第2章 測量誤差和測量結(jié)果處理

第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.1測量誤差的基本概念2.2測量不確定度及測量結(jié)果的表征2.3加權(quán)平均與回歸分析小結(jié)習(xí)題二

§2.1測量誤差的基本概念

一、與誤差有關(guān)的基本概念

1．真值一個(gè)物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值稱作它的真值。要想得到真值，必須利用理想的量具或測量儀器進(jìn)行無誤差的測量。由此可推斷，物理量的真值實(shí)際上是無法測得的。這首先因?yàn)椋袄硐搿绷烤呋驕y量儀器即測量過程的參考比較標(biāo)準(zhǔn)（或叫計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)）只是一個(gè)純理論值。例如電流的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)安培，按國際計(jì)量委員會和第九屆國際計(jì)量大會的決議，定義為“安培是一恒定電流，若保持在處于真空中相距l(xiāng)米的兩根無限長而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力為每米長度上等于2×l0-7牛頓”，顯然這樣的電流計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)理想的而實(shí)際上無法實(shí)現(xiàn)的理論值。因而，某電流的真值我們無法實(shí)際測得，因?yàn)闆]有符合定義的可供實(shí)際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)，盡管隨著科技水平的提高，可供實(shí)際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)可以愈來愈逼近理想的理論定義值。其次，在測量過程中由于各種主觀、客觀因素的影響，做到無誤差的測量也是不可能的。2．指定值（約定真值）:一般就用來代替真值由于絕對真值是不可知的，所以一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)），以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位的指定值。如指定國家計(jì)量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1kg；指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫-l33原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級之間躍遷所對應(yīng)的輻射的919263l770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1s（秒）等。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。

3．實(shí)際值實(shí)際測量中，不可能都直接與國家基準(zhǔn)相比對，國家通過一系列的各級實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。在每一級的比較中，都以上一級標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，通常稱為實(shí)際值，也叫作相對真值，比如如果更高一級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的1/3到l/l0，就可以認(rèn)為更高一級測量器具的測得值（示值）為真值。在本課程后面的敘述中，不再對實(shí)際值和真值加以區(qū)別。

4.標(biāo)稱值:測量器具上標(biāo)定的數(shù)值如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的lkg，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1Ω，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來的電動勢1.0186V，標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率100kHz等。由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級。

5．示值:由測量器具指示的被測量量值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數(shù)值和單位。指針式模擬表，其讀數(shù)和示值的關(guān)系。如：以l00分度表示50mA的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上50分度時(shí)，讀數(shù)是50，而示值是25mA。為便于核查測量結(jié)果，在記錄測量數(shù)據(jù)時(shí)，一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值（當(dāng)然還要記載測量方法，連接圖，測量環(huán)境，測量用儀器及編號及測量者姓名、測量日期）。數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。

6．測量誤差：測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異在實(shí)際測量中，由于測量器具不準(zhǔn)確，測量手段不完善，環(huán)境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等因素，都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值不同。測量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。人們進(jìn)行測量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的測量結(jié)果，如果測量誤差超出一定限度，測量工作及由測量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。在科學(xué)研究及現(xiàn)代生產(chǎn)中，錯(cuò)誤的測量結(jié)果有時(shí)還會使研究工作誤入歧途甚至帶來災(zāi)難性后果。因此，人們不得不認(rèn)真對待測量誤差，研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及對測量結(jié)果的處理等。

7．單次測量和多次測量單次（一次）測量：是用測量儀器對待測量進(jìn)行一次測量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進(jìn)行一次測量。在測量精度要求不高的場合，可以只進(jìn)行單次測量。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個(gè)量的大致概念和規(guī)律。多次測量：是用測量儀器對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測量都須進(jìn)行多次測量，如儀表的比對校準(zhǔn)等。8．等精度測量和非等精度測量①等精度測量：在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進(jìn)行的多次測量過程。測量條件一般包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素，如測量中使用的儀器、方法、測量環(huán)境，操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。非等精度測量（不等精度測量）：在同一被測量的多次重復(fù)測量中，不是所有測量條件都維持不變（如改變了測量方法，或更換了測量儀器，改變了連接方式，測量環(huán)境發(fā)生了變化，前后不是一個(gè)操作者，或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等）。等精度測量和非等精度測量在實(shí)踐中都存在，相比較而言，等精度測量意義更為普遍，有時(shí)為了驗(yàn)證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測量方法、檢定不同的測量儀器時(shí)也要進(jìn)行非等精度測量。

二、誤差的表示方法

1．絕對誤差絕對誤差定義為(2-1a)

