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文檔簡介
2023年山東省日照市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(5分)復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)表示的點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【考點】:復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.【專題】:數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).【分析】:利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求出表示點的坐標(biāo)得答案.【解析】:解:∵=,∴z的共扼復(fù)數(shù)為,它表示的點為,在第三象限.故選:C.【點評】:本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.2.(5分)已知集合M={x|x2﹣4x<0},N={x||x|≤2},則M∪N=()A.(﹣2,4)B.[﹣2,4)C.(0,2)D.(0,2]【考點】:并集及其運算.【專題】:集合.【分析】:先求出集合M,N,再根據(jù)并集的定義求出即可.【解析】:解:集合M={x|x2﹣4x<0}=(0,4),N={x||x|≤2}=[﹣].∴M∪N=[﹣2,4),故選:B【點評】:本題考查了集合得并集運算,屬于基礎(chǔ)題.3.(5分)采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查,為此將他們隨機編號為1,2,…,1000,適當(dāng)分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.抽到的50人中,編號落入?yún)^(qū)間[1,400]的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間[401,750]的人做問卷B,其余的人做問卷C.則抽到的人中,做問卷C的人數(shù)為()A.12B.13C.14D.15【考點】:系統(tǒng)抽樣方法.【專題】:概率與統(tǒng)計.【分析】:由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以8為首項、以20為公差的等差數(shù)列,求得此等差數(shù)列的通項公式為an,由751≤an≤1000求得正整數(shù)n的個數(shù),即為所求.【解析】:解:由1000÷50=20,故由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以8為首項、以20為公差的等差數(shù)列,且此等差數(shù)列的通項公式為an=8+(n﹣1)20=20n﹣12.由751≤20n﹣12≤1000解得≤n≤.再由n為正整數(shù)可得39≤n≤50,且n∈Z,故做問卷C的人數(shù)為12,故選A.【點評】:本題主要考查等差數(shù)列的通項公式,系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于基礎(chǔ)題.4.(5分)函數(shù)(e是自然對數(shù)的底數(shù))的部分圖象大致是()A.B.C.D.【考點】:函數(shù)的圖象.【專題】:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】:利用排除法,先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)函數(shù)的值域即可判斷.【解析】:解:∵f(﹣x)==f(x),∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù),排除A,B,∵>0,故排除D,故選:C.【點評】:本題考查了圖象的識別,根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的值域,是常用的方法,屬于基礎(chǔ)題.5.(5分)下列說法不正確的是()A.若“p且q”為假,則p、q至少有一個是假命題B.命題“?x0∈R,x02﹣x0﹣1<0”的否定是“?x∈R,x2﹣x﹣1≥0”C.“φ=”是“y=sin(2x+φ)為偶函數(shù)”的充要條件D.a(chǎn)<0時,冪函數(shù)y=xa在(0,+∞)上單調(diào)遞減【考點】:命題的真假判斷與應(yīng)用.【專題】:簡易邏輯.【分析】:分別根據(jù)復(fù)合命題真假之間的關(guān)系,含有量詞的命題的否定,充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【解析】:解:A.若“p且q”為假,則p、q至少有一個是假命題,正確.B.命題“?x0∈R,x02﹣x0﹣1<0”的否定是“?x∈R,x2﹣x﹣1≥0”,正確,C.“φ=”是“y=sin(2x+φ)為偶函數(shù)”的充分不必要條件,故C錯誤.D.a(chǎn)<0時,冪函數(shù)y=xa在(0,+∞)上單調(diào)遞減,正確.故選:C【點評】:本題主要考查命題的真假判斷,涉及的知識點較多,比較基礎(chǔ).6.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的T=()A.29B.44C.52D.62【考點】:循環(huán)結(jié)構(gòu).【專題】:算法和程序框圖.【分析】:執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的S,T,n的值,當(dāng)S=12,n=4,T=29時,滿足條件T>2S,退出循環(huán),輸出T的值為29.