第2章 時間 空間及運動學

第2

章時間空間與運動學§2.1質(zhì)點運動學的基本概念§2.2圓周運動的角量描述§2.3質(zhì)點運動的描述方法教學要求1熟練掌握位置矢量、位移、速度、加速度、運動方程等描寫質(zhì)點運動及變化的物理量；

2

理解角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度的概念以及運動疊加原理的意義；

3掌握運動學兩類問題的應用（由質(zhì)點運動方程求位移、速度和加速度，從已知速度、加速度積分求出運動方程）；

4了解物體作圓周運動角量和線量的關系；了解相對運動及伽利略變換式。一、質(zhì)點模型化方法理想模型質(zhì)點：不計大小和形狀、具有一定質(zhì)量的物體?！?質(zhì)點運動學的基本概念質(zhì)點系二、參考系坐標系車廂的人：垂直下落地面上的人：拋物運動----運動的描述是相對的參考系：為描述物體運動而選用的標準物體或物體系運動的絕對性！汽車上的乘客在下列兩種情況下觀察自由下落的雨滴，會得到什么結(jié)果?汽車作勻速直線運動；汽車以雨滴落地點為中心，作逆時針勻速圓周運動。坐標系：為了定量地確定質(zhì)點在空間的位置而固定在參考系上的運算系統(tǒng)。1.直角坐標系：2.平面極坐標系:極軸:極角通常規(guī)定從極軸沿逆時針方向的為正:極徑3.自然坐標系：在已知運動軌跡上任選一點0為原點建立的坐標系自然坐標

s

確定質(zhì)點的位置：切向單位矢量：法向單位矢量自然坐標

s(t)

的正負方向：軌跡曲線中指向運動前方的一側(cè)方向為正三、時間時刻：瞬時，時間軸上的一個點；時間：運動過程持續(xù)性、順序性的反映；時間軸上的一段間隔；時間的變化：任何運動都經(jīng)歷的、一去不復返的流逝過程0123t四、空間大小、方向矢量！1、位置矢量（

位矢、矢徑）

空間：物體在運動中不斷變化所占據(jù)的位置的統(tǒng)稱；是運動過程廣延性或物體相對位置和形狀的反映。位矢：表征空間某點P的位置，由原點0到P的矢量矢量有大小、方向單位矢量在直角坐標系下直角坐標系中的矢量形式：

直角坐標系的分量形式：運動方程:表示運動過程的函數(shù)位置隨時間變化描述位置隨時間的變化規(guī)律

運動方程舉例：斜上拋運動自然坐標中軌跡：質(zhì)點在空間所經(jīng)過的路徑1）斜上拋運動：2）勻速率圓周運動：軌跡方程軌跡方程：運動方程的諸分量中消去t得到的方程2、位移矢量質(zhì)點一段時間內(nèi)位置的改變，即位矢的增量位移的大小在直角坐標系下

：位移討論：：路程，質(zhì)點沿軌跡運動所經(jīng)歷的路徑長度：位移的模：徑向增量，位矢大小的增量

注意：路程是標量，大小與位移的大小一般不相等，即在極限情況下有單方向直線運動時有

是位矢大小的增量

判斷下列說法的正誤：隨堂練習[例1]已知質(zhì)點的運動方程為，試求：（1）質(zhì)點的軌跡；（2）t=0及t=2s時，質(zhì)點的位矢；（3）由t=0到t=2s，質(zhì)點的位移。解（1）運動方程消去t（2）t=0t=2s（3）t=0平均速度描述質(zhì)點運動快慢和運動方向的物理量大小：方向：的方向平均速度是矢量！為了精確描述質(zhì)點在某一時刻運動的快慢狀態(tài)，t可以取得很小，以至趨近于零——瞬時速度！五、速度在直角坐標系下速度----軌道切線方向且指向運動的前方

的方向的速度分量：

的大?。涸谥苯亲鴺讼迪碌姆较颍核俣鹊娜齻€重要特性：討論：速率：速度的矢量性；速度的瞬時性；速度的相對性；平均速率：速率是速度的大小，標量；速率等于瞬時速度的大小