式中△x為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用實(shí)際值x0代替A0

，因而絕對誤差更有實(shí)際意義的定義是：(2-1b)

對于絕對誤差，應(yīng)注意下面幾個(gè)特點(diǎn)：

①

絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實(shí)際值相同。

②絕對誤差是有符號的量，其符號表示出測量值與實(shí)際值的大小關(guān)系，若測得值較實(shí)際值大，則絕對誤差為正值，反之為負(fù)值。

③測得值與被測量實(shí)際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。

④對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為：

式中A為實(shí)際值，x為供給量的指示值（標(biāo)稱值）。如果沒有特殊說明，本書涉及的絕對誤差，按式（2-1）定義計(jì)算。

⑤與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示：

【例】由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書，得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值為-0.02mA，那么被測電流的實(shí)際值為：

智能儀器的優(yōu)點(diǎn)之一就是可利用內(nèi)部的微處理器，存貯和處理修正值，直接給出經(jīng)過修正的實(shí)際值。二、誤差的表示方法2．相對誤差：用來說明測量精度的高低。

(1)相對真誤差（實(shí)際相對誤差）相對真誤差定義為：(2-2)a

(2)示值相對誤差（測量值相對誤差）示值相對誤差定義為：(2-2)b

如果測量誤差不大，可用示值相對誤差代替實(shí)際誤差，但若和相差較大，兩者應(yīng)加以區(qū)別。

(3)引用誤差（滿度相對誤差）測量儀器滿度相對誤差定義為絕對誤差與儀表滿度值（量程上限值）的百分比值(2-5a)

常用電工儀表的等級s為：±0.1、±0.2、±0.5、±1.0、±1.5、±2.5、±5.0七級，具體表示為：【例1】某電壓表s=1.5，試算出它在0V～100V量程中的最大絕對誤差。解：在0V～l00V量程內(nèi)上限值xm＝100V，由式(2-5b)，得到(2-5b)

一般講，測量儀器在同量程不同示值處的絕對誤差實(shí)際上未必處處相等；對使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞情況處理，即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個(gè)常數(shù)且等于△xm，人們把這種處理叫作誤差的整量化?！纠?】某1.0級電流表，滿度值xm＝l00uA，求測量值分別為x1＝100uA，x2＝80uA，x3

＝20uA時(shí)的絕對誤差和示值相對誤差。解：由式(2-5b)得：

按誤差整量化原則，各示值相對誤差為：可見在同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對誤差越大。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，測量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時(shí)，二者才相等（不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差）。由式(2-5a)和【例1、2】可以看出，為了減小測量中的示值誤差，在進(jìn)行量程選擇時(shí)應(yīng)盡可能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的2/3?！纠?】要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0～300℃和l.0級、測量范圍為0～l00℃的兩種溫度計(jì)，試分析各自產(chǎn)生的示值相對誤差。解：對0.5級溫度計(jì)，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤差，因此示值相對誤差：例2-3（教材P19)

同樣可算出用l.0級溫度計(jì)可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差：

用1.0級低量程溫度計(jì)測量所產(chǎn)生的示值相對誤差反而小一些，因此選l.0級溫度計(jì)較為合適。在實(shí)際測量操作時(shí)，一般應(yīng)先在大量程下，測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡可能減小相對誤差。

二、誤差的表示方法

2．相對誤差

(4)分貝誤差在電子測量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝(dB)。分貝誤差廣泛用于增益（衰減）量的測量中。下面以電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。設(shè)雙端口網(wǎng)絡(luò)(比如放大器，或衰減器)的電壓/電流的傳輸函數(shù)為。傳輸函數(shù)A0用對數(shù)表示為G0稱為增益測得值的分貝值。設(shè)A為傳輸函數(shù)的實(shí)際值，其分貝值G=20lgA，由式（2-1b），有由此得到分貝誤差為

(2-4a)

(2-3)

若測量的是功率增益，分貝誤差定義為

(2-4b)【例4】某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui＝1.2mV時(shí)，測得輸出電壓Uo=6000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的測量誤差。求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差，相對誤差及分貝誤差。

解：電壓放大倍數(shù):

輸出電壓絕對誤差:

電壓分貝增益:因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對誤差：電壓增益相對誤差：電壓增益分貝誤差：實(shí)際電壓分貝增益：例2-1（教材P17)當(dāng)值很小時(shí)，分貝增益定義式(2-4a)和(2-4b)中的可分別利用下面近似式得到：(電壓、電流類增益)(功率類增益)

