自動控制原理根軌跡

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念4-2根軌跡繪制的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)性能的分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

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1根軌跡法的基本概念C(s)R(s)-20j-20jG(s)C(s)R(s)H(s)第二節(jié)繪制根軌跡的基本法則2、根軌跡的對稱性：一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其根必為實根或共軛復(fù)根。即位于復(fù)平面的實軸上或?qū)ΨQ于實軸。

用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點的關(guān)系，根軌跡的特殊點，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對參數(shù)的180度根軌跡的性質(zhì)。1、根軌跡的連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益的函數(shù)。當(dāng)從0到無窮變化時，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。4、根軌跡的起點和終點：

根軌跡方程為：時為起點，時為終點。3、根軌跡的支數(shù)：

n階特征方程有n個根。當(dāng)從0到無窮大變化時，n個根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。當(dāng)時，只有時，上式才能成立。而是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，所以根軌跡起始于開環(huán)極點。n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點，分別是n支根軌跡的起點。

我們稱系統(tǒng)有n-m個無限遠零點。有限值零點加無窮遠零點的個數(shù)等于極點數(shù)。

那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠呢？當(dāng)時，①，上式成立。是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點，有m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在m個有限零點處。②若n>m，那么剩余的n-m個終點在哪里呢？在無窮遠處。由根軌跡方程知：當(dāng)時5.根軌跡的漸近線：若開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時趨向無窮遠處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠的方位可由漸近線決定。由根軌跡方程可得：式中，當(dāng)Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為兩邊開n-m次方利用二項式定理當(dāng)時，，令，設(shè)s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根據(jù)代數(shù)定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可寫為這是與實軸交點為s，斜率為的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為5.根軌跡的漸近線：漸近線包括兩個內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。傾角：設(shè)根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到的相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得：規(guī)定：相角逆時針為正，順時針為負。漸近線與實軸的交點假設(shè)根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有開環(huán)有限零點和極點到的矢量長度都相等?？梢哉J為：對無限遠閉環(huán)極點而言，所有的開環(huán)有限零點、極點都匯集在一起，其位置為，這就是漸近線與實軸的交點。幅值條件[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定根軌跡支數(shù)，起點和終點。若終點在無窮遠處，求漸近線與實軸的交點和傾角。[解]：根軌跡有3支。起點為開環(huán)極點無有限值零點，所以三支根軌跡都趨向無窮遠。漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸的傾角：零極點分布和漸近線（紅線）如圖所示。6、實軸上的根軌跡：

實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。[證明]：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點p1、p2，復(fù)平面上有一對共軛極點p3、p4和一對共軛零點z1、z2。先看試驗點s1點：所以s1點滿足根軌跡相角條件，于是[－p2,－p1]為實軸上的根軌跡。②成對出現(xiàn)的共軛零點z1、z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°；③試探點左邊的極點p2對試探點構(gòu)成的向量的相角為0°；④試探點右邊的極點p1對試探點構(gòu)成的向量的相角為180°；再看s2點：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。①成對出現(xiàn)的共軛極點p3、p4對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°；同樣s3點也不是根軌跡上的點。[例4-3]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實軸上的根軌跡。[解]：零極點分布如下：紅線所示為實軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“”表示。7、根軌跡的會合點和分離點：若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點出發(fā)的兩支根軌跡，隨著的增大在實軸上A點相遇再分離進入復(fù)平面。隨著的繼續(xù)增大，又在實軸上B點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當(dāng)時，一支根軌跡終止于另一支走向。A、B點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。一般說來，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點；如果實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮遠零點）之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。[分離點和會合點的求法]：由重根法，求極值法和作圖法等。①重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：即[分離角]：在分離點或會合點上，根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角。與相分離的根軌跡的支數(shù)l有關(guān)：因閉環(huán)特征方程為：設(shè)時，特征方程有重根，則必同時滿足由此得：即：注意：由上式可求得的點是分離點和會合點必要條件，還需求出這些點對應(yīng)的增益，若增益為大于零的實數(shù)，則所求出的點為分離會合點。②極值法：若以Kg為縱坐標(biāo)，以實軸為橫坐標(biāo)，在根軌跡的分離點和會合點上，Kg具有極值。即③求分離回合點的另一個公式設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：因閉環(huán)特征方程為：即閉環(huán)特征方程為重根時還滿足[例4-4]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位置。實軸上根軌跡區(qū)間是：注意：分離點和會合點也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對稱于實軸，所以，復(fù)平面上的分離點和會合點必對稱于實軸。顯然，分離回合點為-0.4725，而-3.5275不是分離回合點。[解]：閉環(huán)特征方程為：8、起始角與終止角

