高中數(shù)學北師大版第二章解析幾何初步單元測試 學業(yè)分層測評2

學業(yè)分層測評(二十一)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．直線2x－y＋3＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定【解析】圓C：x2＋(y－1)2＝5的圓心C為(0,1)，半徑為eq\r(5).由圓心(0,1)到直線2x－y＋3＝0的距離d＝eq\f(|－1＋3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2,5)eq\r(5)<eq\r(5)，∴直線和圓相交．【答案】A2．已知圓x2＋y2－2kx－2y＝0與直線x＋y＝2k相切，則k等于()A．2 B．－2C．1 D．－1【解析】圓的方程可化為(x－k)2＋(y－1)2＝1＋k2，由eq\f(|k＋1－2k|,\r(2))＝eq\r(1＋k2)得k＝－1.故選D.【答案】D3．若PQ是圓x2＋y2＝9的弦，且PQ的中點是(1,2)，則|PQ|＝()A．2B．4C．8D．10【解析】設PQ的中點A(1,2)，圓心O(0,0)，連接OA，則OA⊥PQ，在Rt△OAP中，PA＝eq\r(r2－OA2)＝eq\r(9－5)＝2，∴PQ＝2×2＝4.【答案】B4．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值為()A．－2 B．－4C．－6 D．－8【解析】由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圓心為(－1,1)，半徑r＝eq\r(2－a).圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up21(2)得2－a＝2＋4，所以a＝－4.【答案】B5．已知圓x2＋y2－4x＋2y＋c＝0與y軸交于A，B兩點，圓心為P，若∠APB＝90°，則c的值為()A．－3 B．3C．8 D．－2eq\r(2)【解析】配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，圓心是點P(2，－1)，半徑r＝eq\r(5－c)，點P到y(tǒng)軸的距離為2.當∠APB＝90°時，弦心距、半徑和半弦長構成等腰直角三角形，所以eq\f(2,\r(5－c))＝eq\f(\r(2),2)，得c＝－3.【答案】A二、填空題6．直線ax＋by＋b－a＝0與圓x2＋y2－x－3＝0的位置關系是________．【解析】直線方程化為a(x－1)＋b(y＋1)＝0，過定點(1，－1)，代入圓的方程，左側小于0，則定點在圓內，所以直線與圓總相交．【答案】相交7．直線y＝kx＋3與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，|MN|≥2eq\r(3)，則k的取值范圍是________．【解析】因為|MN|≥2eq\r(3)，所以圓心(1,2)到直線y＝kx＋3的距離不大于eq\r(22－\r(3)2)＝1，即eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))≤1，解得k≤0.【答案】k≤08．已知圓C與直線x－y＝0及x－y＝4都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為____________．【解析】設圓心為點C(a，－a)，由點到直線的距離公式得eq\f(|2a|,\r(2))＝eq\f(|2a－4|,\r(2))，解得a＝1，所以圓心為(1，－1)，半徑為eq\r(2)，圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2三、解答題9．求實數(shù)m的取值范圍，使直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿足：(1)相交；(2)相切；(3)相離.【導學號：10690065】【解】圓的方程化為標準式為(x－3)2＋y2＝4，故圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圓的半徑r＝2.(1)若相交，則d<r，即eq\f(6,\r(m2＋1))<2，所以m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2)；(2)若相切，則d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2)；(3)若相離，則d>r，即eq\f(6,\r(m2＋1))>2，所以－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).10．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2eq\r(7)，求圓C的方程．【解】設圓心坐標為(3m，m)．∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，∴圓心到直線y＝x的距離為eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關系，得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.[能力提升]1．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)的位置是()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內 D．以上都不對【解析】由直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交知，eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，即a2＋b2>1，可知點P(a，b)在圓外，故選B.【答案】B2．由直線y＝x－1上的一點向圓C：x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長的最小值為()A．1 \r(2)\r(3) D．2【解析】圓C：(x－3)2＋y2＝1的圓心C(3,0)，半徑為1，P在直線x－y－1＝0上．切線PQ⊥CQ(Q為切點)，則切線長|PQ|＝eq\r(|PC|2－|QC|2)＝eq\r(|PC|2－1).|PC|的最小值為點C到直線x－y－1＝0的距離eq\f(|3－0－1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|PQ|最小值＝eq\r(\r(2)2－1)＝1.【答案】A3．直線x＋y＋a＝0(a＞0)與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，且S△OAB＝eq\r(3)，則a＝________.【解析】∵圓心到直線x＋y＋a＝0的距離d＝eq\f(|a|,\r(2))，|AB|＝2×eq\r(4－\f(a2,2))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(4－\f(a2,2))×eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(3)，解得a2＝6或a2＝2.又a＞0，∴a＝eq\r(6)或eq\r(2).【答案】eq\r(6)或eq\r(2)4．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求證不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點；(2)求直線被圓C截得的弦長最小時的l的方程．【解】(1)證明：因為l的方程為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1