速率是自然坐標對時間的一階導數(shù)！平均速率不等于平均速度的大小

反映位矢方向的變化由于：反映了位矢大小的變化？：位矢對時間的變化率等于速度，那么位矢的大小對時間的變化率是否等于速率？--

注意：OABC徑向速度[例2]如圖，質(zhì)點作半徑為R、速率為v的勻速圓周運動。由A點運動到B，試在如圖所示的直角坐標系下求：②位移

①質(zhì)點在A、B點的位矢③路程④質(zhì)點在A、B點的速度⑤速度的增量⑥速率的增量[例3]一質(zhì)點沿x軸作直線運動，其位置與時間的關系為，求：(1)質(zhì)點在第1、第2秒內(nèi)的平均速度；

(2)質(zhì)點在2~2.01s,2~2.001s內(nèi)的平均速度；

(3)t=2s的速度。

(4)t=0,1,2,3s時的位置及3s內(nèi)的位移和路程。解（1）第1秒內(nèi)第2秒內(nèi)（3）t=2s（2）2~2.01s內(nèi)2~2.001s內(nèi)（4）t/s0123x/m101410-2v/m?s-180-8-16六、加速度描述質(zhì)點速度隨時間變化快慢的物理量平均加速度：方向：的方向瞬時加速度：的方向ABrrABvvvΔAvABxyzo大小：方向：

的極限方向，一般與速度

的方向不同。方向夾角在直角坐標系下討論：加速度反映的是速度的變化，只與有關，而與本身無關；速度是矢量，速度大小或方向任一因素發(fā)生變化，表明速度就發(fā)生了變化，即要產(chǎn)生加速度。速度的方向不變，大小隨時間變化——一維變速直線運動a>0，與坐標正向同向a<0，與坐標正向反向速度的大小不變，方向隨時間變化——勻速率圓周運動0BA方向：指向圓心，故稱為向心加速度速度的大小和方向均隨時間變化——一般的曲線運動——反映速度方向的變化，法向加速度——反映速度大小的變化，切向加速度(A)勻速直線運動。(B)變速直線運動。(C)拋物線運動。(D)一般曲線運動。[例4]一質(zhì)點在平面上運動,已知質(zhì)點位置矢量的表達式為,(其中a、b為常量.)則該質(zhì)點作[例5]某質(zhì)點的運動方程為x=2t-7t3+3（SI）,則該質(zhì)點作(A)勻加速直線運動,加速度沿x軸正方向;(B)勻加速直線運動,加速度沿x軸負方向;(C)變加速直線運動,加速度沿x軸正方向;(D)變加速直線運動,加速度沿x軸負方向。下列關于質(zhì)點運動的描述，判斷其正誤（1）平均速率不為零，而平均速度為零；（2）具有零速度，同時具有不為零的瞬時加速度；（3）具有恒定的速率，并有變化的速度；（4）平均速度不為零，而平均速率為零；（5）加速度很大，而速度值卻不變；（6）向前的加速度減小，前進速度也隨之減小（7）勻加速運動，必定是直線運動；（8）加速度為負，質(zhì)點必做減速運動；（9）在圓周運動中，加速度方向恒指向圓心；（10）切向加速度反映速度大小的變化，法向加速度反映速度方向的變化；（11）在曲線運動中，質(zhì)點的加速度必定不為零；§2圓周運動的角量描述一.角量①角坐標：半徑R不變，質(zhì)點位置可由角坐標（角位置）確定t時間內(nèi)，質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度②角位移：運動方程可用角坐標表示與的正負規(guī)定：逆時針為正，順時針為負角坐標和角位移的單位：弧度（rad)③角速度ω④角加速度β單位：(rad/s2)單位：(rad/s)質(zhì)點作勻速圓周運動時，角速度ω是常量，角加速度β為零；質(zhì)點作勻變速圓周運動時，角加速度β為常量二.線量與角量關系弧長與圓心角的關系，有則：又：三、角量與線量的矢量關系1角位移2角速度是矢量,方向：右手螺旋法則是矢量，方向：右手螺旋法則3角加速度βraτωvan勻變速圓周運動勻變速直線運動勻速圓周運動勻速直線運動

