人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章數(shù)列課件

第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊課件學(xué)習(xí)目標1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實例，了解數(shù)列的概念、表示方法（列表、圖象、通項公式）以及數(shù)列的分類.2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，并能通過函數(shù)思想研究數(shù)列的性質(zhì).3.理解數(shù)列的通項公式的意義，了解數(shù)列的遞推公式，了解通項公式和遞推公式是給出數(shù)列的兩種方式，并明確它們的異同.4.理解數(shù)列的前n項和，并能用數(shù)列的前n項和求出數(shù)列的通項公式.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模新知學(xué)習(xí)在現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常需要根據(jù)問題的意義，通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象.例如：

1.王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高.將這些身高數(shù)據(jù)（單位：cm）依次排成一列數(shù)：

75，87，96，103，110，116，120，128，138，

145，153，158，160，162，163，165，168.

①所以，①是具有確定順序的一列數(shù).

所以，②也是具有確定順序的一列數(shù).

思考：你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？

所以③是具有確定順序的一列數(shù).歸納：上述例子的共同特征是什么？新知講解

上述①是按年齡從小到大的順序排列的，②是按每月的日期從小到大的順序排列的，③是按冪指數(shù)從小到大的順序排列的，它們都是從第1項開始的.

序號123……

↓↓↓

↓

項……

三、數(shù)列的函數(shù)表示法及性質(zhì)與其他函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用表格和圖象來表示.例如，數(shù)列①可以表示為表4.1-1.1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的圖象如圖4.1-1所示.與函數(shù)類似，我們可以定義數(shù)列的單調(diào)性.從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列.特別地，各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列.

典例剖析

典例剖析

解：（1）這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，

偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為

解：（2）這個數(shù)列前4項的奇數(shù)項是2，偶數(shù)項是0，所以它的一個通項公式為2020

例4圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式.

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）

（2）

（3）

（4）新知講解

五、數(shù)列的遞推公式

對遞推公式的兩點說明：（1）遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法.有時候并不一定要知道數(shù)列的通項公式，只要知道數(shù)列的某一項和遞推公式，同樣也可以知道數(shù)列的任一項；（2）與數(shù)列的通項公式一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

典例剖析

新知講解

隨堂小測

3825

遞增

7

7D課堂小結(jié)1.數(shù)列的定義

按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.項、首項

5.數(shù)列的遞推公式數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系表達式.

第四章4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時學(xué)習(xí)目標1.通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義，2.了解等差中項的概念.3.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4.掌握等差數(shù)列的判定方法核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理新知學(xué)習(xí)1.北京天壇圜丘壇，的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81.①

2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上衣對應(yīng)的尺碼分別是38，40，42，44，46，48②

思考：在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過運算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律，類似地，你能通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？新知學(xué)習(xí)1.北京天壇圜丘壇，的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81.①

觀察數(shù)列②~④，它們是否也有這樣的取值規(guī)律呢？2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上衣對應(yīng)的尺碼分別是38，40，42，44，46，48②

新知講解

判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)如果一個數(shù)列的每一項與它的前一項的差是一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)數(shù)列0,0,0,0，…不是等差數(shù)列．()(3)在等差數(shù)列中，除第1項和最后一項外，其余各項都是它前一項和后一項的等差中項．()即時鞏固××√思考：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？

三、等差數(shù)列的通項公式思考：上述推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操作？還可以用累加法推導(dǎo)如下：

五、等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系思考：觀察等差數(shù)列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？

公差的取值范圍數(shù)列的類型遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列典例剖析

例2（1）解析：6例26

A隨堂小測CDD課堂小結(jié)1.等差數(shù)列的概念

3.等差數(shù)列的通項公式

第四章4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時第四章4.2等差數(shù)列

學(xué)習(xí)目標

新知學(xué)習(xí)1.等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.

復(fù)習(xí)引入

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)新知探究

高斯（Gauss，1777－1855），德國數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.他在天文學(xué)、大地測量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過杰出貢獻.

將上述方法推廣到一般，可以得到：

新知講解

（1）

思考:

不從公式（1）出發(fā)，你能用其他方法得到公式（2）嗎？

典例剖析

典例剖析

典例剖析

所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項和公差.

