬用表電壓檔直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓檔測量高頻交流信號的幅值等。

②測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯讀數(shù)或單位，或記錄及計算錯誤等。

③測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機性，但由于它造成的示值明顯偏離實際值，因此將其列入粗差范疇。

上述對誤差按其性質(zhì)進行的劃分，具有相對性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。例如較大的系差或隨機誤差可視為粗差；當電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時，可按隨機誤差取平均值的辦法加以處理，而當其影響較大又有規(guī)律可循時，可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理。

最后指出，除粗差較易判斷和處理外，在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的，需根據(jù)各自對測量結(jié)果的影響程度，作不同的具體處理：①系統(tǒng)誤差遠大于隨機誤差的影響，此時可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機誤差。②系差極小或已得到修正，此時基本上可按純粹隨機誤差處理。③系差和隨機誤差相差不遠，二者均不可忽略，此時應分別按不同的辦法來處理，然后估計其最終的綜合影響。

三、測量誤差的估計和處理（一）、隨機誤差的統(tǒng)計處理如前所述，多次等精度測量時產(chǎn)生的隨機誤差及測量值服從統(tǒng)計學規(guī)律。本節(jié)從工程應用角度，利用概率統(tǒng)計的一些基本結(jié)論，研究隨機誤差的表征及對含有隨機誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。§2.1測量誤差的基本概念

1、隨機誤差的概率分布密度

1）正態(tài)分布

理論和測量實踐都證明，當進行大量等精度測量時，隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。測得值與隨機誤差都按一定的概率出現(xiàn)。

在大多數(shù)情況下，測得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機誤差上，等于零的隨機誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測得值和隨機誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布。圖2-1a隨機誤差的正態(tài)分布曲線δ圖2-1b隨機誤差影響下測量值的正態(tài)分布曲線ψ(X)0M(X)X

設測得值xi

在x

到x+dx

的范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P，它正比于dx，并與x

值有關，即：

上式中φ(x)定義為測量值xi在x

點的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然：

對于正態(tài)分布的xi和它的隨機誤差δi

，其概率密度函數(shù)為：(2-8)(2-9)

由圖2-1可以看到如下特征：①愈小，愈大，說明絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小，隨著的加大，很快趨于零，即超過一定界限的隨機誤差實際上幾乎不出現(xiàn)（隨機誤差的有界性）。②大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等（隨機誤差的對稱性和抵償性）。

③σ

愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測得值愈集中，精密度高；反之，其值愈大，曲線愈平坦，表明測得值分散，精密度低。

正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨立的因素的隨機微小變化所造成的隨機誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。

2）均勻分布（矩形分布)

在測量實踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2-2所示。均勻分布的特點是，在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。(2-10)

均勻分布在電子測量中常見有下列幾種情況：

①儀表度盤刻度誤差：由于儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測量值可以認為是一個值。例如用500V量程交流電壓表測得值是220V，實際上由于分辨不清，實際值可能是219V-221V之間的任何一個值，在該范圍內(nèi)可認為有相同的誤差概率。

②數(shù)字顯示儀表的最低位±l（或幾個字）的誤差：例如末位顯示為5，實際值可能是4-6間任一值，也認為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計中都有這種現(xiàn)象。

③由于舍入引起的誤差：去掉的或進位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5或4或3或2或1，被進位的可以認為是5、6、7、8、9中任何一個。

可以證明，對式(2-10)所示的均勻分布，有數(shù)學期望：方差：標準差：3）三角形分布（自學）因?qū)W時有限，我們后面僅討論正態(tài)分布。2、隨機誤差影響下測量值的數(shù)學期望和方差（標準差）

1）數(shù)學期望：反映測量值平均的情況設對被測量x進行n

次等精度測量，得到n

個測得值

由于隨機誤差的存在，這些測得值也是隨機變量。定義n

個測得值（隨機變量）的算術平均值為：

式中x

也稱作樣本平均值。當測量次數(shù)時，樣本平均值的極限就是測得值的數(shù)學期望：(2-13)(2-13)2）方差與標準差：說明測量數(shù)據(jù)的離散程度隨機誤差反映了實際測量的精密度即測量值的分散程度。由于隨機誤差的抵償性，因此不能用它的算術平均值來估計測量的精密度。定義方差：為

時，測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即:(2-15)因為隨機誤差，故：

由于實際測量中都帶有單位(mV，uA等)，因而方差是相應單位的平方，使用不甚方便。為了與隨機誤差單位一致，將式(2-15)兩邊開方，取正平方根，得標準偏差（標準差或均方根差）：

