高中數學人教B版第一章立體幾何初步 15

第9課時1.1.7柱、錐、課時目標1.了解祖暅原理．2．掌握柱、錐、臺和球的體積計算公式．3．會利用柱、錐、臺和球的體積公式解決有關幾何體的體積問題．識記強化1．柱體(棱柱、圓柱)的體積公式為V柱體＝Sh，(S為柱體底面積，h為柱體的高)，V圓柱＝πr2h(r為底面半徑，h為圓柱的高)．2．若一個錐體(棱錐、圓錐)的底面積為S，高為h，則它的體積是V錐體＝eq\f(1,3)Sh，若圓錐的底面半徑為r，高為h，則它的體積為V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h.3．若一個臺體上、下底面的面積分別為S′、S，高為h，則它的體積公式為V臺體＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)，若圓臺上、下底面半徑分別為r′、r，高為h，則它的體積為V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)．4．球的半徑為R，則球的體積為V球＝eq\f(4,3)πR3.課時作業(yè)一、選擇題(每個5分，共30分)1．圓柱的側面展開圖是長12cm，寬8cm\f(288,π)cm3\f(192,π)cm3\f(288,π)cm3或eq\f(192,π)cm3D．192πcm3答案：C解析：圓柱的高為8cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))2×8＝eq\f(288,π)cm3.當圓柱的高為12cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))2×12＝eq\f(192,π)cm3.2．已知一個母線長為1的圓錐的側面展開圖的圓心角等于240°，則該圓錐的體積為()\f(2\r(2),81)π\(zhòng)f(8,81)π\(zhòng)f(4\r(5),81)π\(zhòng)f(10,81)π答案：C解析：圓錐的底面圓的周長為eq\f(240°,360°)×2π×1＝eq\f(4,3)π，設底面圓的半徑為r，則有2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，于是圓錐的高h＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(5),3)，故圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(4\r(5),81)π.3.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC的體積為\f(1,4)\f(1,2)\f(\r(3),6)\f(\r(3),4)答案：D解析：VB1—ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×12×3＝eq\f(\r(3),4).4．在棱長為a的正方體中，連接各相鄰面的中心，以這些線段為棱的幾何體是一個正八面體，則該正八面體的體積為()\f(1,3)a3\f(1,4)a3\f(1,6)a3\f(1,12)a3答案：C解析：正八面體可以看成由兩個正四棱錐組合而成，其中正四棱錐的底面邊長為eq\f(\r(2),2)a，高為eq\f(1,2)a，則正八面體的體積V＝2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,6)a3.5．設正三棱柱的外接圓柱體積為V1，內切圓柱體積為V2，則V1：V2的值為()A．2：1B．4：1C．8：1D．9：1答案：B解析：由于這些棱柱的高相等，因此它們的體積比就等于底面積的比，設正三棱柱底面邊長為a，則內切圓半徑為eq\f(\r(3),6)a，外接圓半徑為eq\f(\r(3),3)a，∴V1：V2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2：πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2＝4：1.6．已知正方體外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長等于()A．2eq\r(2)\f(2\r(3),3)\f(4\r(2),3)\f(4\r(3),3)答案：D解析：設正方體的棱長為x，則正方體的體對角線長為eq\r(3)x，由題設有eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)x,2)))3＝eq\f(32,3)π，解得x＝eq\f(4\r(3),3).所以選D.二、填空題(每個5分，共15分)7．若一個球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為________．答案：12π解析：設球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，∴R＝eq\r(3)，∴球的表面積S＝4πR2＝4π×3＝12π.8．木星的表面積約是地球的120倍，體積約是地球的__________倍．答案：240eq\r(30)解析：由題意，得4πReq\o\al(2,木)＝4πReq\o\al(2,地)·120，所以R木＝eq\r(120)R地．所以V木＝eq\f(4,3)πReq\o\al(3,木)＝eq\f(4,3)π·(eq\r(120)R地)3＝240eq\r(30)·eq\f(4,3)πReq\o\al(3,地)＝240eq\r(30)V地．9．如圖，E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD的中點，AB＝2，沿圖中虛線將該正方形折起來，圍成一個三棱錐，則此三棱錐的體積是________．答案：eq\f(1,3)解析：折疊起來后，B，C，D三點重合，設為點S，則圍成的三棱錐為S－AEF，其中，SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，如圖，所以此三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).三、解答題10．(12分)已知等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)的表面積為S，求其內接正四棱柱的體積．解：設等邊圓柱的底面半徑為r，則高h＝2r.∵S＝S側＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，∴r＝eq\r(\f(S,6π)).∴內接正四棱柱的底面邊長a＝2rsin45°＝eq\r(2)r.∴V＝S底·h＝(eq\r(2)r)2·2r＝4r3＝4·(eq\r(\f(S,6π)))3＝eq\f(\r(6πS),9π2)·S.即圓柱的內接正四棱柱的體積為eq\f(\r(6πS),9π2)S.11．(13分)已知四棱錐P－ABCD的直觀圖及三視圖如圖所示，求該四棱錐的體積．解：由該四棱錐的三視圖，可知該四棱錐的底面是邊長為1的正方形，側棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·PC＝eq\f(2,3).能力提升12．(5分)如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是()答案：C解析：若該幾何體的俯視圖是選項A，則該幾何體的體積為1，不滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項B，則該幾何體的體積為eq\f(π,4)，不滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項C，則該幾何體的體積為eq\f(1,2)，滿足題意；若該幾何體的俯視圖是選項D，則該幾何體的體積為eq\f(π,4)，不滿足題意．故選C.13．(15分)某幾何體的三視圖如圖所示．(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積及體積．解：(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個幾何體可看成是正方體ABCD－A