北師大版高中數(shù)學必修第二冊第六章測試題及答案

北師大版高中數(shù)學必修第二冊第六章測試題及答案(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)1.下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是()①圓柱;②六棱錐;③正方體;④球體;⑤四面體.A.①④ B.②③ C.①③ D.②④2.已知在邊長為1的菱形ABCD中,A=π3,則用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為(A.32 B.34 C.66 3.設正方體的表面積為24,那么其外接球的體積是()A.43π B.C.43π D.323π4.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,有以下四個命題:①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正確的命題是()A.①② B.③④ C.②④ D.①③5.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()A.(60+42)π B.(60+82)πC.(56+82)π D.(56+42)π6.《算數(shù)書》竹簡于20世紀80年代在湖北省張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍,其中記載有求“禾蓋”的術:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式V≈136L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈7264L2h相當于將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為(A.15750 B.258 C.237 7.若將一個真命題中的“平面”換成“直線”,“直線”換成“平面”后仍是真命題,則該命題稱為“可換命題”,下列四個命題:①垂直于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線的兩直線平行;④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是()A.①③ B.③④ C.①② D.①④8.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M為AC的中點,沿BM把它折成二面角,折后A與C的距離為1,則二面角C-BM-A的大小為()A.30° B.60° C.90° D.120°二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)9.下列四個命題中,是真命題的有()A.若直線a,b互相平行,則直線a,b確定一個平面B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行C.若兩條直線沒有公共點,則這兩條直線是異面直線D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面10.l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題不正確的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面11.如圖,在棱長均相等的四棱錐P-ABCD中,O為底面正方形的中心,M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點,下列結(jié)論正確的是()A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直線PD與直線MN所成角的大小為90°D.ON⊥PB12.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點,則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為9D.點C與點G到平面AEF的距離相等三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.圓柱的高是8cm,表面積是130πcm2,則它的底面圓的半徑等于cm,圓柱的體積是cm3.

14.如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a?β,a⊥AB,則直線a與直線l的位置關系是.

15.如圖,在四面體P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,則PC=.

