第三章動(dòng)量與角動(dòng)量01

第三章動(dòng)量與角動(dòng)量

§1動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律一.沖量二.動(dòng)量定理三.質(zhì)點(diǎn)系四.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理五.動(dòng)量守恒定律

§2質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一.質(zhì)心二.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

作業(yè)：3.1，3.3，3.6，3.9，3.13牛頓運(yùn)動(dòng)定律告訴：力作用在質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)點(diǎn)獲得加速度，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，這個(gè)變化是力作用的效果牛頓第二定律給出了力和它的作用效果之間的定量關(guān)系，這一關(guān)系是瞬時(shí)關(guān)系，即某一時(shí)刻物體獲得的加速度與該時(shí)刻所受外力的關(guān)系實(shí)際上力作用是一個(gè)過程，衡量力作用過程可以利用一段時(shí)間，也可以利用力作用下質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的位移。效果？設(shè)作用于物體一變力§2沖量動(dòng)量定理

一.沖量

定義力與作用時(shí)間的乘積沖量記作中學(xué)：注意：力是一個(gè)恒力元沖量如果一般情況下沖量的計(jì)算公式物理意義：表示力在時(shí)間內(nèi)累積量沖量是一個(gè)過程量關(guān)于“平均力”與“沖力”力的平均值：尤其當(dāng)：Δt

非常短時(shí)，對(duì)應(yīng)于有限大的沖量，會(huì)得到非常大的力——沖力說明：二.動(dòng)量定理表明：質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)受到的力的沖量，等于這段時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量討論

力對(duì)時(shí)間的累積效果是使質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量獲得增量

由方程左邊可知，使質(zhì)點(diǎn)獲得同樣的動(dòng)量增量取決于兩個(gè)因素——力和力作用的時(shí)間。

動(dòng)量定理牛頓第二定律的一種積分形式

在方程中，力為質(zhì)點(diǎn)所受的合外力。

由方程右邊可知，力在一段時(shí)間內(nèi)的沖量。只與質(zhì)點(diǎn)的始末運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，與作用過程無關(guān)。

上述方程為矢量方程，應(yīng)用時(shí)可直接用矢量作圖法分析。還可以寫成坐標(biāo)系的投影式求解。直角坐標(biāo)系下，動(dòng)量定理投影式判斷題：

沖量的方向就是合外力的方向。（）

沖量的方向就是動(dòng)量的方向。

沖量的方向就是動(dòng)量增量的方向。（）（）√××例1.一長為l的細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m

的小球，另一端固定在o點(diǎn)，現(xiàn)小球以角速度ω

在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，繩與豎直方向夾角為θ。o計(jì)算：從P點(diǎn)開始轉(zhuǎn)一周的P解：oP由動(dòng)量定理例2.一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)，試計(jì)算在力作用下，t秒后的速度解：由動(dòng)量定理解：考慮任一元過程dt內(nèi)，落于皮帶的沙子在水平方向上所受的力。dm在水平方向上的動(dòng)量增量為：加料斗靠皮帶輸送沙子，平均每秒鐘有質(zhì)量為m0的沙子被運(yùn)走，已知皮帶的傳動(dòng)速率為v。求：沙子在水平方向?qū)ζУ淖饔昧Γ坷?.——由動(dòng)量定理，此即dm在水平方向上所受的沖量大?。河郑荷厦嫜芯苛伺ｎD運(yùn)動(dòng)定律的微分形式和時(shí)間積分形式，研究對(duì)象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，下面將目標(biāo)對(duì)向質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)——簡稱質(zhì)點(diǎn)系三.質(zhì)點(diǎn)系定義:

