工程力學力系的平衡條件和平衡方程

工程力學力系的平衡條件和平衡方程第一頁，共八十九頁，2022年，8月28日

受力分析的最終的任務是確定作用在構件上的所有未知力，作為對工程構件進行強度設計、剛度設計與穩(wěn)定性設計的基礎。

本章將在平面力系簡化的基礎上，建立平衡力系的平衡條件和平衡方程。并應用平衡條件和平衡方程求解單個構件以及由幾個構件所組成的系統(tǒng)的平衡問題，確定作用在構件上的全部未知力。此外本章的最后還將簡單介紹考慮摩擦時的平衡問題。

“平衡”不僅是本章的重要概念，而且也工程力學課程的重要概念。對于一個系統(tǒng)，如果整體是平衡的，則組成這一系統(tǒng)的每一個構件也平衡的。對于單個構件，如果是平衡的，則構件的每一個局部也是平衡的。這就是整體平衡與局部平衡的概念。第3章

力系的平衡條件與平衡方程

第二頁，共八十九頁，2022年，8月28日3

平面任意力系的平衡條件與平衡方程4

簡單的剛體系統(tǒng)平衡問題5

考慮摩擦時的平衡問題

6

結論與討論第3章

力系的平衡條件與平衡方程

2

平面力偶系的平衡條件與平衡方程1

平面匯交力系的平衡條件與平衡方程第三頁，共八十九頁，2022年，8月28日在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點與第一力的起點重合，此時的力多邊形稱為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉，這是平衡的幾何條件。1平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示為：第四頁，共八十九頁，2022年，8月28日[例1]

已知壓路機碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉過h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對障礙物的壓力。①選碾子為研究對象②取分離體畫受力圖解：

∵當碾子剛離地面時NA=0,拉力F最大,這時拉力F和自重及支反力NB構成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故第五頁，共八十九頁，2022年，8月28日由作用力和反作用力的關系，碾子對障礙物的壓力等于23.1kN。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。F=11.5kN,NB=23.1kN所以又由幾何關系：第六頁，共八十九頁，2022年，8月28日1平面匯交力系的平衡方程

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在作用面內兩個任選的坐標軸上投影的代數和等于零。上式稱為平面匯交力系的平衡方程。第七頁，共八十九頁，2022年，8月28日[例2]

已知P=2kN求SCD,RA解:

1.取AB桿為研究對象2.畫AB的受力圖3.列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；4.解方程第八頁，共八十九頁，2022年，8月28日2平面力偶系的平衡條件所謂力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數和等于零，即思考：從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？PORM第九頁，共八十九頁，2022年，8月28日[例3]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為,求工件的總切削力偶矩和A、B端水平反力?解:各力偶的合力偶矩為根據平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性質，力NA與力NB組成一力偶。第十頁，共八十九頁，2022年，8月28日[例4]圖示結構，已知M=800N.m，求A、C兩點的約束反力。第十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日3平面任意力系的平衡條件和平衡方程3.1平衡條件平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。即第十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程3.2平衡方程即：平面任意力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在其作用面內兩個任選的坐標軸上投影的代數和分別等于零，所有各力對任一點之矩的代數和等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。由于所以第十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日解：以剛架為研究對象，受力如圖。解之得：例1例1求圖示剛架的約束反力。APabqAPqFAyFAxMA第十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日例2例2求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對象，受力如圖。解之得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx第十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日懸臂式吊車結構中AB為吊車大梁，BC為鋼索，A、處為固定鉸鏈支座，B處為鉸鏈約束。已知起重電動電動機E與重物的總重力為FP(因為兩滑輪之間的距離很小，FP可視為集中力作用在大梁上)，梁的重力為FQ。已知角度θ=30o。

求：1.電動機處于任意位置時，鋼索BC所受的力和支座A處的約束力；2.分析電動機處于什么位置時，鋼索受力最大，并確定其數值。例題3

解：

1．分析受力建立Oxy坐標系。

A處約束力分量為FAx和FAy；鋼索的拉力為FTB。第十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日