法向加速度切線加速度角加速度加速度角速度速度

角位移位移

角位置位置

線量和角量的關系

角量線量

角量與線量的比較四、一般曲線運動的自然坐標描述----曲率半徑討論：一般曲線運動的法向加速度總是指向瞬時曲率中心，

總是指向曲線凹的一側(cè)曲率圓速度運動方程加速度[例1]一質(zhì)點作半徑的圓周運動，其運動方程為(rad)，t以秒計。試問當θ多大時，其切向加速度大小是總加速度大小的一半?解：可得[例2]一質(zhì)點從靜止出發(fā)，作半徑為R=3.0m的圓周運動，其切向加速度恒為3m/s2，試問當質(zhì)點的加速度與半徑成45°時，質(zhì)點所經(jīng)過的時間t?解：ORaτana45°與半徑成45°，§3質(zhì)點運動的描述方法車廂的人：垂直下落地面上的人：拋物運動參考系！----運動描述的相對性參考系選得不同，對同一物體運動的描述也就不同一、運動描述的相對性伽利略變換1.相對位矢一般地2.相對速度和相對加速度絕對牽連相對伽利略速度變換式

注意：1.

同時性是絕對的。伽利略變換(Galileantransformation)蘊含著經(jīng)典力學的時空觀。2.

時間間隔是絕對不變量。3.

空間間隔是絕對不變量。二、描述運動的一般方法1列表法2圖線法t/s012345y/m04.919.644.178.4122.5v/(m?s-1)09.819.629.439.249.0自由落體運動的位置、速度與時間的對應關系五個信息源：形狀趨勢、面積、斜率、峰（谷）值、交點[例1]一汽車沿筆直的公路行車，速度和時間的關系如圖所示。求：（1）試說明OA、AB、BC、CD、DE、EF各線段各表示什么運動？（2）汽車在整個行駛過程中所走過的路程、位移和平均速度。解：（1）OA段：正向加速運動，v>0，a>0AB段：正向勻速運動，a=0BC段：正向減速運動，v>0，a<0DE段：反向加速運動，v<0,

a<0EF段：反向減速運動，v<0,

a>0（2）CD段：靜止，v=03解析法——運動方程求導求導積分積分Ⅰ由質(zhì)點的運動方程可以求得質(zhì)點在任一時刻的位矢、速度和加速度；Ⅱ已知質(zhì)點的加速度（速度）及初始條件,可求質(zhì)點速度及其運動方程。1、運動學兩類問題

討論：①認真分析題意，判斷其屬于第Ⅰ類問題還是第Ⅱ類問題；

②正確建立坐標系，確定各矢量的正向，把題意轉(zhuǎn)換成相應的數(shù)學方程；2、運動學的解題思路

③求解方程；

④對所得結(jié)果進行必要的分析討論。[例1]已知某星球的運動規(guī)律為(式中A、B、ω為常數(shù)，且A>B)。求：(1)該星球的軌跡方程；(2)加速度；(3)星球經(jīng)過第二象限任一點M時是加速運動還是減速運動？解：⑴消出t得軌跡方程（2）軌道為以2A為長軸，2B為短軸的橢圓（3）t=0，x0=A，y0=0t=π/2ω，x1=0，y1=Bt=π/ω，x2=-A，y1=0減速運動[例2]質(zhì)點沿x軸作直線運動，加速度a=2t，且t=0時，x0

=1，v0

=0，求任意時刻質(zhì)點的速度和位置。解：質(zhì)點作一維變速運動定積分又有[例3]質(zhì)點沿x軸作直線運動，速度v=1+2x，初始時刻質(zhì)點位于原點，求質(zhì)點的位置和加速度。解：[例3]已知質(zhì)點沿x軸運動，其加速度和位置的關系為