高二物理競賽自由電子論在解釋熱力學(xué)特性時的局限課件

自由電子論在解釋熱力學(xué)特性時的局限

比熱和溫度線性關(guān)系低溫下比熱與溫度的線性關(guān)系對堿金屬很好成立，但對貴金屬成立不好，對過渡金屬偏差更大（Fe,Mn，理論值偏小），對Bi和At來說，理論值偏大。b.比熱和溫度關(guān)系中的三次方項自由電子論模型中，比熱和溫度時線性關(guān)系。但是，在大低溫溫區(qū)，金屬的比熱和溫度關(guān)系以三次方項主導(dǎo)。Sommerfeld模型對三次方項的預(yù)言符號不對，而且數(shù)值僅僅為實驗值的百萬分之一。

自由電子論在解釋熱力學(xué)特性時的局限a.Wiedemann-Franz定律這一定律是自由電子論的極大成功。在較高溫度（室溫）和很低的溫度（絕對零度附近幾度），Wiedemann-Franz定律很好成立。但是在中等溫度，/T依賴于溫度。b.直流電導(dǎo)率自由電子論無法解釋直流電導(dǎo)率依賴于溫度。也不能解釋直流電導(dǎo)各向異性。a.傳導(dǎo)電子數(shù)目根據(jù)自由電子論，金屬的電導(dǎo)率電子密度n，但為什么電子密度較大的二價金屬（如Be、Mg、Zn、Cd等）和三價金屬（如Al、In等）的電導(dǎo)率反而低于一價金屬（如Cu、Ag、Au等）？如何確定對電導(dǎo)率有貢獻(xiàn)的價電子數(shù)目？b.非導(dǎo)體所有的原子都有價電子，為什么有的材料是不導(dǎo)電的非導(dǎo)體（絕緣體）。此外：自由電子論不能解釋為什么電子的平均自由程會比相鄰原子間距大得多（如Cu：300K時，310－8m；而4.2K時，310－3m）；自由電子論認(rèn)為金屬費(fèi)米面的形狀為球面，但是，實驗結(jié)果表明，在通常情況下，金屬費(fèi)米面的形狀都不是球面。

上述自由電子論的這些局限以及其他困難，是因為沒有考慮材料晶格的貢獻(xiàn)，也沒有考慮電子與晶格的相互作用。自由電子論是一個過分簡單的理論，可通過把晶格的作用加入，以及考慮電子與晶格之間的相互作用來解決自由電子論的困難。自由電子近似把電子考慮成自由電子，固體中離子的作用非常有限，只是在輸運(yùn)過程中，電子在離子上有瞬時的碰撞，不對模型貢獻(xiàn)其它作用。獨(dú)立電子近似忽略電子－電子之間的相互作用。弛豫時間近似不考慮碰撞的具體機(jī)制，用一個唯象的弛豫時間參數(shù)描述碰撞。為了考慮如何修正自由電子論，考慮所涉及的基本假設(shè)。看看我們哪個假設(shè)是模型過分簡單。獨(dú)立電子近似:

很多時候是一個很好的近似，在固體物理大部分內(nèi)容里，這個近似不需要更多的修正。需要修正的一個例子，BCS機(jī)制超導(dǎo)電性，不可能用獨(dú)立電子近似的單電子模型描述超導(dǎo)體體中的電子，就像無法用單原子模型描述氧氣的行為（盡管氧氣原則上可看成原子組成的氣體）。弛豫時間近似：盡管這個近似忽略了有關(guān)碰撞的所有細(xì)節(jié)，但仍然是一個很普適的近似。實際上，弛豫時間近似所涉及的基本假設(shè)都存在問題，例如一個電子的碰撞行為絕對不是獨(dú)立的，因為受到泡利不相容原理的約束，碰撞后的電子絕對不可能被散射到一個已經(jīng)被占據(jù)的態(tài)。對于散射機(jī)制的細(xì)致分析會給出更多的東西，如散射對溫度的依賴；半導(dǎo)體中電子和空穴有不同的散射幾率，即有不同的弛豫時間；不同能帶中電子散射幾率也不同；雜質(zhì)的散射和聲子的散射不同等。自由電子近似：自由電子近似是一個過分簡化的近似，它忽略掉了許多重要的事實：除去散射一瞬之外，離子對電子的作用被忽略了。實際上我們知道，離子對電子的庫侖相互作用不但一直存在，而且不是短程的。b.離子對電子的具體散射機(jī)制并不清楚。c.沒有考慮離子本身對一些物理現(xiàn)象的可能貢獻(xiàn)，如比熱，熱導(dǎo)率等。在電場和磁場同時存在時，單電子滿足的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動方程dtdpv

e(Evv

Bv)