解：

2．建立平衡方程第十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日

解：

3．討論

由結果可以看出，當x＝l，即電動機移動到吊車大梁右端B點處時，鋼索所受拉力最大。鋼索拉力最大值為

第十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日(1)二矩式其中A、B兩點的連線AB不能垂直于投影軸x。由后面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡。再加第一條件，若AB連線不垂直于x軸(或y軸），則力系必平衡。3.3平衡方程的其它形式FR′BxA第十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日(2)三矩式其中A、B、C三點不能在同一條直線上。注意：以上格式分別有三個獨立方程，只能求出三個未知數。

由前面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡，再加第三條件，力系只能簡化為過A、B、C三點的一合力或處于平衡，若三點不在同一直線上，則力系必平衡。第二十頁，共八十九頁，2022年，8月28日例3例4懸臂吊車如圖所示。橫梁AB長l＝2.5m，重量P＝1.2kN，拉桿CB的傾角a＝30°，質量不計，載荷Q＝7.5kN。求圖示位置a＝2m時拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。第二十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日例3解：取橫梁AB為研究對象。ABEHPQFTFAyFAxaa從(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出第二十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日例3CABEHPQFTFAyFAxaa如果取B矩心列平衡方程得有效的方程組合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,4,5;1,3,4；2,4,5；2,3,5;3,4,5再取C為矩心列平衡方程得第二十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日

力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱平面平行力系。平面平行力系作為平面任意力系的特殊情況，當它平衡時，也應滿足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標，則∑Fx＝0自然滿足。于是平面平行力系的平衡方程為：平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式：其中AB連線不能與各力的作用線平行。3.5平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn第二十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日[例5]已知：塔式起重機P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如圖。求：①保證滿載和空載時不致翻倒，平衡塊Q=？②當Q=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的反力？ 第二十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日限制條件：解：⑴首先考慮滿載時，起重機不向右翻倒的Q：②空載時，W=0由限制條件為：解得因此保證空、滿載均不倒，Q應滿足如下關系：解得:第二十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日⑵求當Q=180kN，滿載W=200kN時，NA,NB為多少由平面平行力系的平衡方程可得：

解得：第二十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日4簡單的剛體系統(tǒng)平衡問題

實際工程結構大都由兩個或兩個以上構件通過一定約束方式連接起來的系統(tǒng)，因為在工程靜力學中構件的模型都是剛體，所以，這種系統(tǒng)稱為剛體系統(tǒng)(systemofrigiditybodies)。

前幾章中，實際上已經遇到過一些簡單剛體系統(tǒng)的問題，只不過由于其約束與受力都比較簡單，比較容易分析和處理。

分析剛體系統(tǒng)平衡問題的基本原則與處理單個剛體的平衡問題是一致的，但有其特點，其中很重要的是要正確判斷剛體系統(tǒng)的靜定性質，并選擇合適的研究對象。第二十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。外界物體作用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內各物體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內力。當整個系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內每個物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當研究物體系統(tǒng)的平衡時，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個物體。4簡單的剛體系統(tǒng)平衡問題第二十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日在靜力學中求解物體系統(tǒng)的平衡問題時，若未知量的數目不超過獨立平衡方程數目，則由剛體靜力學理論，可把全部未知量求出，這類問題稱為靜定問題。若未知量的數目多于獨立平衡方程數目，則全部未知量用剛體靜力學理論無法求出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。而總未知量數與總獨立平衡方程數之差稱為靜不定次數。4簡單的剛體系統(tǒng)平衡問題第三十頁，共八十九頁，2022年，8月28日

