第五章 平面圖形幾何性質(zhì)

第五章平面圖形的幾何性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：面積矩和形心，慣性矩和慣性積，回轉(zhuǎn)半徑。教學(xué)要求：1、理解主軸、主慣性矩、形心主軸、形心主慣性矩的定義，回轉(zhuǎn)半徑的含義；2、掌握面積矩和形心、慣性矩和慣性積的計算，慣性矩和慣性積平行移軸公式的計算；組合圖形慣性矩和慣性積的計算；有對稱軸截面圖形的形心主慣性矩的計算。重點：面積矩和形心，慣性矩，形心主慣性矩。難點：慣性矩和慣性積的移軸公式?！?-1面積矩和形心§5-2慣性矩和慣性積§5-3慣性矩和慣性積移軸公式§5-4慣性矩和慣性積轉(zhuǎn)軸公式、主慣性軸§5-5回轉(zhuǎn)半徑第五章平面圖形的幾何性質(zhì)選擇材料——與材料的機械性質(zhì)有關(guān)確定尺寸——與截面大小、形狀有關(guān)拉壓：應(yīng)力均布，僅需滿足， 不考慮形狀；扭轉(zhuǎn)：應(yīng)力不均布，出現(xiàn)， 在面積A相同，但形狀不同的情況下，應(yīng)力分布不同?！?-1面積矩與形心一、引言oyzAdAyz圖形對y軸的面積矩(靜矩)圖形對z軸的面積矩(靜矩)單位：二、截面的面積矩(靜矩)靜矩可0；0；0。三、截面的形心（1）形心公式。若圖形形心C已知，由靜力學(xué)可知：等厚均質(zhì)板的重心與形心重合oyzA（2）求靜矩的另一公式：同理：C（3）若yzAC則y、z軸稱為形心軸。若已知則可確定y軸、z軸通過截面形心。

若某軸過形心，則圖形對該軸靜矩為零。反之,圖形對某軸靜矩為零，則該軸必過形心。例5-1（P88）試確定圖5-3所示等腰三角形ABD對過底邊的z軸和對稱軸y軸的面積矩，并確定形心的位置。解：1）計算Sz取與z軸平行的微面積dA=b(y)dy,且有：則：例5-1（P88）試確定圖5-3所示等腰三角形ABD對過底邊的z軸和對稱軸y軸的面積矩，并確定形心的位置。2）計算Sy故：

