工程水文學第六章水文統(tǒng)計

工程水文學第六章水文統(tǒng)計第一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日6.2概率的基本概念

一、事件

事件是指隨機試驗的結果。

必然事件：如果可以斷定某一事件在試驗中必然發(fā)生，稱此事件必然事件。

不可能事件：可以斷定試驗中不會發(fā)生的事件稱為不可能事件。

隨機事件：某種事件在試驗結果中可以發(fā)生也可以不發(fā)生，這樣的事件就稱為隨機事件。第二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日二、概率

隨機事件在試驗結果中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但其出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）可能性的大小則有所不同。為了比較這種可能性的大小，必須賦于一種數量標準，這個數量標準就是事件的概率。6.2概率的基本概念

第三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日三、頻率

水文事件不屬古典概率事件，只能通過試驗來估算概率。設事件在ｎ次試驗中出現(xiàn)了ｍ次，則稱

為事件A

的頻率。

6.2概率的基本概念

第四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日擲幣試驗出現(xiàn)正面的頻率表

試驗者擲幣次數出現(xiàn)正面次數頻率蒲豐404020400.5080皮爾遜1200060180.5016皮爾遜24000120140.5006在試驗次數足夠大的情況下，事件的頻率和概率是十分接近的。

6.2概率的基本概念

第五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）式中，Ｐ（Ａ＋Ｂ）－事件Ａ與Ｂ之和的概率；

Ｐ（Ａ）－事件Ａ的概率；

Ｐ（Ｂ）－事件Ｂ的概率。

Ｐ（ＡＢ）－事件Ａ和Ｂ共同發(fā)生的概率。四．概率加法定理和乘法定理１．概率加法定理

6.2概率的基本概念

第六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日2、概率乘法定理

Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）

＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ）式中，Ｐ（Ａ／Ｂ）－事件Ａ在事件Ｂ已發(fā)生情況下的概率，簡稱為Ａ的條件概率。Ｐ（Ｂ／Ａ）－事件Ｂ在事件Ａ已發(fā)生情況下的概率，簡稱為Ｂ的條件概率。對于兩個獨立事件：Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）6.2概率的基本概念

第七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日AB互斥P（AB）＝0P（A＋B）＝P（A）＋P（B）AB相容P（AB）＝P（A）P（B/A）

＝P（B）P（A/B）ABP（A）＋P（B）＝1P（A）＝1－P（B）

P（B）＝1－P（A）對立AB獨立

P（AB）＝P（A）P（B）

P（A/B）＝P（A）

P（B/A）＝P（B）第八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例：某地區(qū)位于河流甲與乙的匯合點。當任一河流泛濫時，該地區(qū)即被淹沒，設在某時期內河流甲泛濫的概率為0.1，河流乙泛濫的概率為0.2；又知當河流甲泛濫時，河流乙泛濫的概率為0.3。求在該時期內這個地區(qū)被淹沒的概率。又當河流乙泛濫時河流甲泛濫的概率？

第九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例：某地區(qū)位于河流甲與乙的匯合點。當任一河流泛濫時，該地區(qū)即被淹沒，設在某時期內河流甲泛的概率為0.1，河流乙泛濫的概率為0.2；又知當河流甲泛濫時，河流乙泛濫的概率為0.3。求在該時期內這個地區(qū)被淹沒的概率。又當河流乙泛濫時河流甲泛濫的概率？

解：記河流甲泛濫為事件Ａ，河流乙泛濫為事件Ｂ。這個地區(qū)被淹沒的概率為：

Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）＝0.1＋0.2－0.3×0.1

＝0.27由于Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）

故當河流乙泛濫時，河流甲泛濫的概率為＝0.3×0.1/0.2＝0.15Ｐ（A／B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）/Ｐ（B）第十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日6.3隨機變量及其概率分布

一、隨機變量

隨機變量是表示隨機試驗結果的數量表示，隨機變量可分為兩大類型：離散型隨機變量，連續(xù)型隨機變量。水文隨機變量一般指水文特征值，屬于連續(xù)型隨機變量。

第十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

二、隨機變量的概率分布

隨機變量的取值與其概率有一定的對應關系，稱為隨機變量的概率分布，數理統(tǒng)計學上記為F（x）＝P（X≤x），稱為隨機變量的概率分布函數。

水文統(tǒng)計中通常研究隨機變量的取值大于某一個值的概率，F(xiàn)（x）＝P（X＞x）在水文統(tǒng)計學上也稱此為隨機變量的概率分布函數（或概率分布曲線）。