靜不定問題在強度力學（材力,結力,彈力）中用位移諧調條件來求解。靜定（未知數三個）

靜不定（未知數四個）第三十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日判斷各圖的超靜定次數第三十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日例5例5求圖示三鉸剛架的支座反力。解：先以整體為研究對象，受力如圖?？山獾茫篊BqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy第三十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日例5再以AC為研究對象，受力如圖。解得：FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF第三十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日例6例6求圖示多跨靜定梁的支座反力。解：先以CD為研究對象，受力如圖。再以整體為研究對象，受力如圖。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD第三十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日例7例7求圖示結構固定端的約束反力。解：先以BC為研究對象，受力如圖。再以AB部分為研究對象，受力如圖。求得CBqFAMbaaFBMCBFCF'BFAyqFBAMAFAx第三十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日例題8結構由桿AB與BC在B處鉸接而成。結構A處為固定端，C處為輥軸支座。結構在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若q、l、M等均為已知，試求A、C二處的約束力。第三十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日解：1.整體平衡根據整體結構的受力圖(為了簡便起見，當取整體為研究對象時，可以在原圖上畫受力圖)，可列平衡方程

第三十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日先考察BC桿的平衡，由

求得

解：2.局部平衡第三十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日代入整體的平衡方程第四十頁，共八十九頁，2022年，8月28日解：4.討論上述分析過程表明，考察剛體系統(tǒng)的平衡問題，局部平衡對象的選擇并不是唯一的。正確選擇平衡對象，取決于正確的受力分析與正確地比較獨立的平衡方程數Ne和未知量數Nr。

此外，本例中，主動力系的簡化極為重要，處理不當，容易出錯。例如，考察局部平衡時，即系統(tǒng)拆開之前，先將均勻分布載荷簡化為一集中力FP，FP=2ql。系統(tǒng)拆開之后，再將力FP按下圖所示分別加在兩部分桿件上。請讀者自行分析，圖中的受力分析錯在哪里？

第四十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日梯子不滑倒的最大傾角θ5考慮摩擦時的平衡問題

第四十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日鋼絲不滑脫的最大直徑5考慮摩擦時的平衡問題

第四十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日夾紙器的最小傾角5考慮摩擦時的平衡問題

第四十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日夾持器的最小傾角5考慮摩擦時的平衡問題

第四十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日磨削工具利用摩擦力5考慮摩擦時的平衡問題

第四十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日磨削工具利用摩擦力5考慮摩擦時的平衡問題

第四十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日利用摩擦力錨緊泊船5考慮摩擦時的平衡問題

第四十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日摩擦的類別：干摩擦—固體對固體的摩擦。流體摩擦—流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力。①滑動摩擦——由于物體間相對滑動或有相對滑動趨勢引起的摩擦。滾動摩擦——由于物體間相對滾動或有相對滾動趨勢引起的摩擦。②5考慮摩擦時的平衡問題

第四十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日當兩個相互接觸的物體具有相對滑動或相對滑動趨勢時，彼此間產生的阻礙相對滑動或相對滑動趨勢的力，稱為滑動摩擦力。摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對滑動的趨勢或相對滑動的方向相反，它的大小根據主動力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動摩擦力，最大靜滑動摩擦力和動滑動摩擦力。若僅有滑動趨勢而沒有滑動時產生的摩擦力稱為靜滑動摩擦力；若存在相對滑動時產生的摩擦力稱為動滑動摩擦力。5考慮摩擦時的平衡問題

第五十頁，共八十九頁，2022年，8月28日在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，該物體在重力P和法向反力FN的作用下處于靜止狀態(tài)。今在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，當拉力F由零值逐漸增加但不很大時，物體仍保持靜止?？梢娭С忻鎸ξ矬w除法向約束反力FN外，還有一個阻礙物體沿水平面向右滑動的切向力，此力即靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力，常以FS表示，方向向左，如圖。FNPFNPFSF5考慮摩擦時的平衡問題