16.學生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)在三棱錐A-BCD中,E,H分別是線段AB,AD的中點,F,G分別是線段CB,CD上的點,且CFBF=(1)四邊形EFGH是梯形;(2)AC,EF,GH三條直線相交于同一點.18.(12分)如圖,矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直,MB∥NC,MN⊥MB.(1)求證:平面AMB∥平面DNC;(2)若MC⊥CB,求證:BC⊥AC.19.(12分)《九章算術》是我國古代極為豐富的數(shù)學名著,書中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵,將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵ABM-DCP與芻童ABCD-A1B1C1D1的組合體中,∠MAB=90°,AB=AD,A1B1=A1D1.(1)證明:直線BD⊥平面MAC;(2)已知AB=1,A1D1=2,MA=3,且三棱錐A-A1B1D1的體積V=23320.(12分)如圖①所示的等邊△ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E,F分別是AC,BC邊的中點.現(xiàn)將△ABC沿CD折疊,使平面ADC⊥平面BDC,如圖②所示.(1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;(2)求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比.21.(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中點.(1)求異面直線AE與A1C所成角的余弦值;(2)求直線A1C與平面BCC1B1所成角的正切值.22.(12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC=2,BC=23,M,N分別為BC,AB的中點.(1)求證:MN∥平面PAC.(2)求證:平面PBC⊥平面PAM.(3)在AC上是否存在點E,使得ME⊥平面PAC?若存在,求出ME的長;若不存在,請說明理由.第六章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分)1.下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是()①圓柱;②六棱錐;③正方體;④球體;⑤四面體.A.①④ B.②③ C.①③ D.②④答案A2.已知在邊長為1的菱形ABCD中,A=π3,則用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為(A.32 B.34 C.66 解析在菱形ABCD中,AB=1,A=π3,則菱形的面積為S菱形ABCD=2S△ABD=2×12×1×1×sin所以用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖面積為S=24S菱形ABCD=6答案D3.設正方體的表面積為24,那么其外接球的體積是()A.43π B.C.43π D.323π解析設正方體的棱長為a,由題意可知,6a2=24,所以a=2.設正方體外接球的半徑為R,則3a=2R,所以R=3,所以V球=43πR3=43π答案C4.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,有以下四個命題:①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正確的命題是()A.①② B.③④ C.②④ D.①③解析若α∥β,l⊥α,則l⊥β,又m?β,所以l⊥m,故①正確;若α⊥β,l⊥α,m?β,則l與m可能異面,所以②不正確;若l∥m,l⊥α,則m⊥α,又m?β,則α⊥β,所以③正確;若l⊥α,l⊥m,m?β,則α與β可能相交,故④不正確.綜上可知,選D.答案D5.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()A.(60+42)π B.(60+82)πC.(56+82)π D.(56+42)π解析四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體,如圖.S表面=S圓臺下底面+S圓臺側(cè)面+S圓錐側(cè)面=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22=(60+42)π.故選答案A6.《算數(shù)書》竹簡于20世紀80年代在湖北省張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍,其中記載有求“禾蓋”的術:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式V≈136L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈7264L2h相當于將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為(A.15750 B.258 C.237 解析設圓錐的底面半徑為r,則圓錐的底面周長L=2πr,所以r=L2π,所以V=13πr2令L2?12π=7264L2h,得答案D7.若將一個真命題中的“平面”換成“直線”,“直線”換成“平面”后仍是真命題,則該命題稱為“可換命題”,下列四個命題:①垂直于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線的兩直線平行;④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是()A.①③ B.③④ C.①② D.①④解析由“垂直于同一直線的兩個平面平行”知,①是“可換命題”;由“垂直于同一平面的兩平面未必平行”知,②不是“可換命題”;由“平行于同一平面的兩個平面平行”知,③是“可換命題”;由“平行于同一平面的兩直線未必平行”知,④不是“可換命題”.綜上所述,故選A.答案A8.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M為AC的中點,沿BM把它折成二面角,折后A與C的距離為1,則二面角C-BM-A的大小為()A.30° B.60° C.90° D.120°解析如圖,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=2.因為M為A'C的中點,所以MC=AM=22,且CM⊥BM,AM⊥BM所以∠CMA為二面角C-BM-A的平面角.因為AC=1,MC=MA=22,所以∠CMA=90°,故選C答案C二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分)9.下列四個命題中,是真命題的有()A.若直線a,b互相平行,則直線a,b確定一個平面B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行C.若兩條直線沒有公共點,則這兩條直線是異面直線D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面解析C項中,若兩直線無公共點,這兩直線平行或異面.其他選項正確.答案ABD10.l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題不正確的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共點?l1,l2,l3共面解析通過常見的圖形正方體,從同一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直,A錯;因為l1⊥l2,所以l1,l2所成的角是90°,又因為l2∥l3,所以l1,l3所成的角是90°,所以l1⊥l3,B對;例如三棱柱中的三側(cè)棱平行,但不共面,故C錯;例如三棱錐的三側(cè)棱共點,但不共面,故D錯.故選ACD.答案ACD11.如圖,在棱長均相等的四棱錐P-ABCD中,O為底面正方形的中心,M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點,下列結(jié)論正確的是()A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直線PD與直線MN所成角的大小為90°D.ON⊥PB解析連接BD(圖略),顯然O為BD的中點,又N為PB的中點,所以PD∥ON,由線面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正確;由M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點,所以MN∥AB,又底面為正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由線面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由選項A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正確;因為MN∥CD,所以∠PDC為直線PD與直線MN所成的角,又因為所有棱長都相等,所以∠PDC=60°,故直線PD與直線MN所成角的大小為60°,C錯誤;因為底面為正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱長都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正確.故選ABD.答案ABD12.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點,則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為9D.點C與點G到平面AEF的距離相等解析因為AD1∥EF,平面AEF即平面AEFD1,所以AD1∥平面AEFD1,故DD1與AF不垂直,故A錯誤.因為A1G∥D1F,A1G?平面AEFD1,DF?平面AEFD1,所以A1G∥平面AEFD1,故B正確.平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1,易知梯形面積為98,故C正確.點G到平面AEFM的距離即點A1到面AD1F的距離,顯然D錯誤.故選BC答案BC三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.圓柱的高是8cm,表面積是130πcm2,則它的底面圓的半徑等于cm,圓柱的體積是cm3.

