2017-2018版高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用章末復習課學案2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第一章導數(shù)及其應用題型一導數(shù)與曲線的切線利用導數(shù)求切線方程時關(guān)鍵是找到切點,若切點未知需設(shè)出．常見的類型有兩種，一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q（x1，y1)，由eq\f（y0－y1，x0－x1)＝f′（x1)和y1＝f（x1）求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型．例1已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A,曲線y＝f(x）在點A處的切線斜率為－1.(1）求a的值及函數(shù)f(x）的極值；（2)證明:當x〉0時，x2<ex。（1）解由f（x)＝ex－ax,得f′(x）＝ex－a。又f′(0）＝1－a＝－1，得a＝2。所以f（x）＝ex－2x，f′（x）＝ex－2。令f′(x）＝0，得x＝ln2。當x〈ln2時,f′（x）〈0,f（x）單調(diào)遞減；當x>ln2時，f′（x)〉0，f(x）單調(diào)遞增．所以當x＝ln2時，f（x)取得極小值，且極小值f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f（x）無極大值．（2）證明令g（x）＝ex－x2，則g′（x）＝ex－2x。由（1)得g′(x）＝f（x)≥f（ln2)>0.故g(x）在R上單調(diào)遞增,又g（0)＝1〉0，因此，當x〉0時，g(x)〉g(0）>0，即x2<ex.跟蹤訓練1已知函數(shù)f（x）＝ax2＋2ln（2－x）(a∈R），設(shè)曲線y＝f(x）在點(1，f(1）)處的切線為l，若l與圓C：x2＋y2＝eq\f（1，4）相切，求a的值．解依題意有:f（1)＝a,f′(x)＝2ax＋eq\f（2,x－2）(x<2），∴l(xiāng)的方程為2（a－1）x－y＋2－a＝0,∵l與圓相切，∴eq\f（｜2－a｜,\r(4a－12＋1）)＝eq\f（1,2)?a＝eq\f（11,8），∴a的值為eq\f(11,8）.題型二導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)y＝f(x）單調(diào)區(qū)間的步驟：（1)確定函數(shù)y＝f（x）的定義域;(2）求導數(shù)y′＝f′（x)；（3)解不等式f′(x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．特別要注意定義域，寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間用“和"或“，"隔開，絕對不能用“∪”連接．例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1)f（x）＝（x－3)ex，x∈（0，＋∞）；(2）f（x)＝x（x－a)2.解(1）f′（x)＝（x－3）′ex＋(x－3)（ex)′＝（x－2）ex，令f′(x）〉0，解得x>2，又x∈（0，＋∞)，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（2，＋∞），函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0,2）．（2)函數(shù)f(x)＝x(x－a）2＝x3－2ax2＋a2x的定義域為R,由f′（x）＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝eq\f(a,3）,x2＝a。①當a〉0時,x1〈x2.∴函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,eq\f(a，3))，(a，＋∞）,單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\f(a,3），a）．②當a<0時，x1〉x2，∴函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞,a)，（eq\f（a，3)，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(a，eq\f(a，3））．③當a＝0時，f′（x)＝3x2≥0，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞）,即f(x)在R上是單調(diào)遞增的．綜上,a>0時,函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，eq\f(a，3））,(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為（eq\f(a，3)，a)；a〈0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，a），(eq\f（a,3），＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，eq\f（a，3)）;a＝0時,函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞,＋∞）．跟蹤訓練2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）f（x）＝sinx，x∈[0，2π］；（2)y＝xlnx。解（1)函數(shù)的定義域是［0，2π］，f′(x)＝cosx，令cosx>0，解得2kπ－eq\f（π,2)<x〈2kπ＋eq\f（π，2）（k∈Z)，當x∈［0，2π］時,0<x<eq\f(π，2)，或eq\f（3π，2)〈x〈2π，令cosx〈0，解得eq\f(π,2)〈x<eq\f（3π,2），因此，f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，eq\f（π,2）)和（eq\f(3π，2），2π），單調(diào)遞減區(qū)間是（eq\f（π,2)，eq\f(3π，2）)．