高中數(shù)學(xué)人教A版第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）對數(shù)函數(shù) 優(yōu)秀作品

第2課時教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能(1)通過實例推導(dǎo)對數(shù)的運算性質(zhì)，準(zhǔn)確地運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行運算、求值、化簡，并掌握化簡求值的技能．(2)運用對數(shù)的運算性質(zhì)解決有關(guān)問題．(3)培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力．培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度．2．過程與方法(1)讓學(xué)生經(jīng)歷并推導(dǎo)出對數(shù)的運算性質(zhì)．(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識．3．情感態(tài)度與價值觀讓學(xué)生感覺對數(shù)運算性質(zhì)的重要性，增加學(xué)生的成功感，增強學(xué)習(xí)的積極性．重點難點重點：對數(shù)運算的性質(zhì)與對數(shù)知識的應(yīng)用．難點：正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))導(dǎo)入新課思路1．上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．對數(shù)的定義．2．指數(shù)式與對數(shù)式的互化．a(chǎn)b＝N?logaN＝b.3．重要性質(zhì)：(1)負數(shù)與零沒有對數(shù)；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)對數(shù)恒等式＝N.下面我們接著講對數(shù)的運算性質(zhì)〔教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算(2)〕．思路2.我們在學(xué)習(xí)指數(shù)的時候，知道指數(shù)有相應(yīng)的運算法則，即指數(shù)運算法則：am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；eq\r(m,an)＝.(a＞0且a≠1)從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對數(shù)都是一種運算，而且它們互為逆運算，對數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內(nèi)容，點出課題：對數(shù)與對數(shù)運算(2)．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))(1)在上節(jié)課中，我們知道，對數(shù)運算可看作指數(shù)運算的逆運算，你能從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運算的性質(zhì)，得出相應(yīng)的對數(shù)運算的性質(zhì)嗎？(2)如我們知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用對數(shù)式運算嗎？(3)在上述(2)的條件下，類比指數(shù)運算性質(zhì)能得出其他對數(shù)運算性質(zhì)嗎？(4)你能否用最簡練的語言描述上述結(jié)論？如果能，請描述.(5)上述運算性質(zhì)中的字母的取值有什么限制嗎？(6)上述結(jié)論能否推廣呢？(7)學(xué)習(xí)這些性質(zhì)能對我們進行對數(shù)運算帶來哪些方便呢？討論結(jié)果：(1)通過問題(2)來說明．(2)若am·an＝am＋n，M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由對數(shù)的定義得到M＝am?m＝logaM，N＝an?n＝logaN，MN＝am＋n?m＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN.因此m＋n可以用對數(shù)式表示．(3)令M＝am，N＝an，則eq\f(M,N)＝am÷an＝am－n，所以m－n＝logaeq\f(M,N).又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝logaeq\f(M,N)，即logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.設(shè)M＝am，則Mn＝(am)n＝amn.由對數(shù)的定義，所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.這樣我們得到對數(shù)的三個運算性質(zhì)：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則有l(wèi)oga(MN)＝logaM＋logaN；①logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；②logaMn＝nlogaM(n∈R)．③(4)以上三個性質(zhì)可以歸納為：性質(zhì)①：兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和；性質(zhì)②：兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；性質(zhì)③：冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)．(5)利用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.(6)性質(zhì)①可以推廣到n個數(shù)的情形：即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1，M2，M3，…，Mn均大于0)．(7)縱觀這三個性質(zhì)我們知道，性質(zhì)①的等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運算．性質(zhì)②的等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算．性質(zhì)③從左往右仍然是降級運算．利用對數(shù)的性質(zhì)①②可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對數(shù)的和、差運算，方便了對數(shù)式的化簡和求值．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)logaeq\f(xy,z)；(2)logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z)).活動：學(xué)生思考觀察，教師巡視，檢查學(xué)生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正．利用對數(shù)的運算性質(zhì)，把整體分解成部分．對(1)logaeq\f(xy,z)，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的和．對(2)logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z))，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對數(shù)的和，最后利用性質(zhì)③，轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)與底數(shù)的對數(shù)的積．解：(1)logaeq\f(xy,z)＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；(2)logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z))＝loga(x2eq\r(y))－logaeq\r(3,z)＝logax2＋logaeq\r(y)－logaeq\r(3,z)＝2logax＋eq\f(1,2)logay－eq\f(1,3)logaz.點評：對數(shù)的運算性質(zhì)實質(zhì)上是把積、商、冪的對數(shù)運算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘的運算．