三、測量誤差的分類：根據(jù)測量誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)，可將其分為三種----(一)、系統(tǒng)誤差在多次等精度測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)按某種規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。如果系差的大小、符號不變而保持恒定，則稱為恒定系差，否則稱為變值系差。變值系差又可分為累進(jìn)性系差、周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。

下圖描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線a表示恒定系差；直線b屬變值系差中累進(jìn)性系差，這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差；曲線c表示周期性系差，在整個(gè)測量過程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。0

產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有：①測量儀器設(shè)計(jì)原理及制作工藝上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心；使用過程中零點(diǎn)漂移，安放位置不當(dāng)?shù)取＂跍y量時(shí)的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。③采用近似的測量方法或近似的計(jì)算公式等。④測量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣偏于某方向等原因所引起的誤差。

系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度，系統(tǒng)誤差小，表明測量的正確度高。

(二)、隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進(jìn)行多次等精度測量時(shí)，其絕對值和符號均以不可預(yù)定的方式無規(guī)則變化的誤差。就單次測量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，其總體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。

隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是，在多次測量中誤差絕對值的波動有一定的界限，即具有有界性；當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會幾乎相同，即具有對稱性；同時(shí)隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零，即具有抵償性。由于隨機(jī)誤差的上述特點(diǎn)，可以通過對多次測量取平均值的辦法，來減小隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對隨機(jī)誤差加以處理。表2.3-l圖2.3-2電阻測量值的隨機(jī)誤差分布

由表2.3-l和圖2.3-2可以看出以下幾點(diǎn)：①正誤差出現(xiàn)了7次，負(fù)誤差出現(xiàn)了6次，兩者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了隨機(jī)誤差的對稱性。②誤差的絕對值介于(0，0.1)、(0．1，0.2)、(0.2，0.3)、(0.3，0.4)、(0.4，0.5)區(qū)間，大于0.5的個(gè)數(shù)分別為6、3、2、1、2個(gè)和1個(gè)，反映了絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小。

③∑vi＝0，正負(fù)誤差之和為零，反映了隨機(jī)誤差的抵償性。④所有隨機(jī)誤差的絕對值都沒有超過某一界限，反映了隨機(jī)誤差的有界性。這雖然僅是一個(gè)例子，但也基本反映出隨機(jī)誤差的一般特性。

產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因包括：①測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。②溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地基振動等。

③測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。

隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機(jī)誤差小，則精密度高。

(三)、粗大誤差在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。確認(rèn)含有粗差的測得值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用，因?yàn)閴闹挡荒芊从潮粶y量的真實(shí)數(shù)值。

產(chǎn)生粗差的主要原因包括：

①測量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤。例如用普通萬用表電壓檔直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓檔測量高頻交流信號的幅值等。

②測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯(cuò)讀數(shù)或單位，或記錄及計(jì)算錯(cuò)誤等。

③測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機(jī)性，但由于它造成的示值明顯偏離實(shí)際值，因此將其列入粗差范疇。

上述對誤差按其性質(zhì)進(jìn)行的劃分，具有相對性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。例如較大的系差或隨機(jī)誤差可視為粗差；當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時(shí)，可按隨機(jī)誤差取平均值的辦法加以處理，而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時(shí)，可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理。

最后指出，除粗差較易判斷和處理外，在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的，需根據(jù)各自對測量結(jié)果的影響程度，作不同的具體處理：①系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的影響，此時(shí)可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機(jī)誤差。②系差極小或已得到修正，此時(shí)基本上可按純粹隨機(jī)誤差處理。③系差和隨機(jī)誤差相差不遠(yuǎn)，二者均不可忽略，此時(shí)應(yīng)分別按不同的辦法來處理，然后估計(jì)其最終的綜合影響。

三、測量誤差的估計(jì)和處理（一）、隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理如前所述，多次等精度測量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。本節(jié)從工程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論，研究隨機(jī)誤差的表征及對含有隨機(jī)誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法?！?.1測量誤差的基本概念

1、隨機(jī)誤差的概率分布密度

1）正態(tài)分布

理論和測量實(shí)踐都證明，當(dāng)進(jìn)行大量等精度測量時(shí)，隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。測得值與隨機(jī)誤差都按一定的概率出現(xiàn)。

在大多數(shù)情況下，測得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機(jī)誤差上，等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機(jī)誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測得值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布。圖2-1a隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線δ圖2-1b隨機(jī)誤差影響下測量值的正態(tài)分布曲線ψ(X)0M(X)X

