第五章 無限沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器設(shè)計

無限沖擊響應(yīng)（IIR）

數(shù)字濾波器的設(shè)計1無限沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計21§5-1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計思想2§5-2沖激響應(yīng)不變法3§5-3雙線性變換法4§5-4低通型至其它型的頻率變換法5§5-5IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計實例數(shù)字濾波器：3

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。

高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能。優(yōu)點：數(shù)字濾波器的分類4

經(jīng)典濾波器：

現(xiàn)代濾波器：

選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應(yīng)濾波器等按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器5按實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：6FIR濾波器（N-1階）IIR濾波器（N階）§5-1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計思想

特點：h（n）無限長

H（Z）有理分式

H（S）有理分式（帶寬無限長）7IIR濾波器（N階）數(shù)字濾波器的設(shè)計思想8用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標按設(shè)計任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等實際技術(shù)實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法要求：

a.數(shù)字濾波器在性能上逼近模擬濾波器性能指標。

b.系統(tǒng)穩(wěn)定。9

：通帶截止頻率

：阻帶截止頻率

：通帶容限

：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近

模擬濾波器的指標數(shù)字濾波器容限圖（幅度上）10用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想：11

s平面z平面

模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，

即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓?因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<112設(shè)計方法：-沖激響應(yīng)不變法-雙線性變換法§5-2沖激響應(yīng)不變法1基本思路把模擬濾波器沖激響應(yīng)的均勻取樣值，作為數(shù)字濾波器的單位取樣值，然后將h(n)通過Z變換求H(z)。2.過程由給定的指標AF的傳遞函數(shù)H(S)反拉氏變換得h(t)取樣得h(nT)h(n)Z變換得H(z)3.變換原理數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)

1314T—抽樣周期序列的z變換&理想抽樣信號的Laplace變換理想抽樣信號：15

其Laplace變換：16其z變換：比較理想抽樣信號的Laplace變換：得：17z平面：

（極坐標）即：是復(fù)平面s平面到z平面的映射： (直角坐標）s平面：當

時抽樣序列的z變換=理想抽樣信號的Laplace變換18單位圓外部r>1右半平面σ>0單位圓內(nèi)部r<1左半平面σ<0單位圓r=1虛軸σ=0Z平面S平面s平面到z平面的映射是多值映射。19輻射線ω=Ω0T平行直線Ω

=Ω0正實軸ω=0實軸Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:2、混迭失真20僅當數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為

21

實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當濾波器的設(shè)計指標以數(shù)字域頻率給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象3、模擬濾波器的數(shù)字化方法2223系數(shù)相同：極點：s平面

z平面穩(wěn)定性不變：s平面z平面24當T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：25試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則26模擬濾波器的頻率響應(yīng)：?數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：4、優(yōu)缺點27優(yōu)點：缺點：保持線性關(guān)系： 線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng) 時域逼近良好§5-3

雙線性變換1、變換原理28使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真29

§5-3

雙線性變換

脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標準變換z＝esT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的,為了克服這一缺點，設(shè)想變換分為兩步：第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；第二步：通過標準變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。

由此建立S平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象?！?-3

雙線性變換303132一.S平面與Z平面映射關(guān)系33左半平面單位圓內(nèi)

s平面Z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上34

1)與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴重非線性關(guān)系得到的），即整個jΩ軸單值的對應(yīng)于單位圓一周，關(guān)系式為：可見，ω和Ω為非線性關(guān)系，如下頁圖。

小結(jié)35

圖雙線性變換的頻率非線性關(guān)系

由圖中看到，在零頻率附近，Ω～ω接近于線性關(guān)系，Ω進一步增加時，ω增長變得緩慢， 。36

2)雙線性變換缺點：Ω與ω成非線性關(guān)系，導(dǎo)致：

a.數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。

例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器解決辦法：“預(yù)畸”校正

37預(yù)畸變

給定數(shù)字濾波器的截止頻率，則按設(shè)計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到為截止頻率的數(shù)字濾波器。

b.線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。

c.要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段恒定的，故雙線性變換只能用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。

38四、低通型至其它型的頻率變換法39頻率變換法雙線性變換雙線性變換頻率變換法沖激不變法五、IIR數(shù)字濾波器設(shè)計實例一.?巴特沃思數(shù)字濾波器二.?切比雪夫數(shù)字濾波器401、Butterworth低通逼近41幅度平方函數(shù)：當稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點：42

通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小

3dB不變性

過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當（阻帶截止頻率）時，衰減為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：432）幅度平方特性的極點分布：

極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點

極點間的角度間隔為

極點不落在虛軸上

N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：45為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設(shè)計步驟：46根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標：由得：同理：令則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標給出或由下式求出：

其中極點：去歸一化阻帶指標有富裕或通帶指標有富裕48例：設(shè)計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標：選T=1s49a）確定參數(shù)

用通帶技術(shù)指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化514）將展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：522、用雙線性變換法設(shè)計531）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標：54a）確定參數(shù)

用阻帶技術(shù)指標，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設(shè)計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）55c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)56或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化574）將變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2、Chebyshev低通逼近幅度平方函數(shù)：59N：濾波器的階數(shù)

：截止頻率，不一定為3dB帶寬

，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大

：N階Chebyshev多項式601）幅度函數(shù)特點：61

通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)

通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

2）Chebyshev濾波器的三個參量：62

：通帶截止頻率，給定

：表征通帶內(nèi)波紋大小N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高為阻帶截止頻率3）幅度平方特性的極點分布：644）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：65其中：5）濾波器的設(shè)計步驟:66

歸一化：確定技術(shù)指標：根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N及：其中：或者由N和，直接查表得其中極點由下式求出：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：去歸一化 例：用雙線性變換法設(shè)計Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要