第五十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日靜摩擦力的大小隨水平力F的增大而增大，這是靜摩擦力和一般約束反力共同的性質。靜摩擦力又與一般約束反力不同，它并不隨力F的增大而無限度地增大。當力F的大小達到一定數值時，物塊處于將要滑動、但尚未開始滑動的臨界狀態(tài)。這時，只要力F再增大一點，物塊即開始滑動。當物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時，靜摩擦力達到最大值，即為最大靜滑動摩擦力，簡稱最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再繼續(xù)增大，但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動。這就是靜摩擦力的特點；5.1靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力FNPFSF第五十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日綜上所述可知，靜摩擦力的大小隨主動力的情況而改變，但介于零與最大值之間，即

由實驗證明：最大靜滑動摩擦力的大小與兩物體間的法向反力的大小成正比，即：這就是靜滑動摩擦定律。式中fs稱為靜滑動摩擦系數。5.2靜摩擦定律（庫侖摩擦定律）靜摩擦系數的大小需由實驗測定。它與接觸物體的材料和表面情況(如粗糙度、溫度和濕度等)有關，而與接觸面積的大小無關。第五十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日5.3考慮摩擦的平衡問題考慮摩擦時，求解物體平衡問題的步驟與前幾章所述大致相同，但有如下的幾個特點：(1)分析物體受力時，必須考慮接觸面間切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的數目；(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補充方程，即Fs≤fsFN，補充方程的數目與摩擦力的數目相同；(3)由于物體平衡時摩擦力有一定的范圍(即0≤Fs≤fsFN)，所以有摩擦時平衡問題的解亦有一定的范圍，而不是一個確定的值。工程中有不少問題只需要分析平衡的臨界狀態(tài)，這時靜摩擦力等于其最大值，補充方程只取等號。有時為了計算方便，也先在臨界狀態(tài)下計算，求得結果后再分析、討論其解的平衡范圍。第五十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日

解:1)物塊在自重作用下即將下滑，受力圖為：建立如圖坐標系，列平衡方程有xyFN解得

這個角度稱為靜摩擦角例1將重為P的物塊放在斜面上，斜面傾角，已知靜摩擦系數為f,問1)斜面的傾角增到多少時物塊將下滑？2)當時若加一水平力使物塊平衡，求力的范圍。第五十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日

2)物塊上加一水平力如圖以物塊為研究對象，當物塊處于向下滑動的臨界平衡狀態(tài)時，受力如圖，建立如圖坐標。聯(lián)立求解得：第五十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日當物塊處于向上滑動的臨界平衡狀態(tài)時，受力如圖，建立如圖坐標。聯(lián)立求解得：故力應滿足的條件為：第五十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日梯子的上端B靠在鉛垂的墻壁上，下端A擱置在水平地面上。假設梯子與墻壁之間為光滑約束，而與地面之間為非光滑約束。已知：梯子與地面之間的摩擦因數為fs；梯子的重力為W。1．設梯子在傾角1的位置保持平衡，求:A、B二處約束力FNA、FNB和摩擦力FA；2．若使梯子不致滑倒，求:傾角的范圍。例題2第五十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日解:

1.梯子在傾角1的位置保持平衡時的約束力

這種情形下，梯子的受力如圖示。其中將摩擦力FA作為一般的約束力，假設其方向如圖示。于是有

由此解得

第五十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日解:

1.梯子在傾角1的位置保持平衡時的約束力

由此解得

所得FA的結果為負值，表明梯子下端所受的摩擦力與圖中所假設的方向相反。

第六十頁，共八十九頁，2022年，8月28日這種情形下，摩擦力FA的方向必須根據梯子在地上的滑動趨勢預先確定，不能任意假設。解:

2.求梯子不滑倒的傾角的范圍

平衡方程和物理方程分別為

第六十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日解:

2.求梯子不滑倒的傾角的范圍

聯(lián)立，不僅可以解出A、B二處的約束力，而且可以確定保持梯子平衡時的臨界傾角由常識可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡時梯子對地面的傾角范圍為