（2）函數(shù)的定義域是(0，＋∞),f′（x）＝lnx＋1，令lnx＋1>0得x>e－1,因此，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（e－1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，e－1)．題型三數(shù)形結(jié)合思想在導數(shù)中的應用1．應用導數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟:(1)確定函數(shù)f（x)的定義域；（2）解方程f′（x）＝0的根；(3）檢驗f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′（x)的符號．若左正右負，則f（x)在此根處取得極大值；若左負右正,則f（x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f（x）的極值點．2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b]上的最大值、最小值的方法與步驟：(1）求f（x)在（a，b)內(nèi)的極值;（2)將（1）求得的極植與f（a)、f(b）相比較,其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值；特別地，①當f（x）在（a，b)上單調(diào)時，其最小值、最大值在區(qū)間端點處取得,②當f（x)在(a，b）內(nèi)只有一個極值點時，若在這一個點處f（x）有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點處f（x）有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(?。┲?，這里(a，b)也可以是（－∞，＋∞）．例3設(shè)eq\f（2,3)<a〈1，函數(shù)f(x)＝x3－eq\f（3，2）ax2＋b(－1≤x≤1）的最大值為1，最小值為－eq\f(\r(6）,2），求常數(shù)a，b。解令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.f（0)＝b，f(a）＝－eq\f（a3，2）b，f（－1)＝－1－eq\f(3,2)a＋b，f（1）＝1－eq\f(3，2）a＋b.因為eq\f(2,3)〈a<1，所以1－eq\f（3,2）a<0，故最大值為f(0）＝b＝1,所以f(x）的最小值為f(－1）＝－1－eq\f(3,2)a＋b＝－eq\f（3,2)a，所以－eq\f(3，2）a＝－eq\f(\r(6），2)，所以a＝eq\f（\r(6）,3）。故a＝eq\f(\r(6）,3),b＝1。跟蹤訓練3已知f（x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0）的圖象如圖所示，若｜x1|〉|x2|，則有(）A．a(chǎn)〉0，b〉0 B．a(chǎn)〈0,b<0C．a(chǎn)<0，b〉0 D．a(chǎn)〉0，b〈0答案B解析由f(x）的圖象易知f(x）有兩個極值點x1、x2,且x＝x1時有極小值，∴f′（x）＝3ax2＋2bx＋1的圖象如圖所示，∴a<0。又|x1|〉|x2｜，∴－x1〉x2，∴x1＋x2〈0，即x1＋x2＝－eq\f（2b，3a)<0，∴b<0.題型四定積分及其應用定積分的幾何意義表示曲邊梯形的面積，它的物理意義表示做變速直線運動物體的位移或變力所做的功，所以利用定積分可求平面圖形的面積以及變速運動的路程和變力做功等問題．利用定積分解決問題時要注意確定被積函數(shù)和積分上下限．例4如圖，是由直線y＝x－2，曲線y2＝x所圍成的圖形，試求其面積S.解由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝x，，y＝x－2，)）得x＝1或x＝4，故A(1,－1），B(4，2）,如圖所示，S＝2?eq\o\al（1，0）eq\r（x)dx＋?eq\o\al（4,1）（eq\r（x)－x＋2）dx跟蹤訓練4在區(qū)間［0,1］上給定曲線y＝x2，如圖所示,試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值,使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最?。饷娣eS1等于邊長為t與t2的矩形的面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t圍成的面積,即S1＝t·t2－?eq\o\al(t，0)x2dx＝eq\f(2,3)t3。面積S2等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t,即S2＝?eq\o\al(1，t)x2dx－t2(1－t)＝eq\f（2，3)t3－t2＋eq\f(1，3).所以陰影部分面積S為:S＝S1＋S2＝eq\f(4，3）t3－t2＋eq\f(1，3)(0≤t≤1），由S′(t）＝4t2－2t＝4t(t－eq\f（1，2)）＝0，得t＝0，或t＝eq\f（1,2).由于當0<t<eq\f（1，2)時，S′（t）〈0；當eq\f（1，2)<t<1時，S′（t)>0，所以S（t）在0〈t〈eq\f(1,2)上單調(diào)遞減,在eq\f（1,2)<t〈1上單調(diào)遞增．所以當t＝eq\f（1，2）時，S最小，即圖中陰影部分的面積S1與S2之和最小．［呈重點、現(xiàn)規(guī)律］1．函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍問題，可以有兩種類型：一是已知函數(shù)單調(diào)性（或極值),求參數(shù)范圍；二是已知函數(shù)最值(或恒成立）等性質(zhì)，求參數(shù)范圍．這兩種類型從實質(zhì)上講，可以統(tǒng)一為：已知函數(shù)值的變化規(guī)律,探求其參數(shù)變化范圍．2．在解決問題