3、用有限次測量值估計數(shù)學期望和方差

1）有限次測量平均值的性質(zhì)如果在相同條件下對同一被測量分成m

組，每組重復n

次測量，則每組測得值都有一個平均值。由于隨機誤差的存在，這些算術平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術平均值與真值間也存在著隨機誤差。

3、用有限次測量值估計數(shù)學期望和方差

1）有限次測量平均值的性質(zhì)我們用、和來分別表示m組的數(shù)學期望、方差和標準差，則有：

(2-19)a

(2-19)b

(2-18)

2）數(shù)學期望和方差的估計估計的一致性（估計值依概率收斂于未知參數(shù)）和無偏性（估計值的數(shù)學期望等于未知參數(shù)）測量值X

的數(shù)學期望M(X)

的估計值假設上面的測得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i

次測量得到的測得值xi

與實際值x0間的絕對誤差就等于隨機誤差：

隨機誤差：則隨機誤差的算術平均值為：

依據(jù)可得：由于隨機誤差的抵償性，即當測量次數(shù)n

趨于無限大時，趨于零：

即隨機誤差的數(shù)學期望等于零，因此得到：即測得值的數(shù)學期望M(X)

等于被測量真值x0

。(2-13)

實際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當測量次數(shù)足夠多時近似認為：又由式(2-13)：式(2-18)：因此，用作為的估計值合適。估計的一致性估計的無偏性

由上述分析我們得出，在實際測量工作中，當基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗大誤差后，雖然仍有隨機誤差存在，但多次測得值的算術平均值很接近被測量的數(shù)學期望（真值），因此就將它作為最后測量結(jié)果，并稱之為被測量數(shù)學期望（真值）的最佳估值或最可信賴值。剩余誤差（殘差）當進行有限次測量時，各次測得值與算術平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：

(2-21)

對上式兩邊分別求和，有：從而從數(shù)學上驗證了隨機誤差的抵償性。

2）數(shù)學期望和方差的估計測量值方差的估計值貝塞爾公式已知：隨機誤差，其中xi為第i

次測得值，x0為真值，M(X)為xi的數(shù)學期望，且在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標準差（實驗標準差）s(xk)來表征測量值的分散程度，用殘差來近似或代替真正的隨機誤差，有：貝塞爾公式(2-20)c(2-20)b例2-4（教材P28)（二）用統(tǒng)計學方法剔除異常數(shù)據(jù)誤差絕對值較大的測量數(shù)據(jù)，可以列為可疑數(shù)據(jù)；盡量根據(jù)觀察分析得到的物理原因或技術上的原因決定可疑數(shù)據(jù)的取舍；物理或技術原因處理有困難時，可以根據(jù)統(tǒng)計學的方法來處理可疑數(shù)據(jù)。常規(guī)定，凡測量值在某區(qū)間以外的為異常數(shù)據(jù)，將其剔除，即：

c通常取3（萊特準則）。

(2-22)

對于精密測量，常需進行多次等精度測量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結(jié)果中剔除壞值后，測量結(jié)果的處理可按下述步驟進行：①列出測量數(shù)據(jù)表；②計算算術平均值，殘差及；③按式(2-20b)計算；④按式(2-22)判斷異常數(shù)據(jù)并剔除。(2-22)（三）處理系統(tǒng)誤差的一般方法1、系統(tǒng)誤差的特性排除粗差后，測量誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和：

假設進行n次等精度測量，并設系差為恒值系差或變化非常緩慢即，則的算術平均值為：

當n足夠大時，由于隨機誤差的抵償性，的算術平均值趨于零，于是由上式得到：可見當系差與隨機誤差同時存在時，若測量次數(shù)足夠多，則各次測量絕對誤差的算術平均值等于系差ε。這說明測量結(jié)果的準確度不僅與隨機誤差有關，更與系統(tǒng)誤差有關。由于系差不易被發(fā)現(xiàn)，所以更須重視，由于它不具備抵償性，所以取平均值對它無效，又由于系差產(chǎn)生的原因復雜，因此處理起來比隨機誤差還要困難。減弱或消除系差的影響，必須仔細分析其產(chǎn)生的原因，根據(jù)所研究問題的特殊規(guī)律，依賴測量者的學識、經(jīng)驗，采取不同的處理方法。2、系統(tǒng)誤差的判斷實際測量中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因多種多樣，系統(tǒng)誤差的表現(xiàn)形式也不盡相同，但仍有一些辦法可用來發(fā)現(xiàn)和判斷系統(tǒng)誤差.1）理論分析法凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計算出系差的大小。