第六十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日6結論與討論求解剛體系統(tǒng)平衡問題需要注意的幾個問題

正確地進行直觀判斷，提高定性分析能力空間力系特殊情形下的平衡方程摩擦角與自鎖的概念

求解超靜定問題的方法簡述受力分析的重要性

第六十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日讀者從本章關于單個剛體與簡單剛體系統(tǒng)平衡問題的分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問題成敗的重要部分，只有當受力分析正確無誤時，其后的分析才能取得正確的結果。初學者常常不習慣根據約束的性質分析約束力，而是根據不正確的直觀判斷確定約束力。

錯在哪里？6結論與討論第六十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日讀者從本章關于單個剛體與簡單剛體系統(tǒng)平衡問題的分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問題成敗的重要部分，只有當受力分析正確無誤時，其后的分析才能取得正確的結果。初學者常常不習慣根據約束的性質分析約束力，而是根據不正確的直觀判斷確定約束力。

錯在哪里？6結論與討論第六十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日

根據剛體系統(tǒng)的特點，分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問題時，注意以下幾方面是很重要的：

認真理解、掌握并能靈活運用“系統(tǒng)整體平衡，組成系統(tǒng)的每個局部必然平衡”的重要概念。

要靈活選擇研究對象

所謂研究對象包括系統(tǒng)整體、單個剛體以及由兩個或兩個以上剛體組成的子系統(tǒng)。靈活選擇其中之一或之二作為研究對象，一般應遵循的原則是：盡量使一個平衡方程中只包含一個未知約束力，不解或少解聯(lián)立方程。

求解剛體系統(tǒng)平衡問題需要注意的幾個問題

第六十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日注意區(qū)分內約束力與外約束力、作用與反作用力。

內約束力只有在系統(tǒng)拆開時才會出現，故而在考察整體平衡時，無需考慮內約束力，也無需畫出內約束力。當同一約束處有兩個或兩個以上剛體相互連接時，為了區(qū)分作用在不同剛體上的約束力是否互為作用與反作用力，必須對相關的剛體逐個分析，分清哪一個剛體是施力體，哪一個是剛體受力體。

注意對主動分布載荷進行等效簡化考察局部平衡時，分布載荷可以在拆開之前簡化，也可以在拆開之后簡化。要注意的是，先簡化、后拆開時，簡化后合力加在何處才能滿足力系等效的要求。

第六十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日干摩擦時的摩擦力－摩擦角關于摩擦角的兩點結論：

摩擦角是靜摩擦力取值范圍的幾何表示。

三維受力狀態(tài)下，摩擦角變?yōu)槟Σ铃F。摩擦角與自鎖的概念第六十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日自鎖及其應用WyWxFFNW斜面上剛性塊的運動趨勢第六十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日自鎖及其應用－斜面上剛性塊的運動趨勢WyWxFFN坡度很小時，剛性塊不滑動第七十頁，共八十九頁，2022年，8月28日自鎖及其應用－斜面上剛性塊的運動趨勢WyWxFFN坡度增加到一定數值以后，剛性塊滑動第七十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日自鎖及其應用－斜面上剛性塊的運動趨勢WyWxFFN坡度增加到一定數值時，剛性塊處于臨界狀態(tài)第七十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日不僅斜面與物塊系統(tǒng)具有這種現象，考察平面－物塊系統(tǒng)的運動趨勢：自鎖及其應用FQFQ第七十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日主動力作用線位于摩擦角范圍內時，不管主動力多大，物體都保持平衡，這種現象稱為自鎖。自鎖及其應用第七十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日主動力作用線位于摩擦角范圍以外時，不管主動力多小，物體都將發(fā)生運動。自鎖及其應用第七十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日主動力作用線與法線之間的夾角等于摩擦角時物體處于臨界狀態(tài)。自鎖及其應用第七十六頁，共八十九頁，2022年，8月28