設(shè)測得值xi

在x

到x+dx

的范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P，它正比于dx，并與x

值有關(guān)，即：

上式中φ(x)定義為測量值xi在x

點(diǎn)的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然：

對于正態(tài)分布的xi和它的隨機(jī)誤差δi

，其概率密度函數(shù)為：(2-8)(2-9)

由圖2-1可以看到如下特征：①愈小，愈大，說明絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小，隨著的加大，很快趨于零，即超過一定界限的隨機(jī)誤差實(shí)際上幾乎不出現(xiàn)（隨機(jī)誤差的有界性）。②大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等（隨機(jī)誤差的對稱性和抵償性）。

③σ

愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測得值愈集中，精密度高；反之，其值愈大，曲線愈平坦，表明測得值分散，精密度低。

正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨(dú)立的因素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。

2）均勻分布（矩形分布)

在測量實(shí)踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2-2所示。均勻分布的特點(diǎn)是，在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。(2-10)

均勻分布在電子測量中常見有下列幾種情況：

①儀表度盤刻度誤差：由于儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測量值可以認(rèn)為是一個(gè)值。例如用500V量程交流電壓表測得值是220V，實(shí)際上由于分辨不清，實(shí)際值可能是219V-221V之間的任何一個(gè)值，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有相同的誤差概率。

②數(shù)字顯示儀表的最低位±l（或幾個(gè)字）的誤差：例如末位顯示為5，實(shí)際值可能是4-6間任一值，也認(rèn)為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計(jì)中都有這種現(xiàn)象。

③由于舍入引起的誤差：去掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5或4或3或2或1，被進(jìn)位的可以認(rèn)為是5、6、7、8、9中任何一個(gè)。

可以證明，對式(2-10)所示的均勻分布，有數(shù)學(xué)期望：方差：標(biāo)準(zhǔn)差：3）三角形分布（自學(xué)）因?qū)W時(shí)有限，我們后面僅討論正態(tài)分布。2、隨機(jī)誤差影響下測量值的數(shù)學(xué)期望和方差（標(biāo)準(zhǔn)差）

1）數(shù)學(xué)期望：反映測量值平均的情況設(shè)對被測量x進(jìn)行n

次等精度測量，得到n

個(gè)測得值

由于隨機(jī)誤差的存在，這些測得值也是隨機(jī)變量。定義n

個(gè)測得值（隨機(jī)變量）的算術(shù)平均值為：

式中x

也稱作樣本平均值。當(dāng)測量次數(shù)時(shí)，樣本平均值的極限就是測得值的數(shù)學(xué)期望：(2-13)(2-13)2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差：說明測量數(shù)據(jù)的離散程度隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測量的精密度即測量值的分散程度。由于隨機(jī)誤差的抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計(jì)測量的精密度。定義方差：為

時(shí)，測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值，即:(2-15)因?yàn)殡S機(jī)誤差，故：

由于實(shí)際測量中都帶有單位(mV，uA等)，因而方差是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方便。為了與隨機(jī)誤差單位一致，將式(2-15)兩邊開方，取正平方根，得標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)差或均方根差）：

3、用有限次測量值估計(jì)數(shù)學(xué)期望和方差

1）有限次測量平均值的性質(zhì)如果在相同條件下對同一被測量分成m

組，每組重復(fù)n

次測量，則每組測得值都有一個(gè)平均值。由于隨機(jī)誤差的存在，這些算術(shù)平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。

3、用有限次測量值估計(jì)數(shù)學(xué)期望和方差

1）有限次測量平均值的性質(zhì)我們用、和來分別表示m組的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，則有：

(2-19)a

(2-19)b

(2-18)

2）數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì)估計(jì)的一致性（估計(jì)值依概率收斂于未知參數(shù)）和無偏性（估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望等于未知參數(shù)）測量值X

的數(shù)學(xué)期望M(X)

的估計(jì)值假設(shè)上面的測得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i

次測量得到的測得值xi

與實(shí)際值x0間的絕對誤差就等于隨機(jī)誤差：

隨機(jī)誤差：則隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值為：

依據(jù)可得：由于隨機(jī)誤差的抵償性，即當(dāng)測量次數(shù)n

趨于無限大時(shí)，趨于零：

即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零，因此得到：即測得值的數(shù)學(xué)期望M(X)

等于被測量真值x0

。(2-13)

實(shí)際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為：又由式(2-13)：式(2-18)：因此，用作為的估計(jì)值合適。估計(jì)的一致性估計(jì)的無偏性