2）校準和比對法當懷疑測量結(jié)果可能會有系差時，可用準確度更高的測量儀器進行重復測量以發(fā)現(xiàn)系差。測量儀器定期進行校準或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進行測量時的系統(tǒng)誤差。也可以采用多臺同型號儀器進行比對，觀察比對結(jié)果以發(fā)現(xiàn)系差，但這種方法通常不能察覺和衡量理論誤差。

3）改變測量條件法系差常與測量條件有關，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等，根據(jù)對分組測量數(shù)據(jù)的比較，有可能發(fā)現(xiàn)系差。上述2、3兩種方法都屬于實驗對比法，一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差。

4）殘差（剩余誤差）觀察法：適用于隨機誤差較小的情況剩余誤差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個剩余誤差的大小、符號的變化規(guī)律，以判斷有無系差及系差類型。圖2-4，2-5變值系差的判斷：剩余誤差法圖中(a)：可認為不存在系差；(b)：呈線性遞增規(guī)律，可認為存在累進性系差；(c)：可認為存在周期性系差；(d)：可認為同時存在線性遞增的累進性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。

5）公式判斷法

馬利科夫判據(jù)：判定有無累進性系差。教材P33：公式(2-23a)、(2-23b)

阿卑-赫梅特判據(jù)：判定有無周期性系差（也可發(fā)現(xiàn)累進性系差）。教材P33：公式(2-24)3、測量前盡力消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多，如果能找出并消除產(chǎn)生系差的根源或采取措施防止其影響，那將是解決問題最根本的辦法。例如：采用的測量方法和依據(jù)的原理正確，后面我們將專門討論能有效消弱系統(tǒng)誤差的測量技術與方法。再如：盡力避免測量人員主觀原因造成的系差。自動測試系統(tǒng)則可以減弱系差。選用的儀器儀表類型正確，準確度滿足測量要求，如要測量工作于高頻段的電感電容，應選用高頻參數(shù)測試儀(如LCCG-l高頻LC測量儀)，而測量工作于低頻段的電感電容就應選用低頻參數(shù)測試儀(如WQ-5電橋、QSl8A萬能電橋)。測量儀器應定期檢定、校準，測量前要正確調(diào)節(jié)零點，應按操作規(guī)程正確使用儀器。尤其對于精密測量，測量環(huán)境的影響不能忽視，必要時應采取穩(wěn)壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。條件許可時，可盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器，以減小由于刻度不準及分辨力不高等因素帶來的系統(tǒng)誤差。提高測量人員的學識水平、操作技能，去除一些不良習慣，盡量消除帶來系統(tǒng)誤差的主觀原因。

4、消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術（1）零示法零示法是在測量中，把待測量與已知標準量相比較，當二者的效應互相抵消時，零示器示值為零，此時已知標準量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。

零示法原理：如下圖所示，圖中x：被測量，s：同類可調(diào)節(jié)已知標準量，P：零示器。零示器的種類：光電檢流計、電流表、電壓表、示波器、調(diào)諧指示器、耳機等。只要零示器的靈敏度足夠高，測量的準確度基本上等于標準量的準確度，而與零示器的準確度無關，從而可消除由于零示器不準所帶來的系統(tǒng)誤差。圖2-6

電位差計原理圖零示法的典型例子：電位差計。其中Es為標準電壓源，Rs為標準可調(diào)分壓器，Ux為待測電壓，P為零示器，一般用檢流計。被測電路UsRs+IpEsUxR1R2+--P

調(diào)Rs使Ip＝0，則被測電壓Ux＝Us，即：零示法廣泛用于：阻抗測量(各類電橋)、電壓測量(電位差計及數(shù)字電壓表)、頻率測量(拍頻法、差頻法)及其他參數(shù)的測量中。由上式也可以看到，被測量Ux的數(shù)值僅與標準電壓源Es及標準電阻R2、Rl

有關，只要標準量的準確度很高，被測量的測量準確度也就很高。（2）代替法（置換法）代替法是在測量條件不變的情況下，用一標準已知量去代替待測量，通過調(diào)整標準量而使儀器的示值不變，于是標準量的值即等于被測量值。由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因此測量中的恒定系差對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響，測量準確度主要取決于標準已知量的準確度及指示器靈敏度。圖2-7：是代替法在精密電阻電橋中的應用實例。首先接入未知電阻Rx，調(diào)節(jié)電橋使之平衡：用可變標準電阻R0