第十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日某雨量站的年雨量分布曲線0.60.40.211001000900800700x0.81.0P（X＞x）第十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日若x＝800mm，由分布曲線知P（X＞800）＝0.6，表明年雨量超過800mm的概率等于60％。

年雨量在800mm～900mm間的概率是多少呢？

這就要討論的隨機變量落在某區(qū)間（x，x＋Δx）內的概率，可用下式表示：

P（x＋Δx＞X≥x）＝F（x）－F（x＋Δx）

從圖3—1得:F（800）＝0.60；F（900）＝0.21

故：P（900＞x≥800）＝0.60－0.21＝0.39

年雨量落在800mm至900mm之間的可能性是39％。

第十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日函數f（x）＝-F’（x）為概率密度函數，簡稱為密度函數或密度曲線。

f(x)xf(x)dxdx概率密度函數第十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日f(x)x密度函數F(xp)=P(X>xp)xp第十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日f(x)xxp概率分布函數與密度函數關系

F(xp)=P(X>xp)F(x)F(xp)x第十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日三、隨機變量的統(tǒng)計參數概率分布曲線完整地刻劃了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。但在一些實際問題中，有時只要知道概率分布某些特征數值。這種以簡便的形式顯示出隨機變量分布規(guī)律的某些特征數字稱為隨機變量的統(tǒng)計參數。

第十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

統(tǒng)計參數有總體統(tǒng)計參數與樣本統(tǒng)計參數之分。水文計算中常用的樣本統(tǒng)計參數有均值、均方差、變差系數和偏態(tài)系數。

第十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日1.均值

均值表示系列中變量的平均情況。設某水文變量的觀測系列（樣本）為x1,x2，…,xn，則其均值為:第二十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日令,稱模比系數，則:

第二十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日2.均方差

均方差是反映系列中各變量集中或離散的程度。研究系列集中或離散程度，常采用方差或均方差，計算公式為第二十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日均方差對頻率曲線的影響σ1σ2第二十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日3．離勢系數（離差系數，變差系數）

例如:甲地區(qū)的年雨量分布，

＝1200mm，均方差σ1＝360mm；乙地區(qū)的年雨量分布，

＝800mm，均方差σ2＝320mm。盡管σ1＞σ2，但是＞，應從相對觀點來比較這兩個分布的離散程度。

采用一個無因次的數字來衡量分布的相對離散程度，稱為離勢系數

第二十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日4．偏態(tài)系數（偏差系數）

反映分布是否對稱的特征CS參數，記為

用來表征分布不對稱的情況。當密度曲線對EX對稱，CS＝0；若不對稱，當正離差的立方占優(yōu)時，CS＞0，稱為正偏；當負離差的立方占優(yōu)勢時，CS＜0，稱為負偏。

第二十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Cs

＞0Cs＝0Cs

＜0Cs對密度曲線的影響第二十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

水文分析計算中使用的概率分布曲線俗稱水文頻率曲線，習慣上把由實測資料（樣本）繪制的頻率曲線稱為經驗頻率曲線，而把由數學方程式所表示的頻率曲線稱為理論頻率曲線。

第二十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

所謂水文頻率分布線型是指所采用的理論頻率曲線(頻率函數)的型式，目前不論哪種線型都缺乏物理依據，它的選擇主要取決于與大多數水文資料的經驗頻率點據的擬合情況（皮爾遜III型分布）。第二十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日6.4.1分布線型6.4.1.1正態(tài)分布

概率密度函數形式：

式中，—平均數

σ—標準差

正態(tài)分布在誤差估算時將會應用。

6.4水文頻率計算

第二十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日正態(tài)分布密度曲線

f(x)68.3%第三十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日6.4.1.2皮爾遜Ⅲ型分布

皮爾遜III型曲線為一端有限一端無限的不對稱單峰曲線，概率密度函數

式中，α，β，a0－參數，且有：

第三十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日如果已知設計值xP，推求

xp

取決于p、α、β和αO四個數，并且當α、β、αO

三個參數為已知時，則xp只取決于p了。α、β、αO與分布曲線的EX，CV和CS有關，因此只要確定EX、CV和CS，xp僅與p有關，可以由p唯一地來計算xp。第三十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日P－3型分布的積分無解析解，實用中制表查用。

取標準化變量Ф（離均系數）

將之代入式（3—22）得

被積函數只含一個參數CS。只要給定CS就可以算出ФP和P的對應值，最終制定出ФP～Cs～p的對應數值表（表3－2）。

第三十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日由給定的CS及p從表3—2查出ФP，通過xP＝（ФPCV＋1）EX即可決定出xP。因此，已知EX，CV，CS就可求出與各種p值相應的xP值，也就可以繪制分布曲線或頻率曲線。例如，已知某地年平均雨量EX＝1000mm、CV＝0.5、CS＝1.0，求p＝1%的設計年雨量。由CS=1.0，p＝1%查得ФP=3.02，

