Chapter2-精度指標(biāo)與誤差傳播

第2章

精度指標(biāo)與誤差傳播曹君三角形的內(nèi)角和問(wèn)題：在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)N組平面三角形的三個(gè)內(nèi)角：2.1偶然誤差的規(guī)律性ABC2.1偶然誤差的規(guī)律性三角形的內(nèi)角和問(wèn)題：2.1偶然誤差的規(guī)律性誤差分布曲線就單個(gè)偶然誤差而言，其大小或符號(hào)沒(méi)有規(guī)律性，即呈現(xiàn)出一種偶然性（或隨機(jī)性）。但就其總體而言，卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。2.1偶然誤差的規(guī)律性偶然誤差的特性有界性：在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說(shuō)，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零單峰性：絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同抵償性：偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即偶然誤差的理論平均值為零2.1偶然誤差的規(guī)律性由偶然誤差特性引出的兩個(gè)測(cè)量依據(jù)制定測(cè)量限差的依據(jù)判斷系統(tǒng)誤差或粗差的依據(jù)，如水準(zhǔn)測(cè)量往返閉合差2.2觀測(cè)量及觀測(cè)向量的精度指標(biāo)精度、準(zhǔn)度、準(zhǔn)確度精度：精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。反映了觀測(cè)值與估計(jì)值或平差值的接近程度。準(zhǔn)度（準(zhǔn)確度）指真值與平差值的接近程度精準(zhǔn)度指觀測(cè)值結(jié)果與真值的接近程度，包括精度準(zhǔn)度2.2觀測(cè)量及觀測(cè)向量的精度指標(biāo)精度、準(zhǔn)度、準(zhǔn)確度比較下列兩種誤差分布的精度和準(zhǔn)確度2.2觀測(cè)量及觀測(cè)向量的精度指標(biāo)觀測(cè)值的精度指標(biāo)中誤差方差：中誤差的平方思考題使用同一經(jīng)緯儀，對(duì)已知精確測(cè)定的水平角A=45°00′00″作12次同精度觀測(cè)，結(jié)果為：45°00′06″44°59′55″44°59′58″45°00′04″45°00′03″45°00′04″45°00′00″44°59′58″44°59′59″45°00′06″45°00′03″44°59′56″設(shè)A沒(méi)有誤差，求觀測(cè)值的中誤差思考題某1:1000的地形圖上，進(jìn)行了一次量測(cè)，量得兩點(diǎn)間的距離為d=13.2mm，其量測(cè)誤差為△=0.1mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)地距離及其誤差。某1:1000的地形圖上，進(jìn)行了n次量測(cè)，量得兩點(diǎn)間的距離為d=13.2mm，其量測(cè)中誤差為δ=0.1mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)地距離及其中誤差。2.2觀測(cè)量及觀測(cè)向量的精度指標(biāo)觀測(cè)向量的精度指標(biāo)獨(dú)立觀測(cè)值與相關(guān)觀測(cè)值在測(cè)量工作中，直接觀測(cè)得到的高差、距離、角度、方向和三角高程測(cè)量求得的高差等，都認(rèn)為是獨(dú)立觀測(cè)值。一般來(lái)說(shuō)，獨(dú)立觀測(cè)值的各個(gè)函數(shù)之間是不獨(dú)立的，或者說(shuō)是相關(guān)的，因而它們是相關(guān)觀測(cè)值。例如，三角網(wǎng)或?qū)Ь€網(wǎng)中根據(jù)觀測(cè)角度和邊長(zhǎng)求得的各點(diǎn)的坐標(biāo)是相關(guān)觀測(cè)值。2.2觀測(cè)量及觀測(cè)向量的精度指標(biāo)觀測(cè)值的精度指標(biāo)極限誤差一般以3倍中誤差作為偶然誤差的極限值，并稱為極限誤差。在大量同精度觀測(cè)的一組誤差中，誤差落在1倍、2倍和3倍中誤差的概率分別為：68.3%、95.5%和99.7%。特別是絕對(duì)值大于3倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅有0.3%，這已經(jīng)是概率接近于零的小概率事件。觀測(cè)值線性函數(shù)的方差倍數(shù)函數(shù)設(shè)待求值z(mì)與觀測(cè)值x的關(guān)系為：則待求值z(mì)的中誤差計(jì)算式為：2.3協(xié)方差傳播律思考題已知某水準(zhǔn)點(diǎn)A高程為Ha=19.81m，測(cè)得A、B兩點(diǎn)間高差hab=0.34m,量測(cè)誤差為0.018m,B、C兩點(diǎn)間高差hbc=0.87m,量測(cè)誤差為0.026m，求C點(diǎn)的高程及其誤差。已知某水準(zhǔn)點(diǎn)A高程為Ha=19.81m，測(cè)得A、B兩點(diǎn)間高差hab=0.34m,量測(cè)中誤差為0.018m,B、C兩點(diǎn)間高差hbc=0.87m,量測(cè)中誤差為0.026m，求C點(diǎn)的高程及其誤差。2.3協(xié)方差傳播律和或差函數(shù)設(shè)待求值z(mì)與觀測(cè)值x、y的關(guān)系為：則待求值z(mì)的中誤差計(jì)算式為：2.3協(xié)方差傳播律一般線性函數(shù)設(shè)待求值z(mì)與觀測(cè)值x的關(guān)系為：則待求值z(mì)的中誤差計(jì)算式為：思考題已知地面上兩點(diǎn)間的距離為530m，其量測(cè)中誤差為0.1m,則將該兩點(diǎn)繪制在1:500的地形圖上（不計(jì)其他誤差的影響），求該兩點(diǎn)的圖上距離及其精度已知某水準(zhǔn)點(diǎn)A高程為Ha=19.81m，測(cè)得A、B兩點(diǎn)間高差hab=0.34m,量測(cè)中誤差為0.018m,B、C兩點(diǎn)間高差hbc=0.87m,量測(cè)中誤差為0.026m，求C點(diǎn)的高程及其中誤差。