P在穩(wěn)態(tài)情況下，dp/dt=0，在前述的配置下，BBz

k,vvxi,vy

vz

0計及P=m*v,J=-nevx zyyxy y zx

v B )

0m*m* m*v

e

(Ev

e

(E

v B )

e

EzxBnejEy

vx

Bz

neHR

1表明，對于電子載流子，Hall系數(shù)為負(fù)，且與電子密度成反比。同理可得，載流子為空穴時，Hall系數(shù)為RH

1pe表明，對于空穴載流子，Hall系數(shù)為正，且與空穴密度成反比。Hall效應(yīng)常被用來實驗測量載流子濃度和判斷載流子類型。思考：兩種載流子同時存在時Hall

系數(shù)的變化？dtd

pv

e(Ev

v

Bv)

P電子回旋共振在電場和磁場同時存在時，單電子滿足的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動方程僅有磁場存在時，且略去電子散射時dtdp

ev

Bv1、在k空間中運(yùn)動圖像p=

hk.

波矢的變化總是*垂直于B方向，若B在z方向，則k·B=0

,dk/dt=0, k=const.*垂直于z方向，dk/dt·v(k)=0, dE(k)/dt=0磁場作用下自由電子在k空間中的運(yùn)動軌道自由電子：等能面 球面；

軌道 圓T

dkdk /

dt eB

c

2

/

T

eB /

m

2mBloch電子：*c

eB/

mdt h

1 evB sin

dk 2

k sin dk2.

在實空間中的運(yùn)動圖象在實空間中，電子的運(yùn)動軌跡為一螺旋線。對于自由電子：hk=

mv如設(shè)磁場沿z

軸方向，有yxdvx

eB

vmdtdvy

eB

vdt mdvz

0dt磁場作用下，電子在實空間中的運(yùn)動軌跡。解為vx

v0cos0tvy

v0sin0tvz

const.{00v2m

v2

v2x y

eB實空間中電子的運(yùn)動圖象：沿磁場方向（z方向），電子作勻速運(yùn)動，在垂直于磁場的平面內(nèi)，電子作勻速圓周運(yùn)動?；剞D(zhuǎn)頻率：0m

eB對于

Bloch

的電子{dt??

m

??dv

?

1 ?

FF=ev

B在主軸坐標(biāo)系中有xyzx y zdvydvxdvzdtdt

dtmm

m

1 F

,

1 F

,

1 F若磁場方向取在z軸方向，B＝Bk，即可寫出其相應(yīng)的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動方程。yxxydvxdtdvydtdvzdtmm

eB

v

eB

v

0eBdti

tv

i

v

i0

e c22d2

vi

( ) vm

*

ii=x,yc

eB

m*vz

const.沿磁場方向作勻速直線運(yùn)動垂直于磁場方向作圓周運(yùn)動螺旋（回旋）運(yùn)動Beh訊號電子回旋共振若外加一頻率為的交變電場時，當(dāng)c時，電子回旋與電場同步，電子吸收電場能量達(dá)到極大，這種現(xiàn)象稱為電子回旋共振。從量子理論的觀點(diǎn)，電子吸收了電場的能量，相當(dāng)于實現(xiàn)了電子在朗道能級間的躍遷。測量回旋共振的頻率0

，即可算出電子（或空穴）的有效質(zhì)量m*。0m

eB電子回旋共振不僅可以測量載流子的有效質(zhì)量m*

，還可以根據(jù)出射波的偏振方向來判斷電場的能量是被電子還是被空穴吸收的。電子回旋共振被廣泛地用來測定半導(dǎo)體導(dǎo)帶底電子或價帶頂空穴的有效質(zhì)量，研究其能帶結(jié)構(gòu)。在半導(dǎo)體的導(dǎo)帶底或價帶頂附近