當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點或零點時，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點或進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題,先給出定義如下：

⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處在切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖（a）中的和。

⑵終止角根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖（b）中的和。圖(a)根軌跡的起始角和終止角

圖(b)根軌跡的起始角和終止角

通過例來分析起始角與終止角的大小。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

且和為一對共軛復(fù)數(shù)極點，和分別為實極點和實零點，它們在S平面上的分布如圖所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點和的起始角和。

對于根軌跡上無限靠近p1的點A，由相角條件可得

由于A點無限靠近點，

推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為同理，可得到求終止角的關(guān)系式為8、根軌跡的出射角和入射角：當(dāng)開環(huán)零、極點處于復(fù)平面上時，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點的終止角成為入射角。如圖：圖中有四個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點。為共軛極點，現(xiàn)計算的出射角。設(shè)為。在離開附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應(yīng)滿足相角條件：當(dāng)時，即為離開根軌跡上的出射角，，則：式中：為除了以外的開環(huán)極點到的矢量的相角；為開環(huán)零點到的矢量的相角。同樣，進入復(fù)零點的根軌跡入射角為：式中：為除了以外的開環(huán)零點到的矢量相角；為各開環(huán)極點到的矢量相角。的出射角應(yīng)與的出射角關(guān)于實軸對稱。[例4-5]如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點的出射角。[解]：根據(jù)對稱性，可知點的出射角為：相角要注意符號；逆時針為正，順時針為負；注意矢量的方向。[注意]：9、根軌跡和虛軸的交點：根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益稱為臨界根軌跡增益。交點和

的求法：

在閉環(huán)特征方程中令

，然后使特征方程的實、虛部為零即可求出

和

。

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點和。當(dāng)時，為根軌跡的起點（開環(huán)極點）當(dāng)

時，

，即根軌跡與虛軸的交點為

。方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為：

勞斯陣列中某一行全為零時，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程

的根。1、令，得臨界增益為：2、令，得（開環(huán)極點）。10、閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積：開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：(1)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點為：

，則(2)比較（1）、（2）式得：

當(dāng)n-m>=2時，

即：對于任意的

，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，為常數(shù)。表明：當(dāng)

變化時，部分閉環(huán)極點在復(fù)平面上向右移動（變大），則另一些極點必然向左移動（變?。?。

閉環(huán)極點之積為：

根據(jù)上述10個性質(zhì)（或準(zhǔn)則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準(zhǔn)確起見，可以用相角條件試探之。當(dāng)有為零的開環(huán)極點：根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開環(huán)極點和零點，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點；六、根軌跡的分離點、會合點；結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點和終點，閉環(huán)極點與閉環(huán)極點之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將代入得為復(fù)數(shù)。⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這兩點都在根軌跡上，所以都是分離會合點。例已知開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制K由時的閉環(huán)根軌跡。解：1、根軌跡分支數(shù)：42、實軸上的根軌跡：（－20，0）3、漸近線：4、根軌跡的起始角5、分離點d6、根軌跡與虛軸的交點

小結(jié)

