高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程 一等獎(jiǎng)

15．函數(shù)與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解函數(shù)零點(diǎn)的含義，理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系．2．了解連續(xù)函數(shù)存在零點(diǎn)的判斷方法．3．掌握二次方程根的分布與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系．4．會(huì)用二分法求方程的近似解，理解這程方法的實(shí)質(zhì)．5．體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的__________2．方程的根、函數(shù)的圖象與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象__________函數(shù)有__________．3．函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是__________的一條曲線，并且有__________那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)__________零點(diǎn)，即存在，使得__________，這個(gè)也就是方程的根．4．二分法的概念對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且__________的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間__________，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)__________進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的__________5．給定精確棄，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值步驟（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證__________給定精確度；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)，__________；（3）計(jì)算：①若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若，則令（此時(shí)零點(diǎn)__________）；③若，則令（此時(shí)零點(diǎn)__________）；（4）判斷是否達(dá)到精確度：即若__________，則得到零點(diǎn)近似值（或）；否則重復(fù)．題型一 求函數(shù)的零點(diǎn) 題型二 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 題型三 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在大致區(qū)間題型四 二分法的概念 題型五 求函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的近似解1．設(shè)，則（）A． B． C． D．．2．下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是（）3．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)必定在（）內(nèi)，其中．A． B． C． D．4．已知函數(shù)的一些函數(shù)值的近似值如右表，則方程的實(shí)數(shù)解屬于區(qū)間（）0．51．251．5的近似值1．733．955．20A． B． C． D．5．（1）方程的解得個(gè)數(shù)是__________；（2）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為__________．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．什么叫函數(shù)的零點(diǎn)？方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)有何關(guān)系？2．參看課本，請(qǐng)敘說連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法，此方法能否判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？3．對(duì)于方程，我們有兩種研究此類方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的方法：（1）令，則方程根就是函數(shù)的零點(diǎn)，我們只需研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．（2）分別畫出的圖象，則方程的根就是函數(shù)圖象點(diǎn)的橫坐標(biāo)，我們只需要研究函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．兩種方法各有用途，談?wù)勀愕捏w會(huì)．我們研究零點(diǎn)的近似值時(shí)一般用哪種方法？4．對(duì)于下列方程，你如何研究數(shù)解的個(gè)數(shù)？（1）； （2）．5．二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若滿足下列條件，則系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？你能和“零點(diǎn)存在性定理”解釋嗎？設(shè)則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線．方程兩根的分布函數(shù)的圖象應(yīng)滿足的條件用零點(diǎn)存在性定量解釋拋物線開口向上，必存在，又，又，由定理知在使，同樣，在使，于是存在使．6．二次方程在閉區(qū)間有實(shí)數(shù)，下列哪個(gè)是其等價(jià)條件？設(shè)．（1）在的最大值為，最小值為，有且．（2）．7．一元二次方程在閉區(qū)間有且只有一實(shí)數(shù)根，下列哪個(gè)是其等價(jià)條件？（設(shè)）．（1）分兩種情況：①；②，且．（2）分三種情況：①；②在內(nèi)僅有或僅有③,且．（3）①，且；②，且．8．利用“二分法”，我們可以尋找方程在區(qū)間上的近似解，而且可以不斷提高精確度，參看課本，請(qǐng)你簡(jiǎn)述利用“二分法”求方程在區(qū)間上的近似解的算法步驟，并思考“二分法”中的數(shù)學(xué)思想方法．想一想1．函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎？2．若在在有零點(diǎn)，一定有嗎？3．用二分法是否可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值？1．方程根的情況（）A．僅有一根 B．有兩正根 C．有一正根和一負(fù)根 D．有兩負(fù)根【答案】C．【解析】畫出函數(shù)與圖象知，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),并且一個(gè)在軸左側(cè)，一個(gè)在軸右側(cè)，所以方程有一正根，一負(fù)根．