2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE33學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE第一章立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu),梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí).2.熟練掌握平行關(guān)系與垂直關(guān)系，能自主解決一些實(shí)際問(wèn)題。3.掌握幾何體的三視圖與直觀圖,能計(jì)算幾何體的表面積與體積．1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其側(cè)面積和體積名稱(chēng)定義圖形側(cè)面積體積多面體棱柱有兩個(gè)面____________，其余各面都是__________，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都__________S側(cè)＝Ch，C為底面的周長(zhǎng)，h為高V＝Sh棱錐有一個(gè)面是__________，其余各面都是________________的三角形S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′，C為底面的周長(zhǎng),h′為斜高V＝eq\f（1，3)Sh，h為高棱臺(tái)用一個(gè)________________的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)（C＋C′)h′，C，C′為底面的周長(zhǎng)，h′為斜高V＝eq\f（1，3）（S上＋S下＋eq\r（S上S下))h，h為高旋轉(zhuǎn)體圓柱以________________所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體S側(cè)＝2πrh，r為底面半徑，h為高V＝Sh＝πr2h圓錐以直角三角形的______________所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體S側(cè)＝πrl,r為底面半徑,h為高V＝eq\f(1，3)Sh＝eq\f(1,3）πr2h圓臺(tái)用__________________的平面去截圓錐，____________之間的部分S側(cè)＝π(r1＋r2）l，r1,r2為底面半徑,l為母線(xiàn)V＝eq\f(1，3)(S上＋S下＋eq\r（S上S下)）h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2，1）＋req\o\al(2，2)＋r1r2）h球以__________所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸,________旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體S球面＝4πR2,R為球的半徑V＝eq\f(4，3)πR32.空間幾何體的三視圖與直觀圖(1)三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形;它包括主視圖、左視圖、俯視圖三種．畫(huà)圖時(shí)要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則．注意三種視圖的擺放順序,在三視圖中，分界線(xiàn)和可見(jiàn)輪廓線(xiàn)都用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出，不可見(jiàn)輪廓線(xiàn)用虛線(xiàn)畫(huà)出．熟記常見(jiàn)幾何體的三視圖．畫(huà)組合體的三視圖時(shí)可先拆，后畫(huà),再檢驗(yàn)．（2）斜二測(cè)畫(huà)法:主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫(huà)法．它的主要步驟：①畫(huà)軸；②畫(huà)平行于x、y、z軸的線(xiàn)段分別為平行于x′、y′、z′軸的線(xiàn)段;③截線(xiàn)段：平行于x、z軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化。（3）轉(zhuǎn)化思想在本章應(yīng)用較多,主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面①曲面化平面，如幾何體的側(cè)面展開(kāi)，把曲線(xiàn)（折線(xiàn)）化為線(xiàn)段．②等積變換，如三棱錐轉(zhuǎn)移頂點(diǎn)等．③復(fù)雜化簡(jiǎn)單，把不規(guī)則幾何體通過(guò)分割，補(bǔ)體化為規(guī)則的幾何體等．3．四個(gè)公理公理1：如果一條直線(xiàn)上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。公理2：過(guò)________________________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有____________________________．公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相________．4．直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線(xiàn)\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（，））,異面直線(xiàn)：不同在一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn))）5．平行的判定與性質(zhì)（1)直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b（2）面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∥β，aβ結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α(3）空間中的平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系6．垂直的判定與性質(zhì)（1)直線(xiàn)與平面垂直圖形條件結(jié)論判定a⊥b，bα(b為α內(nèi)的________直線(xiàn)）a⊥αa⊥m,a⊥n，m、nα，________________a⊥αa∥b，________b⊥α性質(zhì)a⊥α，________a⊥ba⊥α，b⊥α（2)平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條________,那么這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(lβ，l⊥α））?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(α⊥β，α∩β＝a,lβ,l⊥a))?l⊥α（3）空間中的垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系7．空間角（1）異面直線(xiàn)所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的____________________叫作異面直線(xiàn)a，b所成的角（或夾角）．②范圍:設(shè)兩異面直線(xiàn)所成角為θ，則________________．