需掌握繪制根軌跡的十個準(zhǔn)則根軌跡的連續(xù)性和對稱性；根軌跡的支數(shù)、起始點和漸進線；根軌跡實軸上的點和根軌跡的分離點，會合點；根軌跡的出射角、入射角和虛軸的交點；閉環(huán)極點之積和之和。4－3廣義根軌跡廣義根軌跡：（1）參數(shù)根軌跡--除開環(huán)增益K以外的參數(shù)變化；（2）開環(huán)傳遞函數(shù)中零點個數(shù)多于極點個數(shù)時的根軌跡；（3）零度根軌跡。一、參數(shù)根軌跡---開環(huán)增益K以外的參數(shù)變化時的閉環(huán)根軌跡1、引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)概念其中A為除K以外任意變化的參數(shù)，P(s)和Q(s)是與變化的參數(shù)A無關(guān)的首一多項式，得到等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)2、作時的根軌跡。C(s)R(s)_C(s)R(s)_C(s)R(s)_系統(tǒng)Ⅰ系統(tǒng)Ⅱ系統(tǒng)Ⅲ例1設(shè)位置隨動系統(tǒng)如圖示。系統(tǒng)Ⅰ為比例控制系統(tǒng)，系統(tǒng)Ⅱ為比例－微分控制系統(tǒng)，系統(tǒng)Ⅲ為測速反饋控制系統(tǒng)，表示微分器時間常數(shù)。試分析對系統(tǒng)性能的影響。解：系統(tǒng)Ⅱ和Ⅲ具有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)，即但閉環(huán)傳遞函數(shù)是不相同的，即但兩者具有相同的閉環(huán)極點。兩者的閉環(huán)特征方程為可改寫為構(gòu)造了一個新系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖為C(s)R(s)_新系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制參量根軌跡的步驟：

列出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程；以特征方程中不含參變量的各項除特征方程，得等效的系統(tǒng)根軌跡方程。該參量稱為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。用已知的方法繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制以時間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡。

解⑴系統(tǒng)的特征方程是或用去除等式兩邊得令

則有

我們稱為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中，除時間常數(shù)T取代了普通根軌跡中開環(huán)根軌跡增益的位置外，其形式與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)完全一致，這樣便可根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。⑵系統(tǒng)特征方程的最高階次是3，由規(guī)則一和規(guī)則二知，該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對稱于實軸的根軌跡，根軌跡的終點(T=∞)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個零點，即；本例中，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點數(shù)m=3,極點數(shù)n=2，即m＞n。我們在前面已經(jīng)指出，這種情況在實際物理系統(tǒng)中一般不會出現(xiàn)，然而在繪制參數(shù)根軌跡時，其等效開環(huán)傳遞函數(shù)卻常常出現(xiàn)這種情況。與n＞m情況類似，這時我們認為有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠處（無限極點）。因此，本例的三條根軌跡的起點(T=0)分別為，和無窮遠處（無限極點）。由規(guī)則三知，實軸上的根軌跡是實軸上-1至-∞線段。由規(guī)則六可求出兩個等效開環(huán)復(fù)數(shù)極點的起始角分別為

由規(guī)則七可求出根軌跡與虛軸的兩個交點，用代入特征方程得由此得到虛部方程和實部方程分別為解虛部方程得的合理值為，代入實部方程求得秒，所以為根軌跡與虛軸的兩個交點。時間常數(shù)時：系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，T>1時：根軌跡在S平面右半部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。二、零度根軌跡在下面兩種情況下，繪制根軌跡要按零度根軌跡繪制法則：（1）非最小相位系統(tǒng)中包涵s最高次冪的系數(shù)為負的因子；（2）正反饋系統(tǒng)。根軌跡方程為幅值方程與常規(guī)根軌跡相同，而相角方程不同，因為繪制零度根軌跡時，要對常規(guī)根軌跡的部分法則作修改：法則3實軸上的根軌跡應(yīng)為：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。法則4漸近線的交角應(yīng)為：法則5根軌跡的起始角和終止角應(yīng)為：例單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡。解：1、根軌跡的分支數(shù)：3開環(huán)極點：開環(huán)零點：2、實軸上的根軌跡段：3、漸近線：4、起始角：4、分離點坐標(biāo)：利用模值方程三、系統(tǒng)中有兩個參數(shù)同時變化時的根軌跡例單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其中K可自行選定。試分析時間常數(shù)T對系統(tǒng)性能的影響。解：閉環(huán)特征方程為

四、附加開環(huán)零點的作用例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為其中z1為附加的開環(huán)實數(shù)零點。

例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)以上兩幅圖，附加零點分別為－3、－1，從穩(wěn)定性來看：（b)優(yōu)于（a）從動態(tài)性能來看：（a)優(yōu)于(b)。（a）圖：主導(dǎo)極點可為共軛復(fù)數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)可近似為一個二階振蕩系統(tǒng)；（b）圖：閉環(huán)主導(dǎo)極點為實數(shù)極點，系統(tǒng)等價為一階系統(tǒng)。第五章線性系統(tǒng)的頻率法分析頻率特性的基本概念頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析本章主要內(nèi)容

