第2章.資金時(shí)間價(jià)值

第二章資金的時(shí)間價(jià)值理論

一、基本概念

1.資金的時(shí)間價(jià)值——指初始貨幣在生產(chǎn)與流通中與勞動(dòng)相結(jié)合，即作為資本或資金參與再生產(chǎn)和流通，隨著時(shí)間的推移會(huì)得到貨幣增值，用于投資就會(huì)帶來利潤；用于儲蓄會(huì)得到利息。資金的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是資金的價(jià)值隨時(shí)間的變化而變化，其變化的主要原因有：（1）通貨膨脹、資金貶值（2）承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)（3）投資增值通常用貨幣單位來計(jì)量工程技術(shù)方案的得失，我們在經(jīng)濟(jì)分析時(shí)就主要著眼于方案在整個(gè)壽命期內(nèi)的貨幣收入和支出的情況，這種貨幣的收入和支出稱之為現(xiàn)金流量(CashFlow)。

例如，有一個(gè)總公司面臨兩個(gè)投資方案A、B，壽命期都是4年，初始投資也相同，均為10000元。實(shí)現(xiàn)利潤的總數(shù)也相同，但每年數(shù)字不同，具體數(shù)據(jù)見表1一1。

如果其他條件都相同，我們應(yīng)該選用那個(gè)方案呢?表1一1另有兩個(gè)方案C和D，其他條件相同，僅現(xiàn)金流量不同。300030003000方案D3000300030006000

123456方案C0123456030003000

貨幣的支出和收入的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)不僅與貨幣量的大小有關(guān)，而且與發(fā)生的時(shí)間有關(guān)。由于貨幣的時(shí)間價(jià)值的存在，使不同時(shí)間上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接加以比較，這就使方案的經(jīng)濟(jì)評價(jià)變得比較復(fù)雜了。以下圖為例，從現(xiàn)金流量的絕對數(shù)看，方案E比方案F好;但從貨幣的時(shí)間價(jià)值看，方案F似乎有它的好處。如何比較這兩個(gè)方案的優(yōu)劣就構(gòu)成了本課程要討論的重要內(nèi)容。這種考慮了貨幣時(shí)間價(jià)值的經(jīng)濟(jì)分析方法，使方案的評價(jià)和選擇變得更現(xiàn)實(shí)和可靠。

01234400

01234

方案F方案E200200200

100

200200

300

300

400

2.現(xiàn)金流量圖（cashflowdiagram)——描述現(xiàn)金流量作為時(shí)間函數(shù)的圖形，它能表示資金在不同時(shí)間點(diǎn)流入與流出的情況。是資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算中常用的工具。大小流向時(shí)間點(diǎn)現(xiàn)金流量圖的三大要素300400

時(shí)間2002002001234現(xiàn)金流入

現(xiàn)金流出

0

說明：1.水平線是時(shí)間標(biāo)度，時(shí)間的推移是自左向右，每一格代表一個(gè)時(shí)間單位（年、月、日）；2.箭頭表示現(xiàn)金流動(dòng)的方向：向上——現(xiàn)金的流入，向下——現(xiàn)金的流出；3.現(xiàn)金流量圖與立腳點(diǎn)有關(guān)。注意：1.第一年年末的時(shí)刻點(diǎn)同時(shí)也表示第二年年初。2.立腳點(diǎn)不同,畫法剛好相反。3.凈現(xiàn)金流量=現(xiàn)金流入－現(xiàn)金流出4.現(xiàn)金流量只計(jì)算現(xiàn)金收支(包括現(xiàn)鈔、轉(zhuǎn)帳支票等憑證),不計(jì)算項(xiàng)目內(nèi)部的現(xiàn)金轉(zhuǎn)移(如折舊等)。3.利息——一定數(shù)額貨幣經(jīng)過一定時(shí)間后資金的絕對增值，用“I”表示。4.利率——利息遞增的比率，用“i”表示。每單位時(shí)間增加的利息原金額（本金）×100%利率(i%)=計(jì)息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度來計(jì)算，用“n”表示。廣義的利息信貸利息經(jīng)營利潤二、利息公式（一）利息的種類設(shè)：I——利息