【解析】:解:執(zhí)行程序框圖,有S=3,n=1,T=2,不滿足條件T>2S,S=6,n=2,T=8不滿足條件T>2S,S=9,n=3,T=17不滿足條件T>2S,S=12,n=4,T=29滿足條件T>2S,退出循環(huán),輸出T的值為29.故選:A.【點評】:本題主要考察了程序框圖和算法,屬于基本知識的考查.7.(5分)將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,所得圖象的一條對稱軸方程可能是()A.B.C.D.【考點】:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.【專題】:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】:根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系進行求解即可.【解析】:解:將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到函數(shù)y=sin(),由=+kπ,即+2kπ,k∈Z,∴當(dāng)k=0時,函數(shù)的對稱軸為,故選:D.【點評】:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系以及三角函數(shù)對稱軸的計算,求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.8.(5分)變量xy、滿足線性約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z=kx﹣y,僅在點(0,2)取得最小值,則k的取值范圍是()A.k<﹣3B.k>1C.﹣3<k<1D.﹣1<k<1【考點】:簡單線性規(guī)劃.【專題】:不等式的解法及應(yīng)用.【分析】:作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件,即可求出a的取值范圍.【解析】:解:作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,由z=kx﹣y得y=kx﹣z,要使目標(biāo)函數(shù)y=kx﹣z僅在點A(0,2)處取得最小值,則陰影部分區(qū)域在直線y=kx﹣z的下方,∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k滿足﹣3<k<1,故選:C.【點評】:本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法.根據(jù)條件目標(biāo)函數(shù)z=kx﹣y,僅在點(0,2)取得最小值,確定直線的位置是解決本題的關(guān)鍵.9.(5分)函數(shù)y=的圖象上存在不同的三點到原點的距離構(gòu)成等比數(shù)列,則以下不可能成為等比數(shù)列的公比的數(shù)是()A.B.C.D.【考點】:等比數(shù)列的通項公式;數(shù)列的函數(shù)特性.【分析】:由題意可知,函數(shù)圖象為上半圓,根據(jù)圖象可得圓上點到原點的最短距離為2,最大距離為8.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程,可計算出公比的范圍,從而判斷出結(jié)論.【解析】:解:函數(shù)y=的等價于,表示圓心在(5,0),半徑為3的上半圓(如圖所示),圓上點到原點的最短距離為2(點2處),最大距離為8(點8處),若存在三點成等比數(shù)列,則最大的公比q應(yīng)有8=2q2,即q2=4,q=2,最小的公比應(yīng)滿足2=8q2,即q2=,解得q=又不同的三點到原點的距離不相等,故q≠1,∴公比的取值范圍為≤q≤2,且q≠1,故選:D【點評】:本題考查等比數(shù)列的通項公式,涉及等比數(shù)列的定義,等比中項以及函數(shù)作圖,屬中檔題.10.(5分)在(1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=cf(x)(c為正常數(shù));②當(dāng)2≤x≤4時,f(x)=1﹣(x﹣3)2.若f(x)圖象上所有極大值對應(yīng)的點均落在同一條直線上.則c=()A.1或B.C.1或3D.1或2【考點】:函數(shù)與方程的綜合運用.【專題】:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】:由已知中定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=cf(x)(c為正常數(shù));②當(dāng)2≤x≤4時,f(x)=1﹣(x﹣3)2.我們可得分段函數(shù)f(x)的解析式,進而求出三個函數(shù)的極值點坐標(biāo),進而根據(jù)三點共線,則任取兩點確定的直線斜率相等,可以構(gòu)造關(guān)于c的方程,解方程可得答案.【解析】:解:∵當(dāng)2≤x≤4時,f(x)=1﹣(x﹣3)2.當(dāng)1≤x<2時,2≤2x<4,則f(x)=f(2x)=[1﹣(2x﹣3)2],此時當(dāng)x=時,函數(shù)取極大值;當(dāng)2≤x≤4時,f(x)=1﹣(x﹣3)2.此時當(dāng)x=3時,函數(shù)取極大值1;當(dāng)4<x≤8時,2<≤4,則f(x)=cf()=c[1﹣(﹣3)2],此時當(dāng)x=6時,函數(shù)取極大值c.∵函數(shù)的所有極大值點均落在同一條直線上,即點(,),(3,1),(6,c)共線,∴=,解得c=1或2.故選:D.