由上述分析我們得出，在實(shí)際測量工作中，當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗大誤差后，雖然仍有隨機(jī)誤差存在，但多次測得值的算術(shù)平均值很接近被測量的數(shù)學(xué)期望（真值），因此就將它作為最后測量結(jié)果，并稱之為被測量數(shù)學(xué)期望（真值）的最佳估值或最可信賴值。剩余誤差（殘差）當(dāng)進(jìn)行有限次測量時(shí)，各次測得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：

(2-21)

對上式兩邊分別求和，有：從而從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證了隨機(jī)誤差的抵償性。

2）數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì)測量值方差的估計(jì)值貝塞爾公式已知：隨機(jī)誤差，其中xi為第i

次測得值，x0為真值，M(X)為xi的數(shù)學(xué)期望，且在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差）s(xk)來表征測量值的分散程度，用殘差來近似或代替真正的隨機(jī)誤差，有：貝塞爾公式(2-20)c(2-20)b例2-4（教材P28)（二）用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù)誤差絕對值較大的測量數(shù)據(jù)，可以列為可疑數(shù)據(jù)；盡量根據(jù)觀察分析得到的物理原因或技術(shù)上的原因決定可疑數(shù)據(jù)的取舍；物理或技術(shù)原因處理有困難時(shí)，可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來處理可疑數(shù)據(jù)。常規(guī)定，凡測量值在某區(qū)間以外的為異常數(shù)據(jù)，將其剔除，即：

c通常取3（萊特準(zhǔn)則）。

(2-22)

對于精密測量，常需進(jìn)行多次等精度測量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結(jié)果中剔除壞值后，測量結(jié)果的處理可按下述步驟進(jìn)行：①列出測量數(shù)據(jù)表；②計(jì)算算術(shù)平均值，殘差及；③按式(2-20b)計(jì)算；④按式(2-22)判斷異常數(shù)據(jù)并剔除。(2-22)（三）處理系統(tǒng)誤差的一般方法1、系統(tǒng)誤差的特性排除粗差后，測量誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和：

假設(shè)進(jìn)行n次等精度測量，并設(shè)系差為恒值系差或變化非常緩慢即，則的算術(shù)平均值為：

當(dāng)n足夠大時(shí)，由于隨機(jī)誤差的抵償性，的算術(shù)平均值趨于零，于是由上式得到：可見當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)，若測量次數(shù)足夠多，則各次測量絕對誤差的算術(shù)平均值等于系差ε。這說明測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。由于系差不易被發(fā)現(xiàn)，所以更須重視，由于它不具備抵償性，所以取平均值對它無效，又由于系差產(chǎn)生的原因復(fù)雜，因此處理起來比隨機(jī)誤差還要困難。減弱或消除系差的影響，必須仔細(xì)分析其產(chǎn)生的原因，根據(jù)所研究問題的特殊規(guī)律，依賴測量者的學(xué)識、經(jīng)驗(yàn)，采取不同的處理方法。2、系統(tǒng)誤差的判斷實(shí)際測量中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因多種多樣，系統(tǒng)誤差的表現(xiàn)形式也不盡相同，但仍有一些辦法可用來發(fā)現(xiàn)和判斷系統(tǒng)誤差.1）理論分析法凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計(jì)算出系差的大小。

2）校準(zhǔn)和比對法當(dāng)懷疑測量結(jié)果可能會有系差時(shí)，可用準(zhǔn)確度更高的測量儀器進(jìn)行重復(fù)測量以發(fā)現(xiàn)系差。測量儀器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時(shí)的系統(tǒng)誤差。也可以采用多臺同型號儀器進(jìn)行比對，觀察比對結(jié)果以發(fā)現(xiàn)系差，但這種方法通常不能察覺和衡量理論誤差。

3）改變測量條件法系差常與測量條件有關(guān)，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等，根據(jù)對分組測量數(shù)據(jù)的比較，有可能發(fā)現(xiàn)系差。上述2、3兩種方法都屬于實(shí)驗(yàn)對比法，一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差。

4）殘差（剩余誤差）觀察法：適用于隨機(jī)誤差較小的情況剩余誤差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個(gè)剩余誤差的大小、符號的變化規(guī)律，以判斷有無系差及系差類型。圖2-4，2-5變值系差的判斷：剩余誤差法圖中(a)：可認(rèn)為不存在系差；(b)：呈線性遞增規(guī)律，可認(rèn)為存在累進(jìn)性系差；(c)：可認(rèn)為存在周期性系差；(d)：可認(rèn)為同時(shí)存在線性遞增的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。