P——本金

n——計(jì)息期數(shù)

i——利率

F——本利和單利復(fù)利1.單利——每期均按原始本金計(jì)息（利不生利）

I=P·i·n

F=P（1+i·n）則有例題1：假如以年利率6%借入資金1000元,共借4年,其償還的情況如下表年年初欠款年末應(yīng)付利息年末欠款年末償還110001000×0.06=6010600210601000×0.06=6011200311201000×0.06=6011800411801000×0.06=60124012402復(fù)利——利滾利F=P(1+i)nI=F-P=P[(1+i)n-1]公式的推導(dǎo)如下：P(1+i)2…………P(1+i)n-1P(1+i)n1PP·iP(1+i)2P(1+i)P(1+i)·in－1P(1+i)n-2P(1+i)n-2

·inP(1+i)n-1P(1+i)n-1

·i例題2：假如以年利率6%借入資金1000元,共借4年,其償還的情況如下表年10001000×0.06=601060010601060×0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60×0.06=67.421191.02×0.06=71.46實(shí)際應(yīng)用案例銀行計(jì)算利息的辦法是單利還是復(fù)利？（一）活期

0.81%（二）定期存款

等價(jià)單利的計(jì)算公式：1+n*單利=（1+0.0387）n（二）復(fù)利計(jì)息利息公式以后采用的符號如下i——利率；n——計(jì)息期數(shù)；P——現(xiàn)在值，即相對于將來值的任何較早時(shí)間的價(jià)值；F——將來值，即相對于現(xiàn)在值的任何以后時(shí)間的價(jià)值；A——n次等額支付系列中的一次支付，在各計(jì)息期末實(shí)現(xiàn)。

G——等差額（或梯度），含義是當(dāng)各期的支出或收入是均勻遞增或均勻遞減時(shí)，相臨兩期資金支出或收入的差額。1.一次支付復(fù)利公式

0123n–1n

F=？P(已知）…(1+i)n——一次支付復(fù)利系數(shù)F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)

例如在第一年年初，以年利率6%投資1000元，則到第四年年末可得之本利和

F=P(1+i)n

=1000(1+6%)4

=1262.50元例：某投資者購買了1000元的債券，限期3年，年利率10%，到期一次還本付息，按照復(fù)利計(jì)算法，則3年后該投資者可獲得的利息是多少？I=P[(1+i)n－1]=1000[(1+10%)3－1]=331元解：0123年F=?i=10%10002.一次支付現(xiàn)值公式

0123n–1n

F(已知）P=？

…

例如年利率為6%，如在第四年年末得到的本利和為1262.5元，則第一年年初的投資為多少？

3.等額支付系列復(fù)利公式

0123n–1n

F=？

…A(已知）A1累計(jì)本利和（終值）等額支付值年末……23AAnAA…A+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n-1]=F

0123n–1n

F=？

…A(已知）

即F=A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1(1)

以(1+i)乘(1)式,得

F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1+A(1+i)n(2)

(2)－(1)，得F(1+i)–F=A(1+i)n–A例如連續(xù)5年每年年末借款1000元，按年利率6%計(jì)算，第5年年末積累的借款為多少？解：4.等額支付系列積累基金公式

0123n–1n

F(已知）…

A=？5.等額支付系列資金恢復(fù)公式

0123n–1n

P(已知）

…A=？根據(jù)F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)F=A[(1+i)n－1i]P(1+i)n=A

[(1+i)n－1i]6.等額支付系列資金恢復(fù)公式

0123n–1n

P=？…

A(已知）

7.均勻梯度系列公式均勻增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G…012345n－1n＋A1…012345n－1n（1）A2…012345n－1n

