2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4.2微積分基本定理（一）學(xué)案2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1.4。2微積分基本定理(一）明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.直觀了解并掌握微積分基本定理的含義。2。會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的積分．1．微積分基本定理如果F′（x)＝f(x),且f(x）在［a，b］上可積，則?eq\o\al(b，a）f(x）dx＝F(b）－F（a），其中F（x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù)．2．定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，x軸下方的面積為S下，則（1)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方時(shí)，如圖(1)，則?eq\o\al(b，a)f(x)dx＝S上．（2)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸下方時(shí)，如圖(2）,則?eq\o\al（b，a）f（x)dx＝－S下．（3)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方、x軸下方均存在時(shí)，如圖(3),則?eq\o\al(b,a）f（x）dx＝S上－S下，若S上＝S下，則?eq\o\al(b，a)f（x)dx＝0。［情境導(dǎo)學(xué)]從前面的學(xué)習(xí)中可以發(fā)現(xiàn)，雖然被積函數(shù)f(x)＝x3非常簡單,但直接用定積分的定義計(jì)算?eq\o\al（1，0）x3dx的值卻比較麻煩．有沒有更加簡便、有效的方法求定積分?另外，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要的概念—-導(dǎo)數(shù)和定積分，這兩個(gè)概念之間有沒有內(nèi)在的聯(lián)系？我們能否利用這種聯(lián)系求定積分？探究點(diǎn)一微積分基本定理思考1如下圖，一個(gè)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是y＝y(tǒng)(t)，并且y(t）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻t的速度v(t)＝y(tǒng)′(t）．設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段［a，b]內(nèi)的位移為s,你能分別用y（t），v(t)表示s嗎?答由物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是y＝y(tǒng)（t)知：s＝y(tǒng)(b）－y（a）,通過求定積分的幾何意義，可得s＝?eq\o\al（b，a)v(t)dt＝?eq\o\al（b，a)y′(t)dt，所以?eq\o\al(b,a）v(t)dt＝?eq\o\al(b,a)y′（t）dt＝y(tǒng)(b)－y(a)．其中v(t)＝y(tǒng)′（t)．小結(jié)(1）如果f（x)在區(qū)間[a，b]上可積，且F′(x)＝f（x)，則?eq\o\al(b，a)f（x）dx＝F(b)－F(a)．這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理．（2)運(yùn)用微積分基本定理求定積分?eq\o\al(b,a)f(x）dx很方便，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出滿足F′（x)＝f（x)的F(x)．思考2對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)f（x）來說,是否存在唯一的F（x）,使F′（x)＝f(x）？若不唯一，會(huì)影響微積分基本定理的唯一性嗎？答不唯一，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，若F′（x)＝f(x）,則對(duì)任意實(shí)數(shù)c,[F（x)＋c］′＝F′（x)＋c′＝f（x)．不影響，因?yàn)?eq\o\al(b，a）f（x）dx＝［F（b）＋c］－［F（a)＋c］＝F(b）－F（a）．例1計(jì)算下列定積分：（1)?eq\o\al(2，1）eq\f(1,x)dx；（2)?eq\o\al(3,1)（2x－eq\f(1,x2))dx；（3)?eq\o\al（0,－π)(cosx－ex）dx.解(1）因?yàn)椋╨nx）′＝eq\f(1，x），所以?eq\o\al（2，1）eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(2，1)＝ln2－ln1＝ln2。（2)因?yàn)?x2）′＝2x，(eq\f(1,x）)′＝－eq\f(1,x2），所以?eq\o\al(3,1)（2x－eq\f（1，x2)）dx＝?eq\o\al(3，1）2xdx－?eq\o\al(3，1)eq\f（1,x2）dx＝x2|eq\o\al(3,1）＋eq\f（1,x)|eq\o\al（3，1)＝(9－1）＋（eq\f（1,3)－1）＝eq\f（22,3）。（3)?eq\o\al（0,－π)(cosx－ex)dx＝?eq\o\al（0,－π）cosxdx－?eq\o\al(0，－π）exdx＝sinx|eq\o\al（0,－π)－ex|eq\o\al(0，－π)＝eq\f（1，eπ)－1.反思與感悟求簡單的定積分關(guān)鍵注意兩點(diǎn)：（1）掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù),當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解；(2）精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限．跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算下列定積分：（1)eq\i\in(1,2,）(x－1)5dx;（3）eq\i\in（1，2，)eq\f(1,xx＋1)dx。