【點評】:本題考查的知識點是三點共線,函數(shù)的極值,其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f(x)的解析式,進而求出三個函數(shù)的極值點坐標(biāo),是解答本題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(5分)如果雙曲線的一條漸近線與直線平行,則雙曲線的離心率為2.【考點】:雙曲線的簡單性質(zhì).【專題】:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】:利用曲線的漸近線,推出a、b關(guān)系,然后求解離心率.【解析】:解:由題意雙曲線的一條漸近線與直線平行,可知,可得,所以,,∴離心率e=.故答案為:2.【點評】:本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,基本知識的考查.12.(5分)已知(ax+1)5的展開式中x2的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等,則a=.【考點】:二項式定理的應(yīng)用;二項式系數(shù)的性質(zhì).【專題】:計算題.【分析】:分別計算出(ax+1)5的展開式中x2的系數(shù)和的展開式中x3的系數(shù),利用它們相等,建立方程關(guān)系,進行求解即可.【解析】:解:(ax+1)5的展開式中x2的項為=10a2x2,x2的系數(shù)為10a2,與的展開式中x3的項為=5x3,x3的系數(shù)為5,∴10a2=5,即a2=,解得a=.故答案為:.【點評】:本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,利用展開式的通項公式確定項的系數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.13.(5分)若某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積是.【考點】:由三視圖求面積、體積.【專題】:空間位置關(guān)系與距離.【分析】:畫出幾何體的直觀圖,然后利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.【解析】:解:由圖知此幾何體為邊長為2的正方體裁去一個三棱錐(如右圖),所以此幾何體的體積為:2×=.故答案為:.【點評】:本題考查幾何體的三視圖與直觀圖的關(guān)系,幾何體的體積的求法,考查空間想象能力以及計算能力.14.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)直線y=﹣x+2與圓x2+y2=r2交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,若圓上一點C滿足=+則r=.【考點】:直線與圓的位置關(guān)系.【專題】:直線與圓.【分析】:設(shè),由=+兩邊同時平方可求cosθ,結(jié)合θ的范圍及公式可求,結(jié)合三角函數(shù)及點到直線的距離公式可求圓心O到直線x+y﹣2=0的距離為d,進而可求r【解析】:解:由題意可得,=r設(shè),θ∈[0,π]則==r2cosθ∵=+兩邊同時平方可得,=即×∴cosθ=∵,∴且cos∴=設(shè)圓心O到直線x+y﹣2=0的距離為d,則d=rcos=即∴r=故答案為:.【點評】:本題主要考查了直線與圓心的位置關(guān)系,三角函數(shù)知識的靈活的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵.15.(5分)函數(shù)y=f(x)圖象上不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)處的切線的斜率分別是kA,kB,規(guī)定φ(A,B)=叫曲線y=f(x)在點A與點B之間的“彎曲度”,給出以下命題:(1)函數(shù)y=x3﹣x2+1圖象上兩點A、B的橫坐標(biāo)分別為1,2,則φ(A,B)>;(2)存在這樣的函數(shù),圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù);(3)設(shè)點A、B是拋物線,y=x2+1上不同的兩點,則φ(A,B)≤2;(4)設(shè)曲線y=ex上不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1﹣x2=1,若t?φ(A,B)<1恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是(﹣∞,1);以上正確命題的序號為(2)(3)(寫出所有正確的)【考點】:命題的真假判斷與應(yīng)用.【專題】:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;簡易邏輯.【分析】:由新定義,利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x3﹣x2+1、y=x2+1在點A與點B之間的“彎曲度”判斷(1)、(3);舉例說明(2)正確;求出曲線y=ex上不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“彎曲度”,然后結(jié)合t?φ(A,B)<1得不等式,舉反例說明(4)錯誤.【解析】:解:對于(1),由y=x3﹣x2+1,得y′=3x2﹣2x,則,,y1=1,y2=5,則,φ(A,B)=,(1)錯誤;對于(2),常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù),(2)正確;對于(3),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y′=2x,則kA﹣kB=2x1﹣2x2,==.∴φ(A,B)==,(3)正確;對于(4),由y=ex,得y′=ex,φ(A,B)==.t?