X1%=（ФP

Cv＋1）EX＝（3.02×0.5＋1）1000＝2510（mm）CSp第三十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

在頻率計算時，由已知的Cs值，查Φ值表得出不同的P的Φ，然后利用已知的EX、Cv，通過Φ公式即可求出與各種P相應的x，從而可繪制出皮爾遜Ⅲ型頻率曲線。

第三十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

把頻率曲線畫在普通方格紙上，頻率曲線的兩端特別陡峭，又因圖幅的限制，對于特小頻率或特大頻率，尤其是特大頻率的點子很難點在圖上。頻率格紙，就能較好地解決這個問題，所以在頻率計算時，一般都是把頻率曲線點繪在頻率格紙上。頻率格紙第三十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日頻率格紙(0.01,3.720),(50,0.000)第三十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日6.4.2頻率曲線參數估算

在概率分布函數中包含有，CV，CS三個參數。為了唯一確定概率分布函數，就得估算這些參數。

一、樣本估計總體

隨機變量所取數值的全體稱為總體，從總體中任意抽取的一部分稱為樣本，樣本中所包括的項數稱為樣本容量。水文變量的總體是指自古迄今以至未來長遠歲月所有的水文系列，是不知道的，需要靠觀測到的樣本去估計總體參數。現(xiàn)有的水文觀測的系列可以當作總體的一個隨機樣本來處理。第三十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日隨著樣本容量的增即隨著觀測次數的增加，頻率w就非常接近于概率p，經驗分布曲線就非常接近于總體分布曲線。在某種程度上由樣本的經驗分布來推測總體分布，總體的參數就可以通過抽出的樣本（觀測的系列）

來加以估算。

第三十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（

1）樣本的均值X，即

（2）樣本標準差S‘，即

（3）樣本離勢系數CV

‘，即

矩法公式第四十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（4）樣本偏態(tài)系數CS

’

，即

只要掌握了樣本，借助上列公式估計出參數；就可推出概率分布曲線，這種方法叫做矩法。注意：以上樣本參數不等于總體參數！第四十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第四十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日原矩法公式得出的S‘，CV

‘，和CS

’并不是無偏估計量，目前水文上采用的是經修正后的矩法公式:

第四十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第四十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

用一個樣本的統(tǒng)計參數來代替總體的統(tǒng)計參數是存在一定誤差的，這種誤差是由于從總體中隨機抽取的樣本與總體有差異而引起的，與計算誤差不同，稱為抽樣誤差。抽樣誤差第四十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第四十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第四十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第四十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第四十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第五十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第五十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第五十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一、經驗頻率

根據實測水文資料，按從大到小的順序排列，然后用經驗頻率公式計算系列中各項的頻率，稱為經驗頻率。以水文變量x為縱坐標，以經驗頻率P為橫坐標，點繪經驗頻率點據，根據點群趨勢繪出一條平滑的曲線，稱為經驗頻率曲線。6.4.2.2適線法第五十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

經驗頻率的計算

目前我國水文計算廣泛采用的是數學期望公式:式中p-等于和大于xm的經驗頻率；m-xm的序號，即等于或大于xm的項數；n-系列的總項數。第五十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日某地年降雨量經驗分布曲線

020406080100p（%）

x

1200

1000

800二、經驗頻率曲線

p（X≥xi）＝i/n+1

第五十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日經驗頻率曲線存在的問題

經驗頻率曲線計算工作量小，繪制簡單，查用方便，但受實測資料所限,往往難以滿足設計上的需要。為此，提出用理論頻率曲線來配合經驗點據，這就是水文頻率計算適線法。第五十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

頻率這個詞比較抽象，為便于理解，有時采用重現(xiàn)期這個詞。所謂重現(xiàn)期是指某隨機變量的取值在長時期內平均多少年出現(xiàn)一次，又稱多少年一遇。

在工程水文中，重現(xiàn)期用字母T表示，一般以年為單位。頻率與重現(xiàn)期的關系第五十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第五十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第五十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第六十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第六十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第六十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日(6)今后10年內不發(fā)生超標準洪水的概率(7)今后10年內發(fā)生超標準洪水的概率(8)今后10年內堤防受破壞的概率第六十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日三、目估適線法

根據經驗頻率分布點據，找出與之配合最佳的頻率曲線，其相應的分布參數，作為總體分布參數的估計值。

第六十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（1）點繪經驗點據縱坐標為變量值，橫坐標為經驗頻率，采用期望值公式估計。