變式訓(xùn)練1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正確的個數(shù)為()①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaeq\f(x,y)＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0B．1C．2D．3答案：A2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正確的個數(shù)為()①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－logaeq\f(1,x)；④eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)；⑤eq\r(n,logax)＝eq\f(1,n)logax；⑥eq\f(1,n)logax＝logaeq\r(n,x)；⑦logaxn＝nlogax；⑧l(xiāng)ogaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).A．3B．4C．5D．6答案：B例2求值：(1)；(2)log3eq\f(1,27).解：(1)解法一：設(shè)，則(eq\r(3))x＝3eq\r(3)＝(eq\r(3))3，所以x＝3.解法二：.(2)解法一：令x＝log3eq\f(1,27)，則3x＝eq\f(1,27)，即3x＝3－3，所以x＝－3.解法二：log3eq\f(1,27)＝log33－3＝－3.例3計算：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(2)eq\f(lg243,lg9)；(3)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg.解：(1)解法一：lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg14－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2＋lg7－lg18＝lgeq\f(14×7,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2×18)＝lg1＝0.(2)eq\f(lg243,lg9)＝eq\f(lg35,lg32)＝eq\f(5lg3,2lg3)＝eq\f(5,2).(3)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg＝＝eq\f(\f(3,2)(lg3＋2lg2－1),lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).點評：此例題體現(xiàn)對數(shù)運算性質(zhì)的綜合運用，應(yīng)注意掌握變形技巧，如(3)題各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系；(2)題要避免錯用對數(shù)的運算性質(zhì)．對數(shù)運算性質(zhì)的靈活運用、運算性質(zhì)的逆用常被學(xué)生所忽視．例4設(shè)x＝log23，求eq\f(23x－2－3x,2x－2－x)的值．活動：學(xué)生思考觀察，教師引導(dǎo)，學(xué)生有困難及時提示并評價學(xué)生的思考過程．本題主要考查對數(shù)的定義及其運算性質(zhì)．先利用對數(shù)的定義求2x，再求23x，從而可求，或先化簡再代入求值．解法一：由x＝log23，得2x＝3，2－x＝eq\f(1,3)，所以eq\f(23x－2－3x,2x－2－x)＝eq\f(33－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3,3－\f(1,3))＝32＋3×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(91,9).解法二：由x＝log23，得2x＝3，2－x＝eq\f(1,3)，所以eq\f(23x－2－3x,2x－2－x)＝eq\f((2x－2－x)(22x＋1＋2－2x),2x－2－x)＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(91,9).eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)第1，2，3題．【補充練習(xí)】1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式：(1)logaeq\f(\r(3,x),y2z)；(2)logaeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(x·\r(4,\f(z3,y2))))；(3)；(4)logaeq\f(xy,x2－y2)；(5)logaeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x＋y,x－y)·y))；(6)logaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y,x(x－y))))3.解：(1)logaeq\f(\r(3,x),y2z)＝logaeq\r(3,x)－logay2z＝eq\f(1,3)logax－(2logay＋logaz)＝eq\f(1,3)logax－2logay－logaz；(2)logaeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(x·\r(4,\f(z3,y2))))＝logax＋logaeq\r(4,\f(z3,y2))＝logax＋eq\f(1,4)(logaz3－logay2)＝logax－eq\f(2,4)logay＋eq\f(3,4)logaz＝logax－eq\f(1,2)logay＋eq\f(3,4)logaz；(3)＝logax＋＋＝logax＋eq\f(1,2)logay－eq\f(2,3)logaz；(4)logaeq\f(xy,x2－y2)＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y)＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)；(5)logaeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x＋y,x－y)·y))＝logaeq\f(x＋y,x－y)＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay；(6)logaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y,x(x－y))))3＝3[logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)．2．已知f(x6)＝log2x，則f(8)等于()A．eq\f(4,3)B．8C．18D．eq\f(1,2)解析：因為f(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以f(8)＝＝eq\f(1,2).另解：因為f(x6)＝log2x＝eq\f(1,6)log2x6，所以f(x)＝eq\f(1,6)log2x.所以f(8)＝eq\f(1,6)log28＝eq\f(1,6)log223＝eq\f(1,2).答案：Deq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))已知x，y，z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求的值．活動：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)．大膽設(shè)想，運用對數(shù)的運算性質(zhì)．由于所求的式子是三項積的形式，每一項都有指數(shù)，指數(shù)中又有對數(shù)，因此想到用對數(shù)的運算性質(zhì)，如果能對所求式子取對數(shù)，那可能會好解決些，故想到用參數(shù)法，設(shè)所求式子的值為t.解：令，則lgt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lgy)＋\f(1,lgz)))lgx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lgz)＋\f(1,lgx)))lgy＋eq\b\lc\(\r