φ(A,B)<1恒成立,即恒成立,t=1時該式成立,∴(4)錯誤.故答案為:(2)(3).【點評】:本題是新定義題,考查了命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點的切線方程,考查了函數(shù)恒成立問題,關(guān)鍵是對題意的理解,是中檔題.三、解答題:本大題共6小題,共75分.16.(12分)在△ABC中,已知,cos(π﹣B)=﹣.(1)求sinA與B的值;(2)若角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=5,求b,c的值.【考點】:正弦定理.【專題】:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì);解三角形.【分析】:(1)利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出;(2)利用正弦定理與余弦定理即可得出.【解析】:解:(1)∵,∴,又∵0<A<π,∴.∵,且0<B<π,∴.(2)由正弦定理得,∴,另由b2=a2+c2﹣2accosB得49=25+c2﹣5c,解得c=8或c=﹣3(舍去),∴b=7,c=8.【點評】:本題主要考查解三角形的基礎(chǔ)知識,正、余弦定理,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和與差的余弦公式等知識,考查了考生運算求解的能力,屬于中檔題.17.(12分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,E,F(xiàn)分別是CC1、BC的中點,AE⊥A1B1,D為棱A1B1上的點.(1)證明:DF⊥AE;(2)是否存在一點D,使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為?若存在,說明點D的位置,若不存在,說明理由.【考點】:二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的性質(zhì).【專題】:空間位置關(guān)系與距離;空間向量及應(yīng)用.【分析】:(1)先證明AB⊥AC,然后以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,則能寫出各點坐標(biāo),由與共線可得D(λ,0,1),所以?=0,即DF⊥AE;(2)通過計算,面DEF的法向量為可寫成=(3,1+2λ,2(1﹣λ)),又面ABC的法向量=(0,0,1),令|cos<,>|=,解出λ的值即可.【解析】:(1)證明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB,又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面A1ACC1,又∵AC?面A1ACC1,∴AB⊥AC,以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,則有A(0,0,0),E(0,1,),F(xiàn)(,,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),設(shè)D(x,y,z),且λ∈[0,1],即(x,y,z﹣1)=λ(1,0,0),則D(λ,0,1),所以=(,,﹣1),∵=(0,1,),∴?==0,所以DF⊥AE;(2)結(jié)論:存在一點D,使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為.理由如下:設(shè)面DEF的法向量為=(x,y,z),則,∵=(,,),=(,﹣1),∴,即,令z=2(1﹣λ),則=(3,1+2λ,2(1﹣λ)).由題可知面ABC的法向量=(0,0,1),∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為,∴|cos<,>|==,即=,解得或(舍),所以當(dāng)D為A1B1中點時滿足要求.【點評】:本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間向量及其應(yīng)用,建立空間直角坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.18.(12分)甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個,其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2個、3個、4個,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3個,某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球.(1)若左右手各取一球,問兩只手中所取的球顏色不同的概率是多少?(2)若左右手依次各取兩球,稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法,記兩次取球的成功取法次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【考點】:離散型隨機變量的期望與方差;等可能事件的概率;離散型隨機變量及其分布列.【專題】:計算題.【分析】:(1)設(shè)事件A為“兩手所取的球不同色”,由此能求出P(A)=1﹣.(2)依題意,X的可能取值為0,1,2,左手所取的兩球顏色相同的概率為=,右手所取的兩球顏色相同的概率為=.分別求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),由此能求出X的分布列和EX.【解析】:解:(1)設(shè)事件A為“兩手所取的球不同色”,則P(A)=1﹣.