由有相互作用的若干質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)內(nèi)力:系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力外力:系統(tǒng)以外的其它物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的作用力內(nèi)力記作由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，并且互為作用力和反作用力，由牛頓第三定律有外力記作表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受外力的合力稱作質(zhì)點(diǎn)系所受合外力類似質(zhì)點(diǎn)，也需要定義動(dòng)量、動(dòng)能等物理量來描述質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的沖量力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的時(shí)間累積——質(zhì)點(diǎn)系所受力的沖量關(guān)系？四.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理考慮兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2組成的系統(tǒng)質(zhì)量分別為m1，

m2

和分別是質(zhì)點(diǎn)1和2之間的相互作用力和分別是質(zhì)點(diǎn)1和2所受的合外力●●質(zhì)點(diǎn)1和2分別運(yùn)用動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)1：質(zhì)點(diǎn)2：等式相加，左邊是？●●力對(duì)系統(tǒng)的沖量表明：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的沖量等于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受外力的合力的沖量，即質(zhì)點(diǎn)系所受合外力的沖量而所有內(nèi)力的沖量的矢量合等于零上式可推廣到多個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1：質(zhì)點(diǎn)2：等式右邊相加是？系統(tǒng)動(dòng)量的增量合外力對(duì)系統(tǒng)的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，系統(tǒng)的動(dòng)量變化與內(nèi)力無關(guān)推廣到多個(gè)質(zhì)點(diǎn)——質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理五.動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理可以得到一條重要的守恒定律質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理當(dāng)或動(dòng)量守恒定律意味：當(dāng)系統(tǒng)所受合外力等于零時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量為常矢量，即保持不變。討論

動(dòng)量守恒的條件不是當(dāng)或oP說明

動(dòng)量守恒的條件不是當(dāng)或如果但系統(tǒng)動(dòng)量近似守恒

如果系統(tǒng)在某方向不受外力或合外力在此方向上的分量為零，則系統(tǒng)動(dòng)量在該方向上的分量守恒，即為常數(shù)。當(dāng)當(dāng)或

系統(tǒng)動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)總的動(dòng)量守恒，具體某一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量不一定是常量。

比牛頓定律更普遍、更基本的定律；同樣只適用于慣性系系統(tǒng)的內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的總動(dòng)量沒有影響內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)中的某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量有影響解：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的彈性碰撞，應(yīng)滿足：例1m2m1m1m2動(dòng)量守恒：動(dòng)能守恒：由第二式：兩個(gè)小球的質(zhì)量分別為m1和m2，開始m2靜止，此后

m1以速度與m2發(fā)生彈性碰撞。試討論：碰后兩物體運(yùn)動(dòng)方向間的夾角與質(zhì)量的關(guān)系m2m1m1m2由第一式：得：由：得：故一般可分為3種情況：（1）——銳角（2）——直角（3）——鈍角m2m1m1m2例2.一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R的四分之一圓弧光滑槽，停在光滑的水平面上，另一質(zhì)量為m的滑塊，自圓弧頂端A由靜止下滑，求：當(dāng)滑塊滑到底B

時(shí)，M

在水平方向上移動(dòng)的距離。MABm解：選M和m這為一系統(tǒng)，受力分析如圖RMABmR為系統(tǒng)內(nèi)力為系統(tǒng)外力，方向均沿豎直方向水平方向系統(tǒng)不受外力，建立如圖坐標(biāo)系yxo由動(dòng)量守恒定律MABmRyxo滑塊自圓弧頂端A由靜止下滑滑到C有

設(shè)M的速度為m的速度為兩邊同乘對(duì)時(shí)間

dtCMABmRyxo

分別是M和m相對(duì)桌面的位移在水平方向投影，負(fù)號(hào)表示二者方向相反

m相對(duì)M的位移在水平方向投影為MABmRyxo例4.火箭運(yùn)動(dòng)的基本原理ROCKETMxyzodm相對(duì)地面相對(duì)火箭t+dt

時(shí)刻系統(tǒng)總動(dòng)量t+dt

時(shí)刻t時(shí)刻t

時(shí)刻系統(tǒng)總動(dòng)量ROCKETMdm忽略重力和空氣阻力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒ROCKETMdmROCKETMdm假設(shè)火箭噴出燃料氣體的相對(duì)速度u