ABCD1133

2285

30157

4

249

5

3511

更一般地，

隨堂小測

19500

2730

26

305

課堂小結(jié)

2.等差數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)

第四章4.34.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時學(xué)習(xí)目標1.通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義，2.了解等比中項的概念.3.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理新知學(xué)習(xí)我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)”，類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？復(fù)習(xí)引入

探究：類比等差數(shù)列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？我們可以通過除法運算探究以上數(shù)列的取值規(guī)律.

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列：

9，92，93，…，910；

①

100，1002，1003，…，10010；

②

5，52，53，…，510.

③這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于9.其余幾個數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律嗎？請自己試一下.

新知講解

（5）等比數(shù)列定義的符號表示：即時鞏固

D

三、等比數(shù)列的通項公式

探究：你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？

四、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減典例剖析

等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.

解方程組，得

隨堂小測

A

C

C

13.公差不為零的等差數(shù)列的第二、三、六項依次成等比數(shù)列，則公比是（

）A.2 B.3 C.4 D.5B課堂小結(jié)1.等比數(shù)列的概念2.等比中項3.等比數(shù)列的通項公式

4.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

第四章34.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時學(xué)習(xí)目標1.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的實際問題.2.會判定一個數(shù)列為等比數(shù)列.3.通過等比數(shù)列的概念、通項公式認識等比數(shù)列的性質(zhì).核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理新知學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)引入1.等比數(shù)列的概念2.等比數(shù)列的通項公式

方法技巧：判定數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法

由計算工具計算（精確到0.1），并列表如下：1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9

891011121314.106.4105.5104.2102.6100.698.195.0

隨堂小測

D

D

D

課堂小結(jié)1.等比數(shù)列的判定方法2.等比數(shù)列的性質(zhì)3.等比數(shù)列的實際應(yīng)用定義法、等比中項法、通項公式法、構(gòu)造法4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.創(chuàng)設(shè)情境你想得到什么樣的賞賜？陛下賞小人幾粒麥子就搞定.OK第一格放1粒麥子，以后每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的的2倍，直到第64個格子西薩國王問題1：每一格的麥粒數(shù){an}構(gòu)成什么數(shù)列？問題2：國王答應(yīng)獎賞給發(fā)明者西薩的總麥粒數(shù)用式子怎么表示？{an}為以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.探究新知問題3：總麥粒數(shù)S64怎么求？探究S64的求法:探究新知大家猜想S64應(yīng)該等于多少？可將兩式相減，消去這些相同項，得探究新知問題4：S64進行怎樣的變形能出現(xiàn)264？問題5：根據(jù)兩式我們?nèi)绾吻蟪鯯64的值呢？等式兩邊乘上的2是此數(shù)列的什么？問題解決：假定千粒麥粒的質(zhì)量為40克，據(jù)查，2016—2017年度世界年度小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.探究新知7300多億噸?國王的諾言不能實現(xiàn)！?人們估計，全世界一千年也難以生產(chǎn)這么多麥子!(1)(2)錯位相減法1-q是否為零？討論公比q是否為1探究：類比上面求和的方法能否得到等比數(shù)列前n項和公式呢？探究新知首項末項公比前n項和項數(shù)等比數(shù)列前n項和公式：探究新知注意(1)等比數(shù)列求和時，應(yīng)考慮q=1與q≠1兩種情況.(2)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法：錯位相減法.(3)步驟:乘公比，錯位寫，對位減.典例分析典例分析典例分析不要忘記考慮q=1與q≠1兩種情況.解法1：典例分析例3(1)(2)(3)解法2：兩式相除：實現(xiàn)整體消元的目的證明：典例分析例4鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)5.如果一個等比數(shù)列前5項和等于10,前10項的和等于50,求這個數(shù)列的公比.鞏固練習(xí)解法1：解法2：1.掌握等比數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)方法（錯位相減法）.2.掌握等比數(shù)列前n項和公式（注意分類討論）.課堂小結(jié)4.3.2

等比數(shù)列的前n項和公式應(yīng)用1.等比數(shù)列前n項和公式：2.等比數(shù)列求和要考慮公比是否為1.3.等比數(shù)列求和的常用方法：錯位相減法.