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A． B． C．和 D．【答案】B．【解析】將各個(gè)選項(xiàng)的端點(diǎn)分別代入，看其是否滿足．對(duì)于，且函數(shù)在上是增函數(shù)函數(shù)在內(nèi)無函數(shù)零點(diǎn)．排除A．對(duì)于B，，在內(nèi)函數(shù)有零點(diǎn)．選B．3．若方程的兩個(gè)根分別在和之間，則的取值范圍是__________．【答案】．【解析】令．則函數(shù)圖象如圖所示，的取值范圍是．4．利用計(jì)算器，用二分法求方程的近似解（精確度）．【解析】，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)．用計(jì)算器作出函數(shù)的對(duì)應(yīng)值表（如下）：01234567-6-2310214075142觀察表格，可知，說明在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有零點(diǎn)，設(shè)為；取區(qū)間的中點(diǎn)，用計(jì)算器可得，所以；再取的中點(diǎn)，用計(jì)算器求得，所以，繼續(xù)這個(gè)過程，可得，，由于，所以就是原方程精確度為的一個(gè)近似解．三、能力提升能力闖關(guān)1．已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．若，．則（）A． B．C． D．2．(2023年山東)已知函數(shù)（，且）．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，則__________．3．已知關(guān)于的方程，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求方程的根；（2）當(dāng)時(shí)，求證：方程有一個(gè)根在0和1之間．拓展遷移1．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則系數(shù)應(yīng)滿足（）A． B． C． D．2．（1）（2023年北京）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則數(shù)的取值范圍是__________．（2）設(shè)函數(shù)方程有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．挑戰(zhàn)極限1．已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．課程小結(jié)1．給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟是：（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)；（3）求算，判斷：①若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若，則令，此時(shí)零點(diǎn)；③若，則令，此時(shí)零點(diǎn)（4）判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到近似值（或否判里復(fù)）（2）（4）．2．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，最好是將計(jì)算過程中所得到的各個(gè)區(qū)間、中點(diǎn)坐標(biāo)、區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值等列在一個(gè)表格中，這樣可以更清楚地發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)所在區(qū)間．3．當(dāng)函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)時(shí)，才能采用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．4．在判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及零點(diǎn)所在的大致區(qū)間時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合的思想來完成，有時(shí)可先考慮一下相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，必須知道在一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)．5．研究方程的實(shí)數(shù)根時(shí)，既可以通過研究函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)來處理，又可以通過研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)來處理，請(qǐng)認(rèn)真體會(huì)兩種方法．6．處理二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題，一般使用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，利用函數(shù)值的正負(fù)及對(duì)稱軸的位置來控制實(shí)數(shù)根的位置．

15．函數(shù)與方程基礎(chǔ)梳理1．零點(diǎn)．2．與軸有交點(diǎn)，零點(diǎn)．3．連續(xù)不斷，，有，．4．，一分為二，逐步逼近零點(diǎn)，近似解．5．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．．【解析】．∵，∴．2．．【解析】利用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)，要求零點(diǎn)是圖象穿過軸形成的零點(diǎn)，即零點(diǎn)左右附近的函數(shù)值異號(hào)，圖象不能滿足此條件，因此不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)．3．．【解析】只需檢查區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值是否異號(hào)即可，∵，，所以答案滿足要求．4．．【解析】設(shè)，則所以函數(shù)的零點(diǎn)屬于區(qū)間．所以正確答案為．5．（1）1；（2）2．【解析】（1），顯然函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）方程，令，畫出它們的圖象，容易看出恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故方程有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．自主探究1．【解析】對(duì)于函數(shù)，我們稱使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．這樣，函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．因而研究函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為研究方程的根．2．