若某軸為對稱軸，則圖形對該軸面積矩為零。3）確定形心C的位置結(jié)論：1)對稱軸必是形心軸;2)平面圖形具有兩根或兩根以上對稱軸,則形心必在對稱軸的交點上。四、組合截面的面積矩和形心組合截面:由若干簡單截面或標(biāo)準(zhǔn)型材截面組成的截面由此可得組合截面的形心坐標(biāo)為:如圖所示組合截面,該截面由n個部分組成，設(shè)組成部分i的面積為Ai,形心坐標(biāo)為(),則有:例：試確定圖示截面形心C的位置。解：選坐標(biāo)參考系oyz如圖，并將截面劃分成為1與2兩個矩形矩形1的面積與形心坐標(biāo)為：矩形2的面積與形心坐標(biāo)為：例試確定圖示截面形心C的位置。則組合截面形心C的坐標(biāo)為：截面左右對稱,3、截面對形心軸的靜矩為零4、若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸1、截面圖形的靜矩是對某一坐標(biāo)軸定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)2、已知靜矩，可以確定圖形的形心坐標(biāo)；已知圖形的形心坐標(biāo)，可以確定靜矩5、對稱軸必是形心軸;平面圖形具有兩根或兩根以上對稱軸,則形心必在對稱軸的交點上?！?-2慣性矩和慣性積oyzAdAyz圖形對o點的極慣性矩單位：一、截面的極慣性矩圓截面對形心點的極慣性矩1、實心圓截面：2、空心圓截面：3、薄壁圓截面：其中，R為平均半徑其中，oyzAdAyz圖形對y軸的慣性矩圖形對z軸的慣性矩單位：二、截面的慣性矩1、討論（1）慣性矩恒0；（2）oyzAdAyzoyzAdAyzy'z'z'y'且即:對o點極慣性矩=對過o點同一平面內(nèi)任意一對相互垂直坐標(biāo)軸的慣性矩之和2、簡單截面對形心坐標(biāo)軸的慣性矩1）矩形截面對形心坐標(biāo)軸的慣性矩:2）圓截面對形心坐標(biāo)軸的慣性矩：空心圓截面對形心軸的慣性矩：3）三角形截面對形心軸的慣性矩：例:試計算圖示空心截面對形心軸z的慣性矩解：3、組合截面的慣性矩三、截面的慣性積圖形對y、z兩軸的慣性積單位：oyzAdAyz討論（1）可0；0；0；（2）若圖形有一對稱軸，且坐標(biāo)軸y與z之一位于該對稱軸上,則有:yz（3）若則y、z軸稱為主慣性軸（主軸）對稱軸一定是主軸，主軸不一定是對稱軸通過形心的主軸稱為形心主慣性軸例5-5（P90）試計算圖5-9所示矩形的Sy、Sz、Iy、Iz、Iyz解：同理：§5-3慣性矩和慣性積移軸公式一、慣性矩移軸定理：截面對于任一坐標(biāo)軸z的慣性矩，等于對其平行形心軸zC的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。其中：所以：同理：yzdACOzCzyyCabzCyC二、慣性積移軸定理：截面對于任一直角坐標(biāo)軸y與z的慣性積Iyz，等于該截面對于平行形心坐標(biāo)軸yC與zC的慣性積IyCzC，加上其形心坐標(biāo)C的坐標(biāo)積ab與截面面積A之乘積。證明：yzdACOzCzyyCabzCyC例5-7已知圖5-12所示組合T形截面的形心C,試計算截面對形心坐標(biāo)軸zc的慣性矩Izc解:將截面看成為I、II兩個矩形組成，則有：整個圖形對zc軸的慣性矩為：將算得的I、II兩個組成部分的慣性矩代入上式可得。例試計算圖示矩形截面對坐標(biāo)軸y與z的慣性積。解：在坐標(biāo)系oyz內(nèi)，形心C的坐標(biāo)：yC軸為對稱軸，有：所以，根據(jù)慣性積平行軸定理，得：例圖示組合截面,由工字鋼與上、下蓋板組成，試計算該組合截面對水平形心軸zc的慣性矩IzC。已知工字鋼的型號為NO32a，上下蓋板尺寸相同，寬度b=100mm，厚度d=15mm。解：1、將截面分解成矩形截面（1）、工字鋼截面（2）與矩形截面（3）由附錄III，工字鋼NO32a截面對自身水平形心軸zC的慣性矩為：截面的高度為：2、慣性矩計算：設(shè)矩形截面（1）的水平形心軸為z1，則該截面對zC軸的慣性矩為：同理，矩形截面（3）對zC軸的慣性矩為：工字鋼截面（2）的形心與整個截面的形心C重合，故對z軸的慣性矩為：得整個截面對z軸的慣性矩為：例圖示組合截面,由工字鋼與上、下蓋板組成，試計算該組合截面對水平形心軸zc的慣性矩IzC。已知工字鋼的型號為NO32a，上下蓋板尺寸相同，寬度b=100mm，厚度d=15mm。設(shè)一平面圖形,已知

求oyzAdAyz解:§5-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式與主慣性軸一、轉(zhuǎn)軸公式同理改寫為并且角從原始坐標(biāo)軸量起,逆時針轉(zhuǎn)向為正,反之則為負.oyzAdAyz設(shè)一平面圖形,已知