解(1)因?yàn)閑q\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x－16）)′＝(x－1）5，所以eq\i\in(1,2，）(x－1)5dx＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f（1，6)x－16））eq\o\al(2，1）＝eq\f（1，6）×（2－1)6－eq\f(1,6）×(1－1）6＝eq\f（1,6）。(2)因?yàn)閑q\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,4)sin4x））′＝sin3xcosx,所以＝eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，4)sin4x))）)＝eq\f(1，4)sin4eq\f（π，2)－eq\f(1，4)sin40＝eq\f(1,4）.(3）令f（x）＝eq\f(1，xx＋1)＝eq\f（1，x)－eq\f（1,x＋1）,取F（x）＝lnx－ln(x＋1)＝lneq\f（x,x＋1）,則F′(x）＝eq\f(1，x)－eq\f(1,x＋1）。所以eq\i\in(1，2,)eq\f(1,xx＋1）dx＝eq\i\in（1,2，)(eq\f（1,x）－eq\f(1,x＋1））dx＝eq\b\lc\\rc\|（\a\vs4\al\co1（ln\f（x，x＋1)））eq\o\al（2，1）＝lneq\f(4,3）。探究點(diǎn)二分段函數(shù)的定積分例2已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinx,0≤x≤\f（π，2），，1,\f(π,2)≤x≤2，,x－1，2≤x≤4.)）先畫出函數(shù)圖象,再求這個(gè)函數(shù)在[0,4］上的定積分．解圖象如圖．＝1＋（2－eq\f(π，2））＋(4－0)＝7－eq\f(π，2).反思與感悟求分段函數(shù)的定積分，分段標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原分段函數(shù)的分段情況即可；對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2,x≤0,,cosx－1,x>0，)）求?eq\o\al（1，－1）f（x)dx.解?eq\o\al（1，－1）f（x）dx＝?eq\o\al(0,－1）x2dx＋?eq\o\al（1，0)（cosx－1）dx＝eq\f（1,3）x3|eq\o\al（0,－1）＋（sinx－x)|eq\o\al（1,0)＝sin1－eq\f（2,3）.探究點(diǎn)三定積分的應(yīng)用例3計(jì)算下列定積分：?eq\o\al(π，0)sinxdx，?eq\o\al（2π，π)sinxdx,?eq\o\al（2π,0）sinxdx.由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．解因?yàn)椋ǎ璫osx)′＝sinx,所以?eq\o\al(π,0)sinxdx＝（－cosx)|eq\o\al(π,0)＝（－cosπ)－(－cos0)＝2；?eq\o\al（2π，π)sinxdx＝(－cosx）｜eq\o\al（2π，π）＝（－cos2π）－(－cosπ）＝－2；?eq\o\al(2π，0）sinxdx＝(－cosx)｜eq\o\al(2π,0）＝(－cos2π）－(－cos0)＝0?？梢园l(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值,還可能是0:定積分的值與曲邊梯形面積之間的關(guān)系：（1）位于x軸上方的曲邊梯形的面積等于對(duì)應(yīng)區(qū)間的積分；(2)位于x軸下方的曲邊梯形的面積等于對(duì)應(yīng)區(qū)間的積分的相反數(shù)；(3）定積分的值就是位于x軸上方曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．反思與感悟求平面圖形面積的步驟：(1)畫函數(shù)的圖象，聯(lián)立方程組求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．（2)將曲邊形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積．（3）確定被積函數(shù)和積分區(qū)間，計(jì)算定積分，求出面積．跟蹤訓(xùn)練3求曲線y＝sinx與直線x＝－eq\f（π，2)，x＝eq\f（5，4）π，y＝0所圍圖形的面積（如圖所示)．解所求面積為S＝?eq\f(5,4)π－eq\f(π，2）｜sinx｜dx＝－?0－eq\f（π，2)sinxdx＋?eq\o\al（π，0）sinxdx－?eq\f(5，4)ππsinxdx＝1＋2＋（1－eq\f(\r(2),2))＝4－eq\f（\r（2)，2)。1．定積分?eq\o\al（1，0)（2x＋ex)dx的值為（）A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1答案C解析?eq\o\al（1，0)(2x＋ex）dx＝(x2＋ex）|eq\o\al（1，0）＝e.故選C。2．若?eq\o\al（a，1）（2x＋eq\f（1，x)）dx＝3＋ln2，則a的值是(）A．5B．4C．3D．2答案D解析?eq\o\al(a，1）(2x＋eq\f（1，x）)dx＝?eq\o\al(a，1）2xdx＋?eq\o\al（a,1)eq\f（1，x)dx＝x2｜eq\o\al（a,1）＋lnx｜eq\o\al（a，1)＝a2－1＋lna＝3＋ln2,解得a＝2。3．?eq\o\al（2,0)(x2－eq\f(2,3）x）dx＝________。答案eq\f（4,3)解析?eq\o\al(2，0）(x2－eq\f(2,3）x）dx＝?eq\o\al（2，0)x2dx－?eq\o\al（2，0）eq\f（2,3)xdx＝eq\f（x3，3）|eq\o\al(2,0)－eq\f(x2,3)｜eq\o\al（2，0)＝eq\f(8,3）－eq\f(4，3）＝eq\f(4,3）.4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4x－2π，0≤x≤\f(π,2)，，cosx,\f（π，2)〈x≤π)),計(jì)算?eq\o\al(π,0）f(x）dx。解取F1（x)＝2x2－2πx，則F1′(x）＝4x－2π;取F2(x)＝sinx,則F2′（x）＝cosx.所以即?eq\o\al（π，0)f（x)dx＝－eq\f（1,2）π2－1.［呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]1．求定積分的一些常用技巧(1)對(duì)被積函數(shù)，要先化簡，再求積分