5）公式判斷法

馬利科夫判據(jù)：判定有無累進(jìn)性系差。教材P33：公式(2-23a)、(2-23b)

阿卑-赫梅特判據(jù)：判定有無周期性系差（也可發(fā)現(xiàn)累進(jìn)性系差）。教材P33：公式(2-24)3、測量前盡力消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多，如果能找出并消除產(chǎn)生系差的根源或采取措施防止其影響，那將是解決問題最根本的辦法。例如：采用的測量方法和依據(jù)的原理正確，后面我們將專門討論能有效消弱系統(tǒng)誤差的測量技術(shù)與方法。再如：盡力避免測量人員主觀原因造成的系差。自動測試系統(tǒng)則可以減弱系差。選用的儀器儀表類型正確，準(zhǔn)確度滿足測量要求，如要測量工作于高頻段的電感電容，應(yīng)選用高頻參數(shù)測試儀(如LCCG-l高頻LC測量儀)，而測量工作于低頻段的電感電容就應(yīng)選用低頻參數(shù)測試儀(如WQ-5電橋、QSl8A萬能電橋)。測量儀器應(yīng)定期檢定、校準(zhǔn)，測量前要正確調(diào)節(jié)零點(diǎn)，應(yīng)按操作規(guī)程正確使用儀器。尤其對于精密測量，測量環(huán)境的影響不能忽視，必要時(shí)應(yīng)采取穩(wěn)壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。條件許可時(shí)，可盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器，以減小由于刻度不準(zhǔn)及分辨力不高等因素帶來的系統(tǒng)誤差。提高測量人員的學(xué)識水平、操作技能，去除一些不良習(xí)慣，盡量消除帶來系統(tǒng)誤差的主觀原因。

4、消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)（1）零示法零示法是在測量中，把待測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較，當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時(shí)，零示器示值為零，此時(shí)已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。

零示法原理：如下圖所示，圖中x：被測量，s：同類可調(diào)節(jié)已知標(biāo)準(zhǔn)量，P：零示器。零示器的種類：光電檢流計(jì)、電流表、電壓表、示波器、調(diào)諧指示器、耳機(jī)等。只要零示器的靈敏度足夠高，測量的準(zhǔn)確度基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度，而與零示器的準(zhǔn)確度無關(guān)，從而可消除由于零示器不準(zhǔn)所帶來的系統(tǒng)誤差。圖2-6

電位差計(jì)原理圖零示法的典型例子：電位差計(jì)。其中Es為標(biāo)準(zhǔn)電壓源，Rs為標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)分壓器，Ux為待測電壓，P為零示器，一般用檢流計(jì)。被測電路UsRs+IpEsUxR1R2+--P

調(diào)Rs使Ip＝0，則被測電壓Ux＝Us，即：零示法廣泛用于：阻抗測量(各類電橋)、電壓測量(電位差計(jì)及數(shù)字電壓表)、頻率測量(拍頻法、差頻法)及其他參數(shù)的測量中。由上式也可以看到，被測量Ux的數(shù)值僅與標(biāo)準(zhǔn)電壓源Es及標(biāo)準(zhǔn)電阻R2、Rl

有關(guān)，只要標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度很高，被測量的測量準(zhǔn)確度也就很高。（2）代替法（置換法）代替法是在測量條件不變的情況下，用一標(biāo)準(zhǔn)已知量去代替待測量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而使儀器的示值不變，于是標(biāo)準(zhǔn)量的值即等于被測量值。由于替代前后整個(gè)測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因此測量中的恒定系差對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響，測量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器靈敏度。圖2-7：是代替法在精密電阻電橋中的應(yīng)用實(shí)例。首先接入未知電阻Rx，調(diào)節(jié)電橋使之平衡：用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻R0

代替Rx，并在保持不變的情形下，通過調(diào)節(jié)R0阻值，使電橋重新平衡，可知：由于都有誤差，所以：進(jìn)一步計(jì)算，得到：

可見測量誤差△Rx

，僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差△R0，而與的誤差無關(guān)。所以：同理：分析知：（3）對照法（交換法）：適于在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好，或從兩次測量結(jié)果的處理中，減弱或消除系統(tǒng)誤差。下圖所示的等臂電橋可以說明這種方法。如果（稱為等臂電橋），則得到:

如果，則，可由前面的算式得到：從而消除了誤差對測量結(jié)果的影響。教材P64習(xí)題2-8（4）微差法：又叫虛零法或差值比較法，實(shí)質(zhì)上是一種不徹底的零示法。在零示法中須仔細(xì)調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量