求oyzAdAyz(5-12c)設(shè)一平面圖形,已知

求二、主軸及主慣性矩oyzAdAyz若則軸稱為截面o點的主慣性軸（主軸）。如坐標(biāo)原點與形心重合,則稱為形心主慣性軸。對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩（主矩）。圖形對形心主軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩。設(shè)一平面圖形,已知

求方向的求解:代入(5-12a、b),得主慣矩為求，將公式（5-12a）對a取導(dǎo)數(shù)，并令其等于0因此主慣性軸的慣性矩即過o點各軸中的慣矩極值?？汕蟮?（1）求形心位置（2）求形心軸的慣性矩和慣性積，選軸以計算方便為準(zhǔn)。（3）求主慣性軸的位置三、形心主慣性軸的位置及形心主慣性矩的計算（4）主慣性矩：討論:例題5-9確定圖示圖形的形心主慣性軸的位置,并計算形心主慣性矩幾個結(jié)論1、若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。2、若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。3、若截面有三根或三根以上的對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。（1）圓、圓環(huán)、方截面，凡過形心的任一對直角坐標(biāo)，均是形心主軸（2）具有對稱軸的截面（矩形、工字形、圓形等），其對稱軸及與之垂直并通過形心的軸就是形心主軸§5-5回轉(zhuǎn)半徑二、主慣性半徑或主回轉(zhuǎn)半徑三、常見截面的主慣性半徑圓圓環(huán)矩形方形一、慣性半徑1、在下列關(guān)于平面圖形的結(jié)論中，（）是錯誤的。A.圖形的對稱軸必定通過形心；B.圖形兩個對稱軸的交點必為形心；D.使靜矩為零的軸必為對稱軸。C.圖形對對稱軸的靜矩為零；D2、在平面圖形的幾何性質(zhì)中，（）的值可正、可負、也可為零。A.靜矩和慣性矩；B.極慣性矩和慣性矩；C.慣性矩和慣性積；D.靜矩和慣性積。D課堂練習(xí)：

3、圖a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面積。設(shè)它們對對稱軸x的慣性矩分別為,。對對稱軸y的慣性矩分別為，，則（）。A4.設(shè)圖示截面對y軸和x軸的慣性矩分別為Iy、Iz，則二者的大小關(guān)系是（）。B5、圖示半圓形，若圓心位于坐標(biāo)原點，則（）。zyD6、任意圖形的面積為A，z0軸通過形心C，z1軸和z0軸平行，并相距a，已知圖形對z1軸的慣性矩是Iz1，則對z0軸的慣性矩為（）。BA.形心軸B.主軸C.主形心軸D.對稱軸8、在圖示開口薄壁截面圖形中，當(dāng)（）時，y-z軸始終保持為一對主軸。7、任意圖形，若對某一對正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這一對坐標(biāo)軸一定是該圖形的（）。BA.y軸不動，z軸平移；D.y、z同時平移。B.z軸不動，y軸平移；C.z軸不動，y軸任意移動；B設(shè)：A1，A2對zc軸的靜矩分別Szc1和Szc2證畢練習(xí)：如圖所示將截面任意分為兩部分A1與A2，證明這兩部分面積對整個截面形心軸zc的面積矩絕對值相等。C2zyC1練習(xí)：確定下圖的形心的方法。分析：組合圖形，用分割法、負面積1.用分割法法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖801201010小結(jié)一、靜矩：性質(zhì)：截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；

二、極慣性矩：實心圓截面：空心圓截面：三、慣性矩：

四、慣性積：矩形截面：圓形截面：幾何關(guān)系：五、平行移軸公式：六、主慣性軸和主慣性矩：

形心主慣性軸（形心主軸）—通過形心的主慣性軸；

形心主慣性矩（形心主慣矩）—截面對形心主軸的慣性矩。

主慣性軸（主軸）—使的這對正交坐標(biāo)軸；

主慣性矩（主慣矩）—截面對主慣性軸的慣性矩；七、平面圖形幾何性