（3）（n－2）GG…012345n－1n2G3G4G（n－1）G（2）A2=G1n]ii－（A/F,i,n）[圖（2）的將來值F2為:F2=G（F/A,i,n－1）+G（F/A,i,n－2）+…+G（F/A,i,2）+G（F/A,i,1）=G[]（1+i）n－1－1i（1+i）n－2－1i＋G][＋G（1+i）2－1i[]

…＋i（1+i）1－1[]Gi+（1+i）1－1[]G[（1+i）n-1+（1+i）n-2++（1+i）2+（1+i）1－（n－1）×1]=Gi

…[（1+i）n-1+（1+i）n-2++（1+i）2+（1+i）1+1]－=iGnGi=iG（1+i）n－1inGi－iG（1+i）n－1nGiA2=F2

（1+i）n－1[]=[iii－]（1+i）n－1[]GnGiGnG=ii－（1+i）n－1[]=ii－（A/F,i,n）=G1n]ii－（A/F,i,n）[梯度系數(shù)（A/G,i,n）＋A1…012345n－1n（1）A2…012345n－1n

（3）A=A1+A2…012345n－1n

（4）注：如支付系列為均勻減少，則有A=A1－A2等值計(jì)算公式表:運(yùn)用利息公式應(yīng)注意的問題:1.為了實(shí)施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初；2.方案實(shí)施過程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生在計(jì)息期（年）末；3.本年的年末即是下一年的年初；4.P是在當(dāng)前年度開始時(shí)發(fā)生；5.F是在當(dāng)前以后的第n年年末發(fā)生；6.A是在考察期間各年年末發(fā)生。當(dāng)問題包括P和A時(shí)，系列的第一個(gè)A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當(dāng)問題包括F和A時(shí)，系列的最后一個(gè)A是和F同時(shí)發(fā)生；7.均勻梯度系列中，第一個(gè)G發(fā)生在系列的第二年年末。例：寫出下圖的復(fù)利現(xiàn)值和復(fù)利終值，若年利率為i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：例:有如下圖示現(xiàn)金流量，解法正確的有()答案:AC012345678AF=?A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)

例：下列關(guān)于時(shí)間價(jià)值系數(shù)的關(guān)系式，表達(dá)正確的有（）A．（F/A,i,n）=(P/A,i,n)×(F/P,i,n)B．（F/P,i,n）=(F/P,i,n1)×(F/P,i,n2),其中n1+n2=nC．（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)＋(P/F,i,n2),其中n1+n2=nD．（P/A,i,n）=(P/F,i,n)×(A/F,i,n)E．1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)答案:AB三、名義利率和有效利率名義利率和有效利率的概念。當(dāng)利率的時(shí)間單位與計(jì)息期不一致時(shí)，有效利率——資金在計(jì)息期發(fā)生的實(shí)際利率。例如：每半年計(jì)息一次，每半年計(jì)息期的利率為3%，則3%——（半年）有效利率如上例為3%×2=6%——（年）名義利率（年）名義利率=每一計(jì)息期的有效利率×一年中計(jì)息期數(shù)

1.離散式復(fù)利——按期（年、季、月和日）計(jì)息的方法。如果名義利率為r,一年中計(jì)息n次，每次計(jì)息的利率為r/n，根據(jù)一次支付復(fù)利系數(shù)公式，年末本利和為：

F=P[1+r/n]n一年末的利息為：

P[1+r/n]n－P按定義，利息與本金之比為利率，則年有效利率i為：

例：某廠擬向兩個(gè)銀行貸款以擴(kuò)大生產(chǎn)，甲銀行年利率為16%，計(jì)息每年一次。乙銀行年利率為15%，但每月計(jì)息一次。試比較哪家銀行貸款條件優(yōu)惠些？解：因?yàn)閕乙

>i甲，所以甲銀行貸款條件優(yōu)惠些。

例：現(xiàn)投資1000元，時(shí)間為10年，年利率為8%，每季度計(jì)息一次，求10年末的將來值。

F=？1000…012340季度每季度的有效利率為8%÷4=2%，用年實(shí)際利率求解:年有效利率i為：i=（1+2%）4－1=8.2432%F=1000（F/P，8.2432%，10）=2208（元）用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=1000×2.2080=2208（元）解：

