高中數(shù)學蘇教版3第一章計數(shù)原理（全國一等獎）

章末綜合測評(一)計數(shù)原理(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在題中橫線上)1．將(x－q)(x－q－1)(x－q－2)…(x－19)寫成Aeq\o\al(m,n)的形式是________．【解析】由式子的形式可知(x－q)為最大因子，共有20－q個因式連乘，故(x－q)(x－q－1)(x－q－2)…(x－19)＝Aeq\o\al(20－q,x－q).【答案】Aeq\o\al(20－q,x－q)2．(a1＋a2)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)的展開式中有________項．【解析】要得到項數(shù)分3步：第1步，從第一個因式中取一個因子，有2種取法；第2步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；第3步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法．由分步計數(shù)原理知共有2×3×4＝24項．【答案】243．某人有3個不同的電子郵箱，他要發(fā)5封電子郵件，不同的發(fā)送方法有________種．【解析】每封電子郵件都有3種發(fā)送方式，共有35種不同的發(fā)送方法．【答案】354．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法共有________種．【解析】這是一個元素不相鄰問題，采用插空法，Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,4)＝24.【答案】245．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))n的展開式中的常數(shù)項是第7項，則正整數(shù)n的值為________．【解析】T7＝Ceq\o\al(6,n)·(2x3)n－6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))6＝Ceq\o\al(6,n)·2n－6·x3n－24.由3n－24＝0，得n＝8.【答案】86．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為________．【解析】x(1＋x)6的展開式中x3項的系數(shù)與(1＋x)6的展開式中x2項的系數(shù)相同，故其系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)＝15.【答案】157．若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))7的展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是84，則實數(shù)a＝________.【導學號：29440033】【解析】展開式中含eq\f(1,x3)的項是T6＝Ceq\o\al(5,7)(2x)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))5＝Ceq\o\al(5,7)22a5x－3，故含eq\f(1,x3)的項的系數(shù)是Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.【答案】18．若Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn能被7整除，則x，n的值可能為________．(填序號)①x＝4，n＝3；②x＝4，n＝4；③x＝5，n＝4；④x＝6，n＝5.【解析】∵Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn＝(1＋x)n－1，結合①②③④可知，僅有③符合題意．【答案】③9．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1,2號中至少有1名新隊員的排法有________種(用數(shù)字作答)．【解析】(1)當有1名老隊員時，其排法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；(2)當有2名老隊員時，其排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝12(種)，∴共有36＋12＝48(種)．【答案】4810．(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為________．【解析】法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項為T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的項為Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5.所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.法二：(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝30.【答案】3011．一條街上有8盞燈，為節(jié)約用電，晚上只開5盞燈，且規(guī)定相鄰的燈不能都不亮，兩頭的燈都要亮，那么不同的亮燈方案有________種.【解析】在亮著的5盞燈間有4個空檔，選3個空檔放3個不亮的燈，有Ceq\o\al(3,4)種方法．【答案】412．從正方體ABCDA1B1C1D1【解析】在正方體中，6個面和6個對角面上的四個點不能構成四面體，故共有Ceq\o\al(4,8)－12＝58個不同的四面體．【答案】5813．某省高中學校自實施素質(zhì)教育以來，學生社團得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學打算參加“春暉文學社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為________．【解析】設五名同學分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況：(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有Ceq\o\al(1,4)種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個社團中，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種方法，這時共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種參加方法；(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有Ceq\o\al(2,4)種方法，甲與丁、戊分配到其他三個社團中有Aeq\o\al(3,3)種方法，這時共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種參加方法．綜合(1)(2)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(種)參加方法．