（2）初定一組參數用矩法公式的估算EX和CV，并假定CS與CV的比值K估算CS

。

（3）根據初定的EX、CV和CS，計算頻率曲線，并繪在點有經驗點據的圖上。若與經驗點據配合不理想，則修改參數再次配線，主要調整CV以及CS

。

（4）選擇一條與經驗點據配合最佳曲線作為采用曲線。該曲線的參數看作總體參數的估計值。

計算步驟：

第六十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日為了避免修改參數的盲目性，需要了解參數對頻率曲線的影響。

由頻率曲線圖可明顯看出，CV值愈大，曲線愈陡；當CS增大時，曲線上段變陡而下段趨于平緩。

配線法采用了概率格紙，以正態(tài)分布曲線成直線來劃分概率坐標的。當CS＝0，頻率曲線在概率紙上為一直線。其特點是橫坐標的兩端分格較稀而中間較密，縱坐標為均勻分格或對數分格。這樣，曲線兩端的坡度變緩，使用起來比較方便。

第六十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日某站年降水量頻率計算表

某站共有實測降水量資料24年，求頻率為10%和90%的年降水量。

（1）將原始資按大小次序排列，列入表（4）欄。

（2）按期望值公式計算經驗頻率，列入表（5）欄。并將X與P對應點繪于概率格紙上。

第六十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（3）用矩法計算系列的多年平均降水量和離差系數。

第六十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（4）選定CV＝0.30，并假定CS＝2CV＝0.60查表3-2得φP，求得xP

＝（φPCV＋1），如表（3）欄。根據表中（1）、（3）兩欄的對應數值點繪曲線，發(fā)現(xiàn)曲線頭部和尾部都偏于經驗頻率點據之下。

（5）改變參數，重新配線。因為曲線頭尾部偏低，故需增大CS，CV＝0.30不變，CS＝3CV＝0.90，查算出各xP值，列入表（4）、（5）欄，點繪后曲線的頭部和尾部反而有些偏離，配線仍不理想。

第六十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（6）再次改變參數，第三次配線。把CS稍微調小一些。選定CV＝0.30，CS＝2.5CV＝0.75，查表計算出各xP值，列入表（6）、（7）欄中。繪制頻率曲線，該線與經驗點據配合較好，取為最后采用的頻率曲線。

（7）求得p＝10%的年降水量為933mm，p＝90%的年降水量為433mm。

第七十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第七十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日頻率曲線選配計算表第七十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第七十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

適線法得到的成果仍具有抽樣誤差，而這種誤差目前還難以精確估算，因此對于工程上最終采用的頻率曲線及相應的統(tǒng)計參數，不僅要從水文統(tǒng)計方面分析，而且還要密切結合水文現(xiàn)象的物理成因及地區(qū)規(guī)律進行綜合分析。第七十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一、相關關系的概念1．相關的意義與應用

按數理統(tǒng)計法建立上述兩個或多個隨機變量之間的聯(lián)系，稱之為相關關系。把對這種關系的分析和建立稱為相關分析。

水文上用相關分析可以延長和插補短系列,使水文資料滿足代表性要求。

相關分析第七十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第七十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第七十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第七十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日3．相關分析的內容

（1）判定變量間是否存在相關關系，若存在，計算其相關系數，以判斷相關的密切程度；

（2）確定變量間的數量關系――回歸方程或相關線；

（3）根據自變量的值，預報或延長、插補倚變量的值，并對該估值進行誤差分析。

第七十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日二、直線相關

1．相關圖解法

設xi

和yi

代表兩系列的觀測值，共有n對，把對應值點繪于方格紙上，如果相關點的平均趨勢近似直線，即可通過點群中間及（，）點繪出相關直線,說明變量x與y為線性相關,滿足方程：

y＝a＋bx

第八十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日某

流

域

年

降

雨

徑

流

資

料

年份年雨量X年徑流Y19542014136219551211728195617281369195711576951958125772019591029534196013067781961102933719621316809196313569291964126679619651052383第八十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第八十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日2．相關計算法

為避免相關圖解法在定線上的任意性，常采用相關計算法來確定相關線的方程，即回歸方程。直線相關方程的形式為:y=a+bx

式中x

――自變量；

y

――倚變量；

a、b―待定常數。

第八十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第八十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第八十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第八十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第八十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第八十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日若以y求x，則要應用x倚y的回歸方程。x倚y的回歸方程為：

一般y倚x與x倚y的兩回歸線并不重合，但有一個公共交點（）。第八十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日某流域年降雨徑流資料年份年雨量X年徑流Y19542014136219551211728195617281369195711576951958125772