(2)依題意,X的可能取值為0,1,2,左手所取的兩球顏色相同的概率為=,右手所取的兩球顏色相同的概率為=.P(X=0)=(1﹣)(1﹣)==;P(X=1)==;P(X=2)==.∴X的分布列為:EX=0×+1×+2×=.【點評】:本題考查概率的求法和求離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,是歷年高考的必考題型.解題時要認真審題,仔細解答,注意概率知識的靈活運用.19.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2+2n,(n∈N*).(I)求數(shù)列{an}的通項公式;(II)設(shè)集合A={x|x=2n+2,n∈N*},B={x|x=2an,n∈N*},等差數(shù)列{cn}的任一項cn∈A∩B,其中c1是A∩B中的最小數(shù),110<c10<115,求數(shù)列{cn}的通項公式.【考點】:數(shù)列的求和;交集及其運算.【專題】:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法;集合.【分析】:(Ⅰ)利用an=Sn﹣Sn﹣1計算并驗證即可;(Ⅱ)通過A、B間的包含關(guān)系可得c1=6,從而可得,利用110<c10<115,可得c10=114,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可.【解析】:解:(Ⅰ)∵.當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1,當(dāng)n=1時,a1=S1=3滿足上式,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1;(Ⅱ)∵A={x|x=2n+2,n∈N*},B={x|x=4n+2,n∈N*},∴A∩B=B.又∵cn∈A∩B,其中c1是A∩B中的最小數(shù),∴c1=6,∵{cn}的公差是4的倍數(shù),∴.又∵110<c10<115,解得m=27,所以c10=114,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,∴cn=6+(n﹣1)12=12n﹣6,所以{cn}的通項公式為cn=12n﹣6.【點評】:本題考查數(shù)列的基本性質(zhì),通項公式,集合的交集及其運算,注意解題方法的積累,屬于中檔題.20.(13分)已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點;橢圓E的中心在原點,焦點在x軸上,點F是它的一個頂點,且其離心率e=.(1)求橢圓E的方程;(2)經(jīng)過A、B兩點分別作拋物線C的切線l1、l2,切線l1與l2相交于點M.證明:AB⊥MF;(3)橢圓E上是否存在一點M′,經(jīng)過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B(A′、B′為切點),使得直線A′B′過點F?若存在,求出拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積;若不存在,試說明理由.【考點】:圓錐曲線的綜合;直線與圓錐曲線的綜合問題.【專題】:綜合題;壓軸題.【分析】:(1)由點拋物線焦點F是橢圓的一個頂點可得b=1,由橢圓離心率e=得=,橢圓方程可求.(2)要證明AB⊥MF,只需證=0即可.設(shè)直線l的方程為y=kx+,1與雙曲線方程聯(lián)立,消去y,得到關(guān)于A,B點橫坐標(biāo)的一元二次方程,求兩根的和與積,再用導(dǎo)數(shù)求過A,B點的切線方程,求出切點坐標(biāo),計算即可.(3)先假設(shè)橢圓E上存在點M′,經(jīng)過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B(A′、B′為切點),直線A′B′過點F.再根據(jù)假設(shè)與已知條件去求M′坐標(biāo),如果存在,用所求結(jié)果求拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積.【解析】:解:(1)設(shè)橢圓E的方程為,半焦距為c.由已知條件,F(xiàn)(0,1),∴b=1,=,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以橢E的方程為.(2)顯然直線l的斜率存在,否則直線l與拋物線C只有一個交點,不合題意,故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,A(x1,y1)B(x2,y2)(x1≠x2)與拋物線方程聯(lián)立,消去y,并整理得,x2﹣4kx﹣4=0∴x1x2=﹣4.∵拋物線的方程為y=x2,求導(dǎo)得y′=x,∴過拋物線上A,B兩點的切線方程分別是y﹣y1=x1(x﹣x1),y﹣y2=x2(x﹣x2)即y=x1x﹣,y=x2x﹣x22解得兩條切線的交點M的坐標(biāo)為(,﹣1)∴?=0∴AB⊥MF.(3)假設(shè)存在點M′滿足題意,由(2)知點M′必在直線y=﹣1上,又直線y=﹣1與橢圓有唯一交點,故M′的坐標(biāo)為(0.﹣1),設(shè)過點M′且與拋物線C相切的切線方程為y﹣y0=x0(x﹣x0):,其中點(x0,y0)為切點.令x=0,y=﹣1得,﹣1﹣x02=x0(0﹣x0),解得x0=2或x0=﹣2,故不妨取A′(﹣2,1)B′(2,1),即直線A′B′過點F.綜上所述,橢圓E上存在一點M′(0,﹣1),經(jīng)過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B′(A′、B′為切點),能使直線A′B′
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