【解析】如果函數(shù)在閉區(qū)間上圖象是連續(xù)不斷的，且，則函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)．上述方法只回答了在一定條件下，可以判斷函數(shù)零點(diǎn)存在，在此條件下并不能判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．另一方面，上述方法的條件即使不滿足，函數(shù)在區(qū)間上仍可能存在零點(diǎn)．3．【解析】第（1）種使用更加普遍，一方面，方法（1）的本質(zhì)是研究曲線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以利用“零點(diǎn)存在性定理”．第（2）種方法多用在判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相反時(shí)，容易看出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但它們的單調(diào)性一致時(shí)，很容易出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤，例如方程在部分，在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，這是因?yàn)楹瘮?shù)與在部分有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，通過畫圖，不容易看出．4．【解析】（1）用函數(shù)零點(diǎn)分析較好．令，顯然單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在定義域有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且這個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間中．（2）用函數(shù)圖象交點(diǎn)分析較好，令，畫出函數(shù)圖象，容易看出：或時(shí)，兩圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有且只有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解；時(shí)，兩圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)，方程有且只有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解；時(shí)，兩圖象有且只有四個(gè)交點(diǎn)，方程有且只有四個(gè)不同實(shí)數(shù)解．5．【解析】（1）結(jié)果已在表中體現(xiàn)．（2）．理由如下：一方面，由且得且．又，∴存在．拋物線開口向上，故存在且．又，∴存在．另一方面，當(dāng)時(shí)，可得．（同學(xué)認(rèn)真思考）（3）．理由如下：一方面，由且得且，又，∴存在，又，，∴存在．另一方面，當(dāng)時(shí)，可得．（4）當(dāng)．6．【解析】（1）是正確的．（2）的問題在于漏掉了在上有兩個(gè)不等的實(shí)根的情形．說明：方法（1）利用了“零點(diǎn)存在性定理”，即連續(xù)函數(shù)在“有正有負(fù)必有零”，有正意味著，有負(fù)意味著，從而將問題轉(zhuǎn)化為求閉區(qū)間上的最大值、最小值的問題．7．【解析】（2）是正確的．（1）（3）的問題在于時(shí)，可能存在．8．【解析】利用“二分法”求方程在區(qū)間上的近似解的算法步驟如下：第一步：畫出函數(shù)圖象，確定的大致位置，如果，則可以確定方程在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解：第二步：計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值，如果，則可以確定方程在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解；否則可以確定方程在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解；第三步：針對(duì)新的區(qū)間，重復(fù)第二步，我們就可以不斷縮小有解區(qū)間長(zhǎng)度，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度足夠小時(shí)，停止計(jì)算，就以最后一次有解區(qū)間中的任意一點(diǎn)作為近似解即可（一般選擇區(qū)間中點(diǎn)作為近似解）．從上述過程可以看出，二分法求方程近似解的過程實(shí)際上是一個(gè)無限分割（區(qū)間）思想與無限逼近思想（無限縮小有解區(qū)間長(zhǎng)度），利用這種思想，我們就可以處理很多不可解代數(shù)方程，這種解法的缺點(diǎn)是計(jì)算量很大，但是我們可以把計(jì)算交給計(jì)算機(jī)來處理，所以這里的思想方法才是最有價(jià)值的．想一想1．函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)．2．不一定，這必須根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)變化，如在內(nèi)有零點(diǎn)，但．3．不一定．能力闖關(guān)1．．【解析】方法一：，容易證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，∴，故選．方法二：分別畫出的圖象，再觀察．2．【解析】方法一：易知是遞增函數(shù)，而，，，故．方法二：分別作出函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，再判斷交點(diǎn)的位置．3．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴∴原方程為，解得．（2）當(dāng)時(shí)，．方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，．∴，故有一個(gè)根在和之間．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，∴∴有一個(gè)根在和之間．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，有一根為，滿足有一個(gè)根在和之間．綜上所述必有一個(gè)根在和之間．拓展遷移1．．【解析】令，則，先畫出函數(shù)的圖象，如右圖，可以看出：當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程恰有四個(gè)不同實(shí)數(shù)解，且均不等于；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解．所以關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，一根為正實(shí)數(shù)，另一根為，∴，選．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）畫出的圖象如右．（2）∵時(shí)，恒有，∴函數(shù)在上圖象完全相同，于是根據(jù)題設(shè)，我們?nèi)菀桩嫵龊瘮?shù)的圖象（如右圖）．上下平行移動(dòng)直線，設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)為直線，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)為直線，