代替Rx，并在保持不變的情形下，通過調(diào)節(jié)R0阻值，使電橋重新平衡，可知：由于都有誤差，所以：進一步計算，得到：

可見測量誤差△Rx

，僅決定于標準電阻的誤差△R0，而與的誤差無關。所以：同理：分析知：（3）對照法（交換法）：適于在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好，或從兩次測量結(jié)果的處理中，減弱或消除系統(tǒng)誤差。下圖所示的等臂電橋可以說明這種方法。如果（稱為等臂電橋），則得到:

如果，則，可由前面的算式得到：從而消除了誤差對測量結(jié)果的影響。教材P64習題2-8（4）微差法：又叫虛零法或差值比較法，實質(zhì)上是一種不徹底的零示法。在零示法中須仔細調(diào)節(jié)標準量

B使之與

x相等，這通常很費時間，有時甚至不可能做到。微差法是允許標準量

B與被測量

x的效應不完全抵消，而是相差一微小量

A，則得：x=B+A

x的示值相對誤差為：由于，所以，又由于，所以教材P36[例2-5]5、系統(tǒng)誤差的修正和系差范圍的估計盡量找出系差的方向和數(shù)值，采用修正值或修正因數(shù)加以修正。如：根據(jù)測量儀器檢定書中給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或利用說明書中的校正公式對測得值進行修正，是實際測量中常用的辦法，這種方法原則上適用于任何形式的系差。盡力找出系差的大體范圍，將其分為確定的和變化的兩部分分別處理?！?.2測量不確定度和測量結(jié)果的表征一、測量不確定度及其分類評定（一）測量不確定度測量不確定度：是與測量結(jié)果相聯(lián)系的一種參數(shù)，用于表征被測量的值可能的分散性程度。擴展（延伸）不確定度：給出的一個測量結(jié)果區(qū)間，使被測量的值大部分位于其中。測量不確定度產(chǎn)生的原因：被測量的定義不完善，實現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代替所定義的被測量測量裝置或儀器的分辨率、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等測量環(huán)境的不完善對測量過程的影響及測量人員技術水平等計量標準和標準物質(zhì)本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值在相同條件下，由隨機因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性一、測量不確定度及其分類評定（二）測量不確定度的分類評定《測量不確定度表示指南》(GUM,GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement)與JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》一、測量不確定度及其分類評定（二）測量不確定度的分類評定A類不確定度評定：用對觀測數(shù)據(jù)列進行統(tǒng)計分析的方法來評定標準不確定度。B類不確定度評定：基于經(jīng)驗或其他信息所認定的概率分布進行標準不確定度的評定。(2-26)二、測量結(jié)果的置信問題及擴展不確定度（一）置信概率和置信區(qū)間測量次數(shù)足夠多時，數(shù)學期望和標準偏差的估計值：某次測量結(jié)果未知時，希望知道測得值

x可能處于區(qū)間內(nèi)的概率測得一個測量值

x，希望知道數(shù)學期望M(X)處于

x附近某區(qū)間內(nèi)的概率二、測量結(jié)果的置信問題及擴展不確定度（一）置信概率和置信區(qū)間置信概率：置信區(qū)間：包含因子（置信因子）c：置信區(qū)間的半寬：即擴展不確定度。（二）服從正態(tài)分布測量結(jié)果的置信問題和擴展不確定度1、服從正態(tài)分布的測量值在對稱區(qū)間的置信概率服從正態(tài)分布的測量值

X的概率密度為：(2-9)測量值X處于區(qū)間內(nèi)的置信概率為：（二）服從正態(tài)分布測量結(jié)果的置信問題和擴展不確定度

1、服從正態(tài)分布的測量值在對稱區(qū)間的置信概率附錄2表A【例2-6】已知某測量值服從正態(tài)分布，測量中系統(tǒng)誤差可以忽略。分別求出置信區(qū)間為真值附近的三個區(qū)間，，時的置信概率。教材P41

解：因為測量的系統(tǒng)誤差可以忽略，所以x0=M(X)，置信區(qū)間分別為，，，則系數(shù)c分別為1、2、3。由附錄2表A查得置信概率分別為：【例2-7】：V0

、σ(V)已知，求測量值V出現(xiàn)在置信區(qū)間

=[9.7,10.3]的置信概率?！纠?-8】：M(X)、σ(X)、置信概率已知，求置信區(qū)間。（二）服從正態(tài)分布測量結(jié)果的置信問題和擴展不確定度服從正態(tài)分布有限次測量值的擴展不確定度有限次測量時，總體標準差不可知，只能借助或。于是可求M(X)處于附近區(qū)間或的置信概率：t分布，附錄4【例2-9】一信號源經(jīng)校準后可認為沒有系差和異常數(shù)據(jù)，并根據(jù)以往多次測量，可知頻率值服從正態(tài)分布，現(xiàn)于某頻率點進行了6次測量，數(shù)據(jù)如下：教材P43