例:某企業(yè)向銀行借款1000元,年利率為4%,如按季度計(jì)息,則第3年應(yīng)償還本利和累計(jì)為()元。A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000…012312季度解:例:已知某項(xiàng)目的計(jì)息期為月,月利率為8‰,則項(xiàng)目的名義利率為()。A.8%B.8‰C.9.6%D.9.6‰解:（年）名義利率=每一計(jì)息期的有效利率×一年中計(jì)息期數(shù)

所以r=12×8‰=96‰=9.6%

例：假如有人目前借入2000元，在今后2年中每月等額償還，每次償還99.80元，復(fù)利按月計(jì)算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。解：99.80＝2000（A/P，i，24)（A/P，i，24)＝99.8/2000=0.0499查表，上列數(shù)值相當(dāng)于i’＝1.5％——月有效利率則名義利率r＝1.5％12＝18％年有效利率i＝（1＋1.5％)12－1＝19.56％2.連續(xù)式復(fù)利——按瞬時(shí)計(jì)息的方式。在這種情況下，復(fù)利可以在一年中按無限多次計(jì)算，年有效利率為：式中：e自然對數(shù)的底，其數(shù)值為2.71828

下表給出了名義利率為12%分別按不同計(jì)息期計(jì)算的實(shí)際利率：

名義利率的實(shí)質(zhì)：當(dāng)計(jì)息期小于一年的利率化為年利率時(shí),忽略了時(shí)間因素,沒有計(jì)算利息的利息。4.名義利率和有效（年）利率的應(yīng)用：計(jì)息期與支付期相同——可直接進(jìn)行換算求得計(jì)息期短于支付期——運(yùn)用多種方法求得計(jì)息期長于支付期——按財(cái)務(wù)原則進(jìn)行計(jì)息，即現(xiàn)金流入額放在期初，現(xiàn)金流出額放在計(jì)息期末，計(jì)息期分界點(diǎn)處的支付保持不變。四、等值的計(jì)算（一）等值的概念——在某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，如果兩個(gè)方案的經(jīng)濟(jì)效果相同，就稱這兩個(gè)方案是等值的。例如，在年利率6%情況下，現(xiàn)在的300元等值于8年末的300×(1+0.06)8=478.20元。這兩個(gè)等值的現(xiàn)金流量如下圖所示。478.20012345678年300i=6%012345678年i=6%

同一利率下不同時(shí)間的貨幣等值

貨幣等值是考慮了貨幣的時(shí)間價(jià)值。即使金額相等，由于發(fā)生的時(shí)間不同，其價(jià)值并不一定相等；反之，不同時(shí)間上發(fā)生的金額不等，其貨幣的價(jià)值卻可能相等。貨幣的等值包括三個(gè)因素

金額金額發(fā)生的時(shí)間利率在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，等值是一個(gè)非常重要的概念，在方案評價(jià)、比較中廣泛應(yīng)用。例如某用戶以年利率8%借款10000元，借期4年，比較四種補(bǔ)償方式：1.等額歸還本金和當(dāng)年產(chǎn)生的利息。2.每年末還當(dāng)年利息，第四年還本利和。3.第四年末一次還清本利和。4.本金分期歸還，加上當(dāng)年的利息，形成每年等額歸還本利和。

01234方法四3019

從利息表上查到，當(dāng)n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用直線內(nèi)插法可得(二)計(jì)息期為一年的等值計(jì)算相同有效利率名義利率直接計(jì)算例：當(dāng)利率為多大時(shí)，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750

計(jì)算表明，當(dāng)利率為6.41%時(shí)，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元。例：當(dāng)利率為8%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)6年的年末等額支付為多少時(shí)與第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年