解析設圓柱的底面圓的半徑為rcm,則S圓柱表=2πr·8+2πr2=130π.解得r=5,即圓柱的底面圓半徑為5cm.圓柱的體積V=52π×8=200π(cm3).答案5200π14.如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a?β,a⊥AB,則直線a與直線l的位置關系是.

解析因為EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l?α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.因為EB⊥β,a?平面β,所以EB⊥a.又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB,所以a∥l.答案平行15.如圖,在四面體P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,則PC=.

解析取AB的中點E,連接PE,EC.因為PA=PB,所以PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE?平面PAB,所以PE⊥平面ABC.連接CE,所以PE⊥CE.因為∠ABC=90°,AC=8,BC=6,所以AB=27,PE=PACE=BE2+BC2答案716.學生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

解析由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為4×6-4×12×2×3=12(cm2),點O到平面BB1C1C的距離為3cm,則此四棱錐的體積為V1=13×12×3=12(cm3又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9×132=118.8(g).答案118.8四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)在三棱錐A-BCD中,E,H分別是線段AB,AD的中點,F,G分別是線段CB,CD上的點,且CFBF=(1)四邊形EFGH是梯形;(2)AC,EF,GH三條直線相交于同一點.證明(1)因為E,H分別是邊AB,AD的中點,所以EH∥BD,且EH=12BD又因為CFBF=CGDG所以FG∥BD,且FG=13BD,因此EH∥FG且EH≠FG,故四邊形EFGH是梯形(2)由(1)知EF,HG相交,設EF∩HG=K,因為K∈EF,EF?平面ABC,所以K∈平面ABC,同理K∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以K∈AC,故EF和GH的交點在直線AC上.所以AC,EF,GH三條直線相交于同一點.18.(12分)如圖,矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直,MB∥NC,MN⊥MB.(1)求證:平面AMB∥平面DNC;(2)若MC⊥CB,求證:BC⊥AC.證明(1)因為MB∥NC,MB?平面DNC,NC?平面DNC,所以MB∥平面DNC.因為AMND是矩形,所以MA∥DN.又MA?平面DNC,DN?平面DNC,所以MA∥平面DNC.又MA∩MB=M,且MA,MB?平面AMB,所以平面AMB∥平面DNC.(2)因為AMND是矩形,所以AM⊥MN.因為平面AMND⊥平面MBCN,且平面AMND∩平面MBCN=MN,所以AM⊥平面MBCN.因為BC?平面MBCN,所以AM⊥BC.因為MC⊥BC,MC∩AM=M,所以BC⊥平面AMC,因為AC?平面AMC,所以BC⊥AC.19.(12分)《九章算術》是我國古代極為豐富的數(shù)學名著,書中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵,將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵ABM-DCP與芻童ABCD-A1B1C1D1的組合體中,∠MAB=90°,AB=AD,A1B1=A1D1.(1)證明:直線BD⊥平面MAC;(2)已知AB=1,A1D1=2,MA=3,且三棱錐A-A1B1D1的體積V=233(1)證明由題意可知,平面ABM與平面DCP是底面為直角三角形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱,所以AD⊥平面MAB,則AD⊥MA.又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD,AB?平面ABCD,所以MA⊥平面ABCD,所以MA⊥BD.又AB=AD,所以四邊形ABCD為正方形,得BD⊥AC.又MA∩AC=A,MA,AC?平面MAC,則BD⊥平面MAC.(2)解設芻童ABCD-A1B1C1D1的高為h,則三棱錐A-A1B1D1的體積V=13×12×2×2×h=23故該組合體的體積V=12×1×3×1+13(12+22+12×20.(12分)如圖①所示的等邊△ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E,F分別是AC,BC邊的中點.現(xiàn)將△ABC沿CD折疊,使平面ADC⊥平面BDC,如圖②所示.(1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;(2)求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比.解(1)平行.理由如下:因為E,F分別為AC,BC的中點,所以AB∥EF,因為AB?平面DEF,EF?平面DEF,所以AB∥平面DEF.(2)以DA,DB,DC為棱補成一個長方體,則四面體A-DBC的外接球即為長方體的外接球.設球的半徑為R,則a2+a2+3a2=(2R)2,所以R2=54a2于是球的體積V1=43πR3=556π又VA-DBC=13S△DBC·AD=36a3,VE-DFC=13S△DFC·12AD