B使之與

x相等，這通常很費(fèi)時(shí)間，有時(shí)甚至不可能做到。微差法是允許標(biāo)準(zhǔn)量

B與被測量

x的效應(yīng)不完全抵消，而是相差一微小量

A，則得：x=B+A

x的示值相對誤差為：由于，所以，又由于，所以教材P36[例2-5]5、系統(tǒng)誤差的修正和系差范圍的估計(jì)盡量找出系差的方向和數(shù)值，采用修正值或修正因數(shù)加以修正。如：根據(jù)測量儀器檢定書中給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或利用說明書中的校正公式對測得值進(jìn)行修正，是實(shí)際測量中常用的辦法，這種方法原則上適用于任何形式的系差。盡力找出系差的大體范圍，將其分為確定的和變化的兩部分分別處理?！?.2測量不確定度和測量結(jié)果的表征一、測量不確定度及其分類評定（一）測量不確定度測量不確定度：是與測量結(jié)果相聯(lián)系的一種參數(shù)，用于表征被測量的值可能的分散性程度。擴(kuò)展（延伸）不確定度：給出的一個(gè)測量結(jié)果區(qū)間，使被測量的值大部分位于其中。測量不確定度產(chǎn)生的原因：被測量的定義不完善，實(shí)現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代替所定義的被測量測量裝置或儀器的分辨率、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等測量環(huán)境的不完善對測量過程的影響及測量人員技術(shù)水平等計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值在相同條件下，由隨機(jī)因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性一、測量不確定度及其分類評定（二）測量不確定度的分類評定《測量不確定度表示指南》(GUM,GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement)與JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》一、測量不確定度及其分類評定（二）測量不確定度的分類評定A類不確定度評定：用對觀測數(shù)據(jù)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。B類不確定度評定：基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息所認(rèn)定的概率分布進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定。(2-26)二、測量結(jié)果的置信問題及擴(kuò)展不確定度（一）置信概率和置信區(qū)間測量次數(shù)足夠多時(shí)，數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：某次測量結(jié)果未知時(shí)，希望知道測得值

x可能處于區(qū)間內(nèi)的概率測得一個(gè)測量值

x，希望知道數(shù)學(xué)期望M(X)處于

x附近某區(qū)間內(nèi)的概率二、測量結(jié)果的置信問題及擴(kuò)展不確定度（一）置信概率和置信區(qū)間置信概率：置信區(qū)間：包含因子（置信因子）c：置信區(qū)間的半寬：即擴(kuò)展不確定度。（二）服從正態(tài)分布測量結(jié)果的置信問題和擴(kuò)展不確定度1、服從正態(tài)分布的測量值在對稱區(qū)間的置信概率服從正態(tài)分布的測量值

X的概率密度為：(2-9)測量值X處于區(qū)間內(nèi)的置信概率為：（二）服從正態(tài)分布測量結(jié)果的置信問題和擴(kuò)展不確定度

1、服從正態(tài)分布的測量值在對稱區(qū)間的置信概率附錄2表A【例2-6】已知某測量值服從正態(tài)分布，測量中系統(tǒng)誤差可以忽略。分別求出置信區(qū)間為真值附近的三個(gè)區(qū)間，，時(shí)的置信概率。教材P41

解：因?yàn)闇y量的系統(tǒng)誤差可以忽略，所以x0=M(X)，置信區(qū)間分別為，，，則系數(shù)c分別為1、2、3。由附錄2表A查得置信概率分別為：【例2-7】：V0

、σ(V)已知，求測量值V出現(xiàn)在置信區(qū)間

=[9.7,10.3]的置信概率。【例2-8】：M(X)、σ(X)、置信概率已知，求置信區(qū)間。（二）服從正態(tài)分布測量結(jié)果的置信問題和擴(kuò)展不確定度服從正態(tài)分布有限次測量值的擴(kuò)展不確定度有限次測量時(shí)，總體標(biāo)準(zhǔn)差不可知，只能借助或。于是可求M(X)處于附近區(qū)間或的置信概率：t分布，附錄4【例2-9】一信號源經(jīng)校準(zhǔn)后可認(rèn)為沒有系差和異常數(shù)據(jù)，并根據(jù)以往多次測量，可知頻率值服從正態(tài)分布，現(xiàn)于某頻率點(diǎn)進(jìn)行了6次測量，數(shù)據(jù)如下：教材P43

如要求置信概率為95%，估計(jì)信號頻率的真值在什么范圍，擴(kuò)展不確定度為多少？解：(1)求頻率的平均值：

(2)求f的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差：

(3)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：(4)由自由度及置信概率p[|t|<tα]=95%