計(jì)算表明，當(dāng)利率為8%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)6年1363元的年末等額支付與第6年年末的10000等值。解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%例：當(dāng)利率為10%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的年末等額支付為600元，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？解：P=A(P/A,10%,5)=2774.59元計(jì)算表明，當(dāng)利率為10%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的600元年末等額支付與第0年的現(xiàn)值2274.50元是等值的。(三)計(jì)息期短于一年的等值計(jì)算如計(jì)息期短于一年，仍可利用以上的利息公式進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算通?？梢猿霈F(xiàn)下列三種情況：

1.計(jì)息期和支付期相同例：年利率為12%，每半年計(jì)息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年為100元的等額支付，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？

解：每計(jì)息期的利率

（每半年一期）n=(3年)×(每年2期)=6期

P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元計(jì)算表明，按年利率12%，每半年計(jì)息一次計(jì)算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年每半年支付100元的等額支付與第0年的現(xiàn)值491.73元的現(xiàn)值是等值的。

例：求等值狀況下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后兩年中分24次等額償還，每次償還99.80元。復(fù)利按月計(jì)算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。解：現(xiàn)在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499查表，上列數(shù)值相當(dāng)于i=1.5%。因?yàn)橛?jì)息期是一個(gè)月，所以月有效利率為1.5%。名義利率：r=(每月1.5%）×（12個(gè)月）=18%年有效利率：

2.計(jì)息期短于支付期例：按年利率為12%，每季度計(jì)息一次計(jì)算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末支付借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

解：其現(xiàn)金流量如下圖

0123456789101112季度F=？100010001000

第一種方法：取一個(gè)循環(huán)周期，使這個(gè)周期的年末支付轉(zhuǎn)變成等值的計(jì)息期末的等額支付系列，其現(xiàn)金流量見下圖：012342392392392390123410001000將年度支付轉(zhuǎn)化為計(jì)息期末支付（單位：元）

A=F（A/F，3%，4）=1000×0.2390=239元（A/F，3%，4）

F=？經(jīng)轉(zhuǎn)變后計(jì)息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元012345678910600半年

第二種方法：把等額支付的每一個(gè)支付看作為一次支付，求出每個(gè)支付的將來值，然后把將來值加起來，這個(gè)和就是等額支付的實(shí)際結(jié)果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元

F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392元

第三種方法：將名義利率轉(zhuǎn)化為年有效利率，以一年為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算。年有效利率是

F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392可由下列查表內(nèi)插法求得：(F/A,12%,3)=3.3744，(F/A,15%,3)=3.4725通過三種方法計(jì)算表明，按年利率12%，每季度計(jì)息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)三年的1000元等額年末借款與第三年年末的3392元等值。

100月01234567891011123.計(jì)息期長于支付期——按財(cái)務(wù)原則進(jìn)行計(jì)息，即現(xiàn)金流入額放在期初，現(xiàn)金流出額放在計(jì)息期末，計(jì)息期分界點(diǎn)處的支付保持不變。例：假如有一項(xiàng)財(cái)務(wù)活動(dòng)，其現(xiàn)金流量如圖所示，試求出按季度計(jì)息的等值現(xiàn)金流量。400100250100100100100100

100季度01234解：如復(fù)利是每季度計(jì)息一次的，則這個(gè)流量圖可以加以整理，得到等值的現(xiàn)金流量圖（下圖），按照這個(gè)圖，計(jì)息期和支付期相同，計(jì)算可以按利息公式進(jìn)行。400200250100300如年利率為8%，每季度計(jì)算一次利率，這個(gè)財(cái)務(wù)活動(dòng)等值于年底的262.3元，計(jì)算如下：F=(400-200)(F/P,2%,4)-100(F/P,2%,3)+(300-250)(F/P,2%,2)+100=200×1.082-100×1.061+50×1.04+100=262.3元

例4:假定現(xiàn)金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各獲得80元。按年利率5％計(jì)息，與此等值的現(xiàn)金流量的現(xiàn)值P為多少？P=?0300678910111213141516172106080解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16也可用