若等比數(shù)列{an}的公比q≠1，前n項和為Sn，則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比數(shù)列,其中公比為qn.復(fù)習(xí)引入4.等比數(shù)列的片段和性質(zhì)：消元方法：約分或兩式相除思考：你能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項和公式Sn＝

(q≠1)的函數(shù)特征嗎？探究新知??當q≠1時，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).當q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數(shù).結(jié)構(gòu)特點：qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).例1數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n－2.求{an}的通項公式,并判斷{an}是否是等比數(shù)列.解:當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.當n＝1時，a1＝S1＝31－2＝1，不滿足上式.由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比數(shù)列，即{an}不是等比數(shù)列.典例分析思考：還有其他方法判斷{an}是否是等比數(shù)列嗎？思考：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則S偶,S奇之間有什么關(guān)系？(1)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，則(2)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n探究新知??S偶＝qS奇??例2已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.解：由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80∴S奇＝－80，S偶＝－160，典例分析變式：若等比數(shù)列{an}共有2n項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列{an}的所有項之和為______.300

典例分析

例4去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).典例分析分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列.因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算.

所以，從今年起5年內(nèi)，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸.小試牛刀分組求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n項和公式，其中{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列；(2)

將等差數(shù)列和等比數(shù)列分開：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a1

+a2+…+an

)±(b1

+b2+…+bn

)(3)利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和公式來計算Tn.解：變式：

典例分析

(2)這是待定系數(shù)法的應(yīng)用，可以將它還原為(1)中的遞推公式形式，通過比較系數(shù)，得到方程組；(3)利用(2)的結(jié)論可得出解答.

小試牛刀1.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).當x≠1時，Sn＝x＋

2x2＋

3x3＋

4x4

＋

…＋

nxnxSn＝

x2＋

2x3＋

3x4＋

…＋

(n－1)xn＋nxn＋1∴(1－x)Sn＝x＋

x2＋

x3＋

x4

＋

…＋

xn

－nxn＋1課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂小結(jié)1.等比數(shù)列前n項和公式Sn的函數(shù)特征：當q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數(shù).當q≠1時，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).(1)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，則(2)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n＋1項，則S奇＝a1＋qS偶?S偶＝qS奇?2.等比數(shù)列的S奇與S偶之間的關(guān)系：3.求和的方法分組求和法、錯位相減法4.4*數(shù)學(xué)歸納法我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！猜：四毛！情景引入不完全歸納：從一類對象中的部分對象都具有某種性質(zhì)推出這類對象全體都具有這種性質(zhì)的歸納推理方法問題1:口袋中有4個吃的東西，如何證明它們都是糖？把研究對象一一都考察到，而推出結(jié)論的歸納法.完全歸納法（1）求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？探究新知猜想不完全歸納法逐一驗證，不可能?。?！思考：能否通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？我們先從多米諾骨牌游戲說起.碼放骨牌時,要保證任意相鄰的兩塊骨牌,若前一塊骨牌倒下,則一定導(dǎo)致后塊骨牌倒下.這樣,只要推倒第1塊骨牌,就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下,就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；…….總之,不論有多少塊骨牌,都能全部倒下.情景引入思考1：在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？使所有多米諾骨牌全部倒下的條件有兩個：(1)第一塊骨牌倒下；(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.思考2：你認為條件(2)的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言描述它？條件(2)實際上是給出了一個遞推關(guān)系.數(shù)學(xué)語言：第k塊骨牌倒下

結(jié)論：無論有多少塊骨牌，只要保證條件(1)(2)出來，那么所有的骨牌都能倒下.探究新知

=1.