（2）二面角的有關(guān)概念①二面角:從一條直線(xiàn)和由這條直線(xiàn)出發(fā)的__________所組成的圖形叫作二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作________________的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫作二面角的平面角．類(lèi)型一由三視圖求幾何體的表面積與體積例1某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12 B．18C．24 D．30反思與感悟(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．（2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積問(wèn)題要注意銜接部分的處理．(3）旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練1已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(）A.eq\f(8π,3) B．3πC。eq\f（10π，3) D．6π類(lèi)型二平行問(wèn)題例2如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD,MA∥PB，PB＝2MA。在線(xiàn)段PB上是否存在一點(diǎn)F,使平面AFC∥平面PMD?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．反思與感悟(1)證明線(xiàn)線(xiàn)平行的依據(jù)①平面幾何法（常用的有三角形中位線(xiàn)、平行四邊形對(duì)邊平行）；②公理4；③線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理；⑤線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理．（2）證明線(xiàn)面平行的依據(jù)①定義；②線(xiàn)面平行的判定定理；③面面平行的性質(zhì)定理．(3)證明面面平行的依據(jù)①定義；②面面平行的判定定理；③線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理；④面面平行的傳遞性．跟蹤訓(xùn)練2如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點(diǎn)．（1）求證：BC⊥平面PAC；（2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn),G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC。類(lèi)型三垂直問(wèn)題例3如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明:(1)CD⊥AE；（2)PD⊥平面ABE.反思與感悟(1）兩條異面直線(xiàn)相互垂直的證明方法①定義；②線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理．（2)直線(xiàn)和平面垂直的證明方法①線(xiàn)面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理．（3)平面和平面相互垂直的證明方法①定義；②面面垂直的判定定理．跟蹤訓(xùn)練3如圖，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB＝90°，點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC＝CA＝AA1。(1)求證：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2)求證：BC1⊥AB1。類(lèi)型四空間角問(wèn)題例4如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F,M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點(diǎn)．（1)求證:平面MNF⊥平面ENF；（2）求平面MEF與NEF的夾角的正切值．反思與感悟(1）面面垂直的證明要化歸為線(xiàn)面垂直的證明，利用垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是證明的基本方法．（2）找二面角的平面角的方法有以下兩種:①作棱的垂面；②過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線(xiàn),過(guò)垂足作棱的垂線(xiàn)．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在圓錐PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝eq\r(2）,⊙O的直徑AB＝2，C是eq\x\to（AB)的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．（1)證明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦值．1．如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（）A．①是棱臺(tái) B．②是圓臺(tái)C．③是棱錐 D．④不是棱柱2．設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn),α、β、γ是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α∥β,β∥γ,m∥α，則m∥γ；③若m∥α，n∥α，則m∥n;④若α⊥γ，β⊥γ,則α∥β.其中正確命題的序號(hào)是()A．①B．②和③C．③和④D．①和④3．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．異面直線(xiàn)AD與CB1所成的角為45°4．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm)，則該幾何體的表面積是______cm2，體積是________cm3。5.已知正方體ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)．求證：(1)C1O∥平面AB1D1；(2)A1C⊥平面AB1D1。1。轉(zhuǎn)化思想是證明線(xiàn)面平行與垂直的主要思路,其關(guān)系為2．研究空間幾何體，需在平面上畫(huà)出幾何體的直觀圖或三視圖,由幾何體的直觀圖可畫(huà)它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時(shí)可以通過(guò)作截面把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題來(lái)解決．另外，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，我們都是通過(guò)展開(kāi)圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問(wèn)題通常也是由截面把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決．答案精析知識(shí)梳理1．互相平行四邊形互相平行多邊形有一個(gè)公共頂點(diǎn)平行于棱錐底面矩形的一邊一條直角邊平行于圓錐底面底面和截面半圓的直徑半圓面3．兩點(diǎn)不在同一條直線(xiàn)上一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)平行4．平行相交任何5．