如要求置信概率為95%，估計信號頻率的真值在什么范圍，擴展不確定度為多少？解：(1)求頻率的平均值：

(2)求f的實驗標準偏差：

(3)平均值的標準偏差：(4)由自由度及置信概率p[|t|<tα]=95%

，從附錄4查得tα=2.571(5)估計信號真值所在范圍：題設沒有系差，所以f0≈M(f)，已知：且代入已求得的，可得：(6)求擴展不確定度：（三）非正態(tài)分布的置信問題和擴展不確定度已知分布形狀的正態(tài)分布，根據(jù)測量次數(shù)是否足夠多，由正態(tài)分布或t分布在對稱區(qū)間的積分表，根據(jù)置信概率確定包含因子c或tα。已知分布的非正態(tài)分布，通常取置信概率為100%，由表2-1查得包含因子。未知分布形狀的情況，包含因子常取1.73或2（了解內(nèi)容）§2.2測量不確定度和測量結(jié)果的表征三、測量誤差和測量不確定度的合成

（一）測量誤差的合成誤差傳遞公式設最終測量結(jié)果為y，各分項測量值為（分項測量值可以是單臺儀器中各部件的標稱值，如上述電橋中的R1、R2和R3，也可以是間接測量中各單項測量值，如上述功率測量中的U、I或U、R或I、R），它們滿足函數(shù)關系：

并設各

xj間彼此獨立，

xj

絕對誤差為△xj

，y的絕對誤差為△y，則：

將上式在真值y0=f(x10,x20,…,xm0)附近按臺勞級數(shù)展開：略去上式右邊高階項，得因此：(2-28)誤差傳遞公式系統(tǒng)誤差的合成：

(2-29)

(2-30)因為：若隨機誤差可忽略，則有：隨機誤差的合成：

(2-29)因為：若各分項的系差已經(jīng)修正或者可忽略，則有：

(2-31)常用幾何合成法：三、測量誤差和測量不確定度的合成（二）測量不確定度合成由分量求合成量的最佳估計值對，當進行k=1～n次測量時，y的最佳估計值為：

(2-32a)

(2-32b)

若y與各xi基本為線性，則有：三、測量誤差和測量不確定度的合成（二）測量不確定度合成求合成不確定度(2-33a)(2-33b)

合成標準不確定度（的平方）：

相對合成標準不確定度：(2-33c)[例2-10]通過測電阻R端電壓V來測它消耗的功率P=V2/R。已知電阻及電壓的標準不確定度u(R)及u(V)和相對標準不確定度urel(R)及urel(V)，求合成標準不確定度uc(P)及相對合成標準不確定度urel(P)。

解：(1)求合成標準不確定度uc(P)由P=V2/R，分別求出偏導數(shù)帶入上式并開方，即可得到uc(P)。(2)相對合成標準不確定度urel(P)利用定義或公式2-33c都可求。由式2-33a，得：

解：被測電壓可表示為[例2-11]某數(shù)字電壓表在其1V量程時，絕對誤差模的最大值表達式為：△V=0.002%Vx+0.001%Vm。在該量程進行來若干次測量，已確定無異常數(shù)據(jù)和需要修正的確定性系差，得平均值，，問測量結(jié)果的合成標準不確定度是多少？

當某量x同時具有A類不確定度uA(x)和B類不確定度uB(x)時，則總的不確定度為：因此：可知：△V的分布形狀未知，設其為均勻分布，取包含因子所以：三、測量結(jié)果報告（一）報告測量結(jié)果注意事項（二）常用測量結(jié)果的報告形式直接用最佳估計值和標準不確定度表示設為某量Y的最佳估計值，u(y)為其標準不確定度。如：例2-11中，，。則有：(1)

例：(2)例：(3)例：三、測量結(jié)果報告（二）常用測量結(jié)果的報告形式用最佳估計值和擴展不確定度表示設為某量Y的最佳估計值，u(y)為其標準不確定度，U=cu(y)為擴展不確定度。如：例2-11中則有：(1)例：(2)例：例2-12§2.3加權平均與回歸分析一、非等權測量和加權平均（一）測量結(jié)果的權：對同一量進行m組測量，得到m組測量值及對應的方差。方差大小表示數(shù)據(jù)的分散性（可疑程度），故可用權值衡量不同方差的數(shù)據(jù)受重視的程度：

式中定義為單位權的方差。