隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)婁

第3.3節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)*由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是

x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對x求導(dǎo)(注意y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)的方程)要求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先將方程兩邊對求導(dǎo)，在求導(dǎo)過程中把看作的函數(shù)，然后從所得方程中解出。設(shè)方程為含有兩個(gè)未知量和的方程，如果存在函數(shù)將其代入上述方程，使方程變?yōu)楹愕仁?，則稱是由方程所確定的隱函數(shù)。￥￥￥一、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)例

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解

方程兩邊對x求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)例.

求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解

橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即例求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求曲線過點(diǎn)的切線方程。所以由于曲線在點(diǎn)處的切線斜率為解方程兩邊分別對求導(dǎo)，得*****故所求切線方程為即***例求由方程所確定的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)。解方程兩邊分別對求導(dǎo)，得則有即所以例.

求的導(dǎo)數(shù).解

兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x求導(dǎo)（對數(shù)求導(dǎo)法）

例3.24設(shè)，求解對的兩邊取對數(shù)，得將上式兩邊對求導(dǎo)，得即所以對數(shù)求導(dǎo)法

對數(shù)求導(dǎo)法例3.25設(shè)，求解對的兩邊取對數(shù)，得將上式兩邊對求導(dǎo)，得

所以2)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求導(dǎo)1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)注按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:求導(dǎo)法求導(dǎo):又如,

對x求導(dǎo)兩邊取對數(shù)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解方法1方法2等式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)例設(shè)二*、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)看成x是y的函數(shù))關(guān)系,若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得記?例4.

設(shè),且求已知解:練習(xí):解:注意:對誰求導(dǎo)?

例5.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t

求導(dǎo),得故內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2.對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)1.設(shè)求提示:分別用對數(shù)求導(dǎo)法求答案:思考與練習(xí)2.設(shè)由方程確定,解方程兩邊對x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①得再代入②得求①求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解方法1方法2等式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)備用題1.設(shè),求解方程組兩邊同時(shí)對t求導(dǎo),得2.設(shè)高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動(dòng)定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處的值記為類似的，可以定義的階導(dǎo)數(shù)。如果函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在并可導(dǎo)，則的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的階導(dǎo)數(shù)，記為例設(shè)，求。解一般地，有例設(shè)，求解一般地，有##2、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1、高階導(dǎo)數(shù)的概念二、高階導(dǎo)數(shù)1、高階導(dǎo)數(shù)的定義如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱其導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為相應(yīng)地，函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)記為：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有例1.

設(shè)求解特別有:設(shè)求解:依次類推,例2.思考:設(shè)問可得所以設(shè)，求和。解例3例4.

設(shè)求解

一般地,類似可證:例6設(shè)由方程確定,解方程兩邊對x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①得再代入②得求①

求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明)解規(guī)定0!=1思考:求注例5.

設(shè)解

設(shè)求其中f二階可導(dǎo).例規(guī)律2、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算