（1）a∩α＝?aα,bα,a∥ba∥αa∥α，aβ，α∩β＝b(2）α∩β＝?aβ,bβ，a∩b＝P,a∥α，b∥αα∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b6．（1）任意m∩n＝Oa⊥αbαa∥b（2）垂線(xiàn)7．（1)①銳角(或直角）②0°〈θ≤90°(2）①兩個(gè)半平面②垂直于棱題型探究例1C［由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由主視圖和左視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的．在長(zhǎng)方體中分析還原，如圖（1）所示,故該幾何體的直觀圖如圖(2）所示．在圖（1）中，＝S△ABC·AA1＝eq\f(1，2）×4×3×5＝30，＝eq\f（1，3)·PB1＝eq\f（1,3)×eq\f(1,2）×4×3×3＝6。故幾何體ABC－PA1C1的體積為30－6＝24。故選C.］跟蹤訓(xùn)練1B[將三視圖還原為直觀圖求體積．由三視圖可知，此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線(xiàn)的中點(diǎn)處截去了圓柱的eq\f(1，4）,所以V＝eq\f(3,4)×π×12×4＝3π。]例2解當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí)，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接AC和BD交于點(diǎn)O,連接FO，則PF＝eq\f(1,2）PB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn)．∴OF∥PD.又OF平面PMD，PD平面PMD，∴OF∥平面PMD。又MA綊eq\f(1，2）PB，∴PF綊MA.∴四邊形AFPM是平行四邊形．∴AF∥PM。又AF平面PMD，PM平面PMD?！郃F∥平面PMD。又AF∩OF＝F，AF平面AFC,OF平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.跟蹤訓(xùn)練2證明（1）由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC,BC平面ABC，得PA⊥BC。又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC,所以BC⊥平面PAC。(2）連接OG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M，連接QM，QO，由G為△AOC的重心，得M為AC中點(diǎn)．由Q為PA中點(diǎn),得QM∥PC，又O為AB中點(diǎn)，得OM∥BC。因?yàn)镼M∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C,BC平面PBC，PC平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因?yàn)镼G平面QMO,所以QG∥平面PBC.例3證明（1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE。（2)由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC。由（1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD。而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB。又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。跟蹤訓(xùn)練3證明（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為M，∵點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是點(diǎn)M，∴B1M⊥平面ABC。∵AC平面ABC,∴B1M⊥AC。又∵BC⊥AC,B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB。(2)連接B1C?！逜C⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝CC1。∴四邊形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1。又∵B1C∩AC＝C,∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.例4（1）證明連接MN，∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點(diǎn),∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN平面A1B1C1D1,∴NF⊥MN.又∵M(jìn)，E均為所在棱的中點(diǎn),∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形．∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE,∴MN⊥平面NEF。而MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF。（2)解在平面NEF中,過(guò)點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G,連接MG。由（1）知MN⊥平面NEF，又EF平面NEF，∴MN⊥EF。又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG,∴EF⊥MG.∴∠MGN為平面MEF與平面NEF的夾角．設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為2，在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF,EF)＝eq\f(2\r（3)，3），∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f（MN，NG)＝eq\f（\r(2）,\f（2\r（3)，3))＝eq\f（\r（6），2)?！嗥矫鍹EF與平面NEF的夾角的正切值為eq\f（\r（6），2)。跟蹤訓(xùn)練4（1）證明連接OC.∵PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，∴AC⊥PO?！逴A＝OC，D是AC的中點(diǎn)，∴AC⊥OD。又∵OD∩PO＝O，∴AC⊥平面POD.又∵AC平面PAC,∴平面POD⊥平面PAC。（2)解在平面POD中，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PD于點(diǎn)H.由（1)知，平面POD⊥平面PAC，∴OH⊥平面PAC.又∵PA平面PAC，∴PA⊥OH。在平面PAO中，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥PA于點(diǎn)G，連接HG，則有PA⊥平面OGH，∴PA⊥HG。故∠OGH為二面角B－PA－C的平面角．∵C是eq\x\to（AB）的中點(diǎn)，AB是直徑,∴OC⊥AB.在Rt△ODA中，OD＝OA·sin45°＝eq\f(\r(2），2).在Rt△POD中，OH＝eq\f(PO·OD，PD)＝eq\f（PO·OD，\r（PO2＋OD2））＝eq\f(\r(2）×\f（\r（2)，2)，\r（2＋\f(1，2）））＝eq\f（\r(10）,5）.在Rt△POA中，OG＝eq\f（PO·OA，PA）＝eq\f（PO·OA，\r（PO2＋OA2)）＝eq\f(\r（2）×1，\r（2＋1)）＝e