考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。有時也用正弦波輸入時系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個頻率正弦波輸入時的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦波輸入下所對應(yīng)的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計系統(tǒng)的一個既方便又有效的工具。頻域法是利用頻率特性研究自動控制系統(tǒng)的一種古典方法，它有如下特點1)應(yīng)用Nyquist(奈奎斯特)穩(wěn)定性判據(jù)，可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而不必求特征方程的根。2)對于二階系統(tǒng)，頻率響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)之間有確定的對應(yīng)關(guān)系，而高階系統(tǒng)也存在類似的關(guān)系。因為系統(tǒng)的頻率特性與系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)之間有著密切關(guān)系，所以可以利用研究頻率特性的方法，把系統(tǒng)的參數(shù)、結(jié)構(gòu)變化和瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)之間聯(lián)系起來。3)頻率特性有明確的物理意義，很多元件的這一特性都可以用實驗的方法確定，這對難于分析其物理規(guī)律來列出微分方程的元部件和系統(tǒng)，有很重要的工程實際意義。4)頻率特性分析法不僅適用于線性系統(tǒng)，而且可以推廣到某些非線性系統(tǒng)。5)當(dāng)系統(tǒng)在某些頻率范圍存在著嚴(yán)重噪聲時，應(yīng)用頻率法，可以設(shè)計出能夠很好抑制這些噪聲的系統(tǒng)。5.2頻率特性一.頻率特性的基本概念

RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

輸入信號輸出信號系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出定義：RC網(wǎng)絡(luò)幅頻特性RC網(wǎng)絡(luò)相頻特性將s以j代入RC網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，即得RC網(wǎng)絡(luò)頻率特性RC電路的這一特性，對于任何穩(wěn)定的線性網(wǎng)絡(luò)都成立

雖然在前面的分析中，設(shè)定輸入信號是正弦信號，然而頻率特性是系統(tǒng)的固有特性，與輸入信號無關(guān)，即當(dāng)輸入為非正弦信號時，系統(tǒng)仍然具有自身的頻率特性。頻率特性定義為輸出量的Fourier變換與輸入量的Fourier變換之比，即頻率特性的定義：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點。若：則：拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時：式中，分別為：而式中：Rm、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動了。

和都是頻率的函數(shù)。定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性；定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性；

幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量 ，它也是的函數(shù)。稱為頻率特性。這里和分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。

還可將寫成復(fù)數(shù)形式，即由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學(xué)上是等價的。頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：[結(jié)論]：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)從另一方面，若線性系統(tǒng)在正弦信號輸入作用下，在穩(wěn)態(tài)情況下，輸入輸出都是正弦函數(shù)，可用矢量表示：可見，頻率特性就是輸出、輸入正弦函數(shù)用矢量表示時之比。表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。是頻率域中的數(shù)學(xué)模型。[例子]：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：頻率響應(yīng)法的優(yōu)點之一在于它可以通過實驗量測來獲得，而不必推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。事實上，當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時，常用的方法是利用對該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。此外，在驗證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時，也往往用它所對應(yīng)的頻率特性同測試結(jié)果相比較來判斷。頻率響應(yīng)法的優(yōu)點之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中有非常重要的作用。頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也就無法由實際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但從理論上動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實驗方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個:

一、解析法當(dāng)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，用代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性G(jω)。因此，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。這種通過傳遞函數(shù)確定頻率特性的方法是求取頻率特性的解析法。

二、實驗法當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)建立，尚不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時，在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號，測出不同頻率時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅頻特性和相頻特性。這種通過實驗確定系統(tǒng)頻率特性的方法是求取頻率特性的實驗法。工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1．極坐標(biāo)圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部為縱坐標(biāo)，以為參變量的幅值與相位的圖解表示法。2．對數(shù)坐標(biāo)圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以為橫坐標(biāo)，對數(shù)分度，分別以和作縱坐標(biāo)的一種圖示法。3．對數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。它是以相位為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，以為參變量的一種圖示法。二、頻率特性的表示方法：頻率特性可以寫成復(fù)數(shù)形式：，也可以寫成指數(shù)形式：