探究新知只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)歸納奠基：證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)歸納遞推：以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當__________時命題也成立”．n＝k＋1這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．思考：數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?不一定．如證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°，第一個值n0＝3.探究新知數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示：探究新知

×√×2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1成立時，左邊計算所得的項是(

)A．1

B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3C小試牛刀

典例分析

歸納假設(shè)

目標用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟：使用前提基礎(chǔ)性結(jié)論傳遞性(1)證明當取第一個值n0(例如n0=1或2)時結(jié)論正確；(2)假設(shè)當n=k(k∈N*,且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當n=k+1時結(jié)論也正確.據(jù)(1)和(2)可知命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確.口訣：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.探究新知

典例分析目標

同理可得

歸納上述結(jié)果，猜想

典例分析

典例分析目標“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)

典例分析解法1:由已知可得

典例分析

典例分析(2)瞄準當n＝k＋1時的遞推目標，有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論.2.數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中要注意以下兩點：(1)先湊假設(shè)，作等價變換；(3)證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標的表達式變形.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，應(yīng)關(guān)注以下三點：(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；(2)弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；總結(jié)提升：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟：使用前提基礎(chǔ)性結(jié)論傳遞性(1)證明當取第一個值n0(例如n0=1或2)時結(jié)論正確；(2)假設(shè)當n=k(k∈N*,且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當n=k+1時結(jié)論也正確.據(jù)(1)和(2)可知命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確.口訣：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.課堂小結(jié)內(nèi)容索引知識網(wǎng)絡(luò)考點突破真題體驗1知識網(wǎng)絡(luò)PARTONE2考點突破PARTTWO一、等差(比)數(shù)列的基本運算1.數(shù)列的基本運算以小題居多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項公式及求和公式，求數(shù)列中的項、公差、公比及前n項和等，一般試題難度較小.2.通過等差、等比數(shù)列的基本運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).例1

在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.解由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32.所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.所以數(shù)列{bn}的前n項和反思感悟在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式an與前n項和公式Sn中，共涉及五個量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d或q，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當然在求解中若能運用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會更好，這樣可以化繁為簡，減少運算量，同時還要注意整體代入思想方法的運用.解因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；解得a1＝－1或a1＝2.解因為a1＞0，所以a1＝2，(2)在(1)的條件下，若a1＞0，求Sn.二、等差、等比數(shù)列的判定1.判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點內(nèi)容，經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)，對給定條件進行變形是解題的關(guān)鍵所在，經(jīng)常利用此類方法構(gòu)造等差或等比數(shù)列.2.通過等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).(1)求b1，b2，b3；將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；解{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.(3)求數(shù)列{an}的通項公式.反思感悟判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法(2)中項公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列.(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列.(4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是公比不為1的等比數(shù)列.(2)試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.解得t＝11∈N*，所以a1a2是數(shù)列{an}中的第11項.三、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要涉及數(shù)列的單調(diào)性、最值及其前n項和的性質(zhì)，利用性質(zhì)求數(shù)列中某一項等.試題充分體現(xiàn)“小”“巧”“活”的特點，題型多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔.2.借助等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).例3

(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn取得最大值的n是A.21 B.20 C.19 D.18解析由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，∴a3＝35.同理可得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.√∴使Sn取得最大值的n是20.(2)記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝

.又由am－1am＋1－2am＝0(am≠0)，從而am＝2.4則22m－1＝128，故m＝4.反思感悟等差數(shù)列等比數(shù)列若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝am，am＋k，am＋2k，…仍是等差數(shù)列，公差為kdam，am＋k，am＋2k，…仍是等比數(shù)列，公比為qk若{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等差數(shù)列，則{pan＋qbn}仍是等差數(shù)列若{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則{pan·qbn}仍是等比數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比數(shù)列(q≠－1或q＝－1且m為奇數(shù))√解析設(shè)S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16，則有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，(2)在等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則該數(shù)列的前13項和為A.13 B.26

C.52

D.156√解析3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，四、數(shù)列求和1.數(shù)列求和一直是考查的熱點，在命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn).一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，題型多以解答題形式出現(xiàn)，難度中等.2.通過數(shù)列求和，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；當n＝1時，a1＝1，S1＝1成立.所以an＝n(n∈N*).解由(1)知f(x)＝x＋2x2＋…＋nxn，反思感悟數(shù)列求和的常用類型(1)錯位相