第3章時變電磁場

第3章時變電磁場?在時變電磁場中，電場與磁場都是時間和空間的函數(shù)；變化的磁場會產(chǎn)生電場，變化的電場會產(chǎn)生磁場，電場與磁場相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場。?英國科學(xué)家麥克斯韋將靜態(tài)場、恒定場、時變場的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場基本方程組高度概括。電磁場基本方程組是研究宏觀電磁場現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。?本章要求：深刻理解電磁場基本方程組的物理意義，掌握電磁波的產(chǎn)生和傳播特性。圖3.0時變場知識結(jié)構(gòu)框圖電磁感應(yīng)定律全電流定律Maxwell方程組分界面上銜接條件動態(tài)位A

,φ達(dá)朗貝爾方程正弦電磁場坡印亭定理與坡印亭矢量電磁幅射(應(yīng)用)3.1麥克斯韋方程組3.1.1法拉第電磁感應(yīng)定律當(dāng)與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時，回路中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律（Faraday’sLawofElectromagneticInduction）。引起磁通變化的原因分為三類：稱為感生電動勢，這是變壓器工作的原理，又稱為變壓器電勢。

回路不變，磁場隨時間變化圖3.2感生電動勢負(fù)號表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻礙原磁場的變化圖3.1感生電動勢的參考方向稱為動生電動勢，這是發(fā)電機(jī)工作原理，又稱為發(fā)電機(jī)電勢。?

磁場隨時間變化，回路切割磁力線

實驗表明：感應(yīng)電動勢與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無關(guān)（甚至可以是假想回路），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應(yīng)電動勢。當(dāng)回路是導(dǎo)體時，才有感應(yīng)電流產(chǎn)生。?

回路切割磁力線，磁場不變圖4.1.2動生電動勢電荷為什么會運動呢？即為什么產(chǎn)生感應(yīng)電流呢？感應(yīng)電場（渦旋電場）麥克斯韋假設(shè)，變化的磁場在其周圍激發(fā)著一種電場，該電場對電荷有作用力（產(chǎn)生感應(yīng)電流），稱之為感應(yīng)電場（ElectricFieldofInduction)。感應(yīng)電動勢與感應(yīng)電場的關(guān)系為感應(yīng)電場是非保守場，電力線呈閉合曲線，變化的磁場是產(chǎn)生的渦旋源。圖4.3b變化的磁場產(chǎn)生感應(yīng)電場若空間同時存在庫侖電場,即則有變化的磁場產(chǎn)生電場在靜止媒質(zhì)中圖4.3a變化的磁場產(chǎn)生感應(yīng)電場根據(jù)自然界的對偶關(guān)系，變化的磁場產(chǎn)生電場，變化的電場是否會產(chǎn)生磁場呢？作閉合曲線

l與導(dǎo)線交鏈，根據(jù)安培環(huán)路定律3.1.2

位移電流，全電流定律

恒定場時變場面積分，斯氏定理面積分，斯氏定理矢量恒等式矢量恒等式圖3.4交變電路用安培環(huán)路定律為什么相同的線積分結(jié)果不同？全電流定律

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的。其中，——位移電流密度(DisplacementCurrentDensity)解：忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場位移電流密度位移電流

例3.1已知平板電容器的面積為S,相距為d,介質(zhì)的介電常數(shù)，極板間電壓為u(t)。試求位移電流iD；傳導(dǎo)電流iC與iD

的關(guān)系是什么?電場微分形式積分形式圖3.5傳導(dǎo)電流與位移電流3.1.3電磁場基本方程組-Maxwell方程組

全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理?全電流定律——麥克斯韋第一方程,表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場；?電磁感應(yīng)定律——麥克斯韋第二方程,表明電荷和變化的磁場都能產(chǎn)生電場；?磁通連續(xù)性原理——表明磁場是無源場,磁力線總是閉合曲線；?高斯定律——表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場(變化的磁場以渦旋的形式產(chǎn)生電場)。?麥克斯韋第一、二方程是獨立方程，后面兩個方程可以從中推得。?

靜態(tài)場和恒定場是時變場的兩種特殊形式。高斯定律四個方程所反映的物理意義3.2

邊界條件3.2.1邊界條件的一般形式

(1)

H的邊界條件(2)E的邊界條件

E在分界面上，其切向分量總是連續(xù)的。（3）B的邊界條件

B在分界面上的法向分量總是連續(xù)的。（4）D的邊界條件若分界面上不存在源面電荷，

分界面上存在源和分界面上無源分布或折射定律理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的分界面理想導(dǎo)體的如果不考慮導(dǎo)體中恒定磁場的存在，則理想導(dǎo)體中磁場也處處為零。因此，可認(rèn)為理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場都為零?；蚴街惺菍?dǎo)體表面法線方向的單位矢量。