【答案】180種14．將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個數(shù)為ai(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，則不同的排列方法有________種．(用數(shù)字作答)【解析】第一類：a1＝2時，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6，共有2Aeq\o\al(3,3)＝12(種)．第二類：a1＝3時，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6，共有2Aeq\o\al(3,3)＝12(種)．第三類：a1＝4時，a3＝5，a5＝6，共有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)．所以總的排列方法有12＋12＋6＝30(種)．【答案】30二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分14分)將5個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有多少種？【導學號：29440034】【解】就編號為1的盒子中所放的球的個數(shù)分類：第一類，當編號為1的盒子中放入一個球時，相應的放法數(shù)有Ceq\o\al(1,5)＝5種；第二類，當編號為1的盒中放入2個球時，相應的放法數(shù)有Ceq\o\al(2,5)＝10種；第三類，當編號為1的盒子中放入3個球時，相應的放法數(shù)有Ceq\o\al(3,5)＝10種．根據(jù)分類計數(shù)原理可知，滿足題意的放法種數(shù)是5＋10＋10＝25.16．(本小題滿分14分)男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男3名，女2名；(2)隊長至少有1人參加；(3)至少有1名女運動員；(4)既要有隊長，又要有女運動員．【解】(1)Ceq\o\al(3,6)×Ceq\o\al(2,4)＝120種不同的選派方法．(2)分為兩類：僅1名隊長參加和兩人都參加：共Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196種不同的選派方法．(3)全部選法中排除無女運動員的情況：共Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(5,6)＝204種不同的選法．(4)分三類：①僅女隊長：Ceq\o\al(4,8)；②僅男隊長：Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)；③兩名隊長：Ceq\o\al(3,8)；∴共Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,8)＝191種不同的選派方法．17．(本小題滿分14分)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o\al(2x,n)，,C\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)C\o\al(x－1,n)，))試求x，n的值．【解】∵Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(n－x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，∴n＝3x.由Ceq\o\al(x＋1,n)＝eq\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，得eq\f(n！,x＋1！n－x－1！)＝eq\f(11,3)·eq\f(n！,x－1！n－x＋1！)，整理得3(x－1)！(n－x＋1)?。?1(x＋1)！(n－x－1)！，3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.將n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，∴x＝5，n＝3x＝15.18．(本小題滿分16分)利用二項式定理證明：49n＋16n－1(n∈N*)能被16整除．【證明】49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1＝Ceq\o\al(0,n)·48n＋Ceq\o\al(1,n)·48n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·48＋Ceq\o\al(n,n)＋16n－1＝16(Ceq\o\al(0,n)·3×48n－1＋Ceq\o\al(1,n)·3×48n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·3＋n)．所以49n＋16n－1能被16整除．19．(本小題滿分16分)設(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即為含x6項的系數(shù)，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(2x)10－r·(－1)r＝Ceq\o\al(r,10)(－1)r210－r·x10－r，所以當r＝4時，T5＝Ceq\o\al(4,10)(－1)426x6＝13440x6，即a6＝13440.20．(本小題滿分16分)設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1＝Ceq\o\al(3m,2m＋3)·Aeq\o\al(1,m－2)，公比q是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x2)))4的展開式中的第二項．(1)用n，x表示通項an與前n項和Sn；(2)若An＝Ceq\o\al(1,n)S1＋Ceq\o\al(2,n)S2＋…＋Ceq\o\al(n,n)Sn，用n，x表示An.【解】(1)因為a1＝Ceq\o\al(3m,2m＋3)·Aeq\o\al(1,m－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋3≥3m，,m－2≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤3，,m≥3，))所以m＝3，所以a1＝1.又由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x2)))4知T2＝Ceq\o\al(1,4)·x4－1·eq\f(1,4x2)＝x，所以an＝xn－1，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n，x＝1，,\f(1－xn,1－x)，x≠1.))(2)當x＝1時，Sn＝n，An＝Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋3Ceq\o\al(3,n)＋…＋nCeq\o\al(n,n).①又因為An＝nCeq\o\al(n,n)＋(n－1)Ceq\o\al(n－1,n)＋(n－2)Ceq\o\al(n－2,n)＋…＋Ceq\o\al(1,n)＋0·Ceq\