，從附錄4查得tα=2.571(5)估計(jì)信號真值所在范圍：題設(shè)沒有系差，所以f0≈M(f)，已知：且代入已求得的，可得：(6)求擴(kuò)展不確定度：（三）非正態(tài)分布的置信問題和擴(kuò)展不確定度已知分布形狀的正態(tài)分布，根據(jù)測量次數(shù)是否足夠多，由正態(tài)分布或t分布在對稱區(qū)間的積分表，根據(jù)置信概率確定包含因子c或tα。已知分布的非正態(tài)分布，通常取置信概率為100%，由表2-1查得包含因子。未知分布形狀的情況，包含因子常取1.73或2（了解內(nèi)容）§2.2測量不確定度和測量結(jié)果的表征三、測量誤差和測量不確定度的合成

（一）測量誤差的合成誤差傳遞公式設(shè)最終測量結(jié)果為y，各分項(xiàng)測量值為（分項(xiàng)測量值可以是單臺儀器中各部件的標(biāo)稱值，如上述電橋中的R1、R2和R3，也可以是間接測量中各單項(xiàng)測量值，如上述功率測量中的U、I或U、R或I、R），它們滿足函數(shù)關(guān)系：

并設(shè)各

xj間彼此獨(dú)立，

xj

絕對誤差為△xj

，y的絕對誤差為△y，則：

將上式在真值y0=f(x10,x20,…,xm0)附近按臺勞級數(shù)展開：略去上式右邊高階項(xiàng)，得因此：(2-28)誤差傳遞公式系統(tǒng)誤差的合成：

(2-29)

(2-30)因?yàn)椋喝綦S機(jī)誤差可忽略，則有：隨機(jī)誤差的合成：

(2-29)因?yàn)椋喝舾鞣猪?xiàng)的系差已經(jīng)修正或者可忽略，則有：

(2-31)常用幾何合成法：三、測量誤差和測量不確定度的合成（二）測量不確定度合成由分量求合成量的最佳估計(jì)值對，當(dāng)進(jìn)行k=1～n次測量時(shí)，y的最佳估計(jì)值為：

(2-32a)

(2-32b)

若y與各xi基本為線性，則有：三、測量誤差和測量不確定度的合成（二）測量不確定度合成求合成不確定度(2-33a)(2-33b)

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（的平方）：

相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：(2-33c)[例2-10]通過測電阻R端電壓V來測它消耗的功率P=V2/R。已知電阻及電壓的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R)及u(V)和相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(R)及urel(V)，求合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(P)及相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(P)。

解：(1)求合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(P)由P=V2/R，分別求出偏導(dǎo)數(shù)帶入上式并開方，即可得到uc(P)。(2)相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(P)利用定義或公式2-33c都可求。由式2-33a，得：

解：被測電壓可表示為[例2-11]某數(shù)字電壓表在其1V量程時(shí)，絕對誤差模的最大值表達(dá)式為：△V=0.002%Vx+0.001%Vm。在該量程進(jìn)行來若干次測量，已確定無異常數(shù)據(jù)和需要修正的確定性系差，得平均值，，問測量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是多少？

當(dāng)某量x同時(shí)具有A類不確定度uA(x)和B類不確定度uB(x)時(shí)，則總的不確定度為：因此：可知：△V的分布形狀未知，設(shè)其為均勻分布，取包含因子所以：三、測量結(jié)果報(bào)告（一）報(bào)告測量結(jié)果注意事項(xiàng)（二）常用測量結(jié)果的報(bào)告形式直接用最佳估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示設(shè)為某量Y的最佳估計(jì)值，u(y)為其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。如：例2-11中，，。則有：(1)

例：(2)例：(3)例：三、測量結(jié)果報(bào)告（二）常用測量結(jié)果的報(bào)告形式用最佳估計(jì)值和擴(kuò)展不確定度表示設(shè)為某量Y的最佳估計(jì)值，u(y)為其標(biāo)準(zhǔn)不確定度，U=cu(y)為擴(kuò)展不確定度。如：例2-11中則有：(1)例：(2)例：例2-12§2.3加權(quán)平均與回歸分析一、非等權(quán)測量和加權(quán)平均（一）測量結(jié)果的權(quán)：對同一量進(jìn)行m組測量，得到m組測量值及對應(yīng)的方差。方差大小表示數(shù)據(jù)的分散性（可疑程度），故可用權(quán)值衡量不同方差的數(shù)據(jù)受重視的程度：

式中定義為單位權(quán)的方差。