3.3坡印廷定理（PoyntingTheorem）

—能量守恒和轉(zhuǎn)化定律在時變場中，電、磁能量相互依存取體積分，得

物理意義：體積V內(nèi)電源提供的功率，減去電阻消耗的熱功率，減去電磁能量的增加率，等于穿出閉合面S的電磁功率。在恒定場中，場量是動態(tài)平衡下的恒定量，能量守恒定律為

表示單位時間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，S的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動的方向。恒定場中的坡印廷定理注：磁鐵與靜電荷產(chǎn)生的磁、電場不構(gòu)成能量的流動。坡印亭定理定義坡印廷矢量（PoyntingVector）

W/m2例3.3用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為a和b。解：理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為零。電磁場分布如圖所示。電場強(qiáng)度?穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負(fù)載吸收。?電磁能量是通過導(dǎo)體周圍的介質(zhì)傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用。這表明：單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面A的總能量為磁場強(qiáng)度坡印亭矢量圖3.7同軸電纜中的電磁能流以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。例3.4導(dǎo)線半徑為a，長為，電導(dǎo)率為，試用坡印亭矢量計算導(dǎo)線損耗的能量。電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度電源提供的能量一部分用于導(dǎo)線損耗另一部分傳遞給負(fù)載導(dǎo)體內(nèi)解：思路：圖3.8計算導(dǎo)線損耗的量圖3.9導(dǎo)體有電阻時同軸電纜中的E、H

與S3.4波動方程靜態(tài)場的特點是場對源具有即時性，即源出現(xiàn)則場出現(xiàn)，源撤消則場撤消。在時變電磁場中，變化的電場將激勵起磁場，變化的磁場將激勵起電場，于是，這種電磁場的相互激勵可使場脫離源，形成向遠(yuǎn)方傳播的電磁波。

若無源空間，中充滿線性、均勻媒質(zhì)，則麥克斯韋方程組三維空間中的矢量齊次波動方程對式同理于是即兩端取旋度波動方程是電磁波理論的最基本的方程。是研究電磁波傳播規(guī)律的理論依據(jù)。

例3.5在一維空間中，波動方程式退化為

若函數(shù)是二階連續(xù)可微的，可證明3.5.1正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示3.5時諧電磁場正弦電磁場的復(fù)數(shù)形式與正弦穩(wěn)態(tài)電路中的相量法類同，后者有三要素：振幅(標(biāo)量，常數(shù))、頻率和相位。前者也有三要素：振幅（矢量、空間坐標(biāo)的函數(shù)）,頻率和相位。在直角坐標(biāo)系中，正弦電磁場的電場和磁場分量可以寫成其中

分別稱為各分量振幅的相量，它的模和相角都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此

稱為電場強(qiáng)度復(fù)矢量，它含有各分量的振幅和初相兩大要素。電場強(qiáng)度復(fù)矢量是一個為簡化正弦場計算的表示符號，一般不能用三維空間中一個矢量來表示，也不能寫成指數(shù)形式。其中

電場強(qiáng)度復(fù)矢量對時間的微分和積分可表示為

電場強(qiáng)度復(fù)矢量的散度和旋度可表示為

同樣，其它的正弦場矢量可用相應(yīng)的復(fù)矢量表示，正弦源和ρ也可表為

例.

將下列場矢量的瞬時值改寫為復(fù)數(shù)；將場的復(fù)矢量寫為瞬時值。

解：（1）因為是偶函數(shù)，則

(1)(2)而故

（2）因為

故3.5.2復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組在正弦穩(wěn)態(tài)電磁場中，如果場和源都用相應(yīng)的復(fù)矢量和復(fù)數(shù)表示，則麥克斯韋方程組可表為去掉時間因子ejωt，再考慮到取實部的運算和對空間坐標(biāo)的運算可交換秩序，因此，麥克斯韋方程組可簡化為通常我們將場的復(fù)矢量上面的點去掉，于是麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式可簡寫成麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式對求解正弦電磁場具有十分重要的意義。對于正弦電磁場的求解，我們可根據(jù)給出的源寫出其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式求出場的復(fù)矢量，再由電磁場的復(fù)矢量寫出電磁場的正弦表達(dá)式。例.在真空中，已知正弦電磁波的電場分量為

求波的磁場分量

解：先將波的電場分量寫成復(fù)矢量，即，將其代入復(fù)矢量的麥克斯韋方程：可得將上式展開取實部得

代入上式可得

場與動態(tài)位的關(guān)系亥姆霍茲方程

3.5.2平均能流密度矢量在正弦電磁場中，坡印亭矢量的瞬時形式為稱之為平均功率流密度。同理

例3.6平板電容器如圖所示，當(dāng)兩極板間加正弦工頻交流電壓u（t）時，試分析電容器中儲存的電磁能量。解：忽略邊緣效應(yīng)及感應(yīng)電場,則電場滿足無旋性質(zhì)，可表示為根據(jù)全電流定律，由位移電流產(chǎn)生的磁場為顯然，電容器中儲存電場能量，磁場能量忽略不計,電磁場近似為EQS場。整理得復(fù)坡印亭矢量電容器吸收