恒定，火箭點(diǎn)火時(shí)的質(zhì)量為M0

，初速度為0，燃料噴完后火箭質(zhì)量為M

f（火箭的有效載荷），火箭所能達(dá)到的末速度為v

f

上式積分ROCKETMdm這就是燃料噴射完以后火箭所能達(dá)到的速度其中比值稱作質(zhì)量比記作ROCKETMdm要使提高有兩個(gè)途徑：一是增大，二是提高質(zhì)量比要提高需要提高質(zhì)量比通過化學(xué)燃燒，所能達(dá)到的理論值，實(shí)際ROCKETMdm當(dāng)顯然對(duì)于單級(jí)火箭要達(dá)到這樣的質(zhì)量比是不可能的實(shí)際中采用的解決辦法是采用多級(jí)火箭為各級(jí)火箭的質(zhì)量比要使在討論一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常引入質(zhì)量中心的概念，簡稱質(zhì)心§2質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(自學(xué)）一.質(zhì)心設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的矢徑以分別表示各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。以分別表示各質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一參考點(diǎn)的矢徑

定義o●●●●●●●說明：

質(zhì)心是相對(duì)質(zhì)點(diǎn)系本身的一個(gè)特定位置，實(shí)際上可能在質(zhì)心位置處無質(zhì)量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)質(zhì)心的位置也隨之變動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量

質(zhì)心的位置矢量與參照系的選擇有關(guān)，但可以證明質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置是不會(huì)隨參照系的選擇而變化的，

在坐標(biāo)系下質(zhì)心的表示（直角坐標(biāo)系）●●●●●●●oxyz

在坐標(biāo)系下質(zhì)心的表示（直角坐標(biāo)系）●●●●●●●oxyz注意：要與重心區(qū)別開重心是一個(gè)物體各部分所受重力的合力作用點(diǎn)，可以證明尺寸不十分大的物體，它的質(zhì)心和重心的位置重合

連續(xù)質(zhì)量分布的物體的質(zhì)心對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體，可以認(rèn)為是由許多質(zhì)點(diǎn)（通常稱作質(zhì)元）組成的，

以表示其中任一質(zhì)元的質(zhì)量，以表示其矢徑，則物體的質(zhì)心的矢徑可由積分法得到●dm有一任意三角形，每個(gè)頂點(diǎn)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求質(zhì)心的坐標(biāo)。（x1，y1）x2

質(zhì)心的計(jì)算例7.xyo解：建立如圖坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，0），（0，0）例8.求：長度為L，質(zhì)量為m的均勻直棒的質(zhì)心。解：建立ox坐標(biāo)系在直棒上坐標(biāo)為x處，取一長度為dx質(zhì)元，xo例9.求：半徑為R，質(zhì)量為m

的均勻半圓環(huán)的質(zhì)心。解：建立xoy坐標(biāo)系xy在半圓環(huán)上取一線元oxyo●C二.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程表示：質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量等于它的總質(zhì)量與它的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度的乘積將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度這一總動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)系所受合外力等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量乘以質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的加速度？設(shè)想：

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，就如同這樣一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量等于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量并且集中在質(zhì)心，而此質(zhì)點(diǎn)所受的力是質(zhì)點(diǎn)系所受合外力注意：實(shí)際上可能在質(zhì)心位置處既無質(zhì)量，又未受力——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程表明了質(zhì)心這一概念的重要性這一定理告訴，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)由于內(nèi)力和外力的作用，它們的運(yùn)動(dòng)情況可能很復(fù)雜。但相對(duì)于此質(zhì)點(diǎn)系有一個(gè)特殊的點(diǎn)，即質(zhì)心，它的運(yùn)動(dòng)可能相當(dāng)簡單，只由質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力決定——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程例如：高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員離開跳臺(tái)后，他的身體可以做各種優(yōu)美的翻滾伸縮動(dòng)作，但他的質(zhì)心卻只能沿著一條拋物線運(yùn)動(dòng)——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程例10一段長度為l

的均勻繩子，總質(zhì)量為m，其一端固定于o點(diǎn)，在光滑水平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向圍繞o

點(diǎn)以角速度ω作整體轉(zhuǎn)動(dòng)，求：繩子內(nèi)部距o

點(diǎn)為x處的張力T

。ω●解