2.3協(xié)方差傳播律多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的協(xié)方差陣令則 2.3協(xié)方差傳播律多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的協(xié)方差陣設(shè)有觀測(cè)值向量X和Y的線性函數(shù)：則有如下方差和協(xié)方差計(jì)算公式：2.3協(xié)方差傳播律非線性方程的方差對(duì)函數(shù)求微分，轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，再按照一般線性函數(shù)的方式進(jìn)行解算。思考題某泳池，經(jīng)過(guò)測(cè)量，其長(zhǎng)、寬、高的觀測(cè)值分別為150m、50m和2m，它們的中誤差分別為5mm、2mm和0.5mm，求該泳池的體積及相應(yīng)的中誤差2.4協(xié)方差傳播律在測(cè)量上的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量的精度經(jīng)N個(gè)測(cè)站測(cè)定A、B兩點(diǎn)間的高差，其中第i站的觀測(cè)高差為hi，則A、B兩點(diǎn)間的總高差hAB為則根據(jù)協(xié)方差傳播律，hAB的方差為：2.4協(xié)方差傳播律在測(cè)量上的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量的精度利用測(cè)站數(shù)計(jì)算高差的中誤差設(shè)每一站高差觀測(cè)的精度相同且獨(dú)立觀測(cè)，則根據(jù)協(xié)方差傳播律，該段水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的中誤差為2.4協(xié)方差傳播律在測(cè)量上的應(yīng)用水準(zhǔn)測(cè)量的精度利用水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度計(jì)算高差的中誤差若地勢(shì)平坦，前后兩測(cè)站距離大致相等，設(shè)A、B間的距離為S，各測(cè)站距離為s，則測(cè)站數(shù)為N=S/s，代入中誤差計(jì)算公式，得2.4協(xié)方差傳播律在測(cè)量上的應(yīng)用導(dǎo)線邊方位角的精度一條支導(dǎo)線，以相同的精度測(cè)得n個(gè)轉(zhuǎn)折角（左角）b1、b2、b3、……、bn則第n條邊的坐標(biāo)方位角根據(jù)協(xié)方差傳播律討論某學(xué)校核算總成績(jī)辦法如下：期中考試占30%，期末考試占50%，作業(yè)占20%，假如某人期中考試得了84，期末92，作業(yè)分91。試計(jì)算該同學(xué)的綜合成績(jī)?yōu)樵u(píng)定獎(jiǎng)學(xué)金，試計(jì)算你上學(xué)期各門(mén)課程的綜合成績(jī)請(qǐng)分組測(cè)量教室寬度，精確到mm位討論設(shè)對(duì)高程已知的兩點(diǎn)A（15.81m）和B（35.72m）間的高差進(jìn)行了兩次不同精度的測(cè)量，第一次量測(cè)結(jié)果為19.89m，第二次量測(cè)結(jié)果為19.96m，他們的方差分別為0.02m和0.04m，試根據(jù)高差量測(cè)結(jié)果，求A、B兩點(diǎn)間的高差的估值。A、B兩點(diǎn)間真實(shí)的高差=35.72m-15.81m=19.91m方案1：（19.89+19.96）/2=19.925m方案2：（19.89*4+19.96*2）/6=19.913m2.5權(quán)與定權(quán)的常用方法權(quán)的概念權(quán)衡不同精度觀測(cè)值在數(shù)據(jù)處理時(shí)所占的比重，用符號(hào)P表示。精度高的觀測(cè)值，在最終結(jié)果中應(yīng)占有比精度低的觀測(cè)值更大的比例；精度越高的觀測(cè)值權(quán)越應(yīng)大，精度越低的觀測(cè)值權(quán)越應(yīng)小2.5權(quán)與定權(quán)的常用方法權(quán)的概念對(duì)一組觀測(cè)值Li，i=1、2、n，若已知各觀測(cè)值的方差為，選定任一不為零常數(shù)，則觀測(cè)值Li的權(quán)為權(quán)可以反映“計(jì)算比例”，且符合方差愈小—觀測(cè)值精度愈高---權(quán)愈大---計(jì)算中所占比例愈大的要求。2.5權(quán)與定權(quán)的常用方法單位權(quán)中誤差將權(quán)等于1的觀測(cè)值中誤差稱為單位權(quán)中誤差2.5權(quán)與定權(quán)的常用方法測(cè)量上確定權(quán)的常用方法水準(zhǔn)測(cè)量觀測(cè)值的定權(quán)用水準(zhǔn)路線的測(cè)站數(shù)定權(quán)，設(shè)C個(gè)測(cè)站高差中誤差為單位權(quán)中誤差，即則hi的權(quán)為：2.5權(quán)與定權(quán)的常用方法測(cè)量上確定權(quán)的常用方法水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)用水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度定權(quán)設(shè)每km高差觀測(cè)的精度相同，1km的觀測(cè)高差中誤差為,則：取Ckm高差觀測(cè)值的方差為單位權(quán)方差則第i條水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)思考題某圖示的水準(zhǔn)網(wǎng)中,共測(cè)n(=7)條水準(zhǔn)路線，長(zhǎng)度分別為8km、9km、15km、11km、10km、6km、7km，其測(cè)站數(shù)分別為100、110、180、130、120、80、90（1）若用水準(zhǔn)路線的測(cè)站數(shù)定權(quán)，則第2條路線的權(quán)為2，求其他各路線的權(quán)，并指明單位權(quán)觀測(cè)值（2）若用水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度定權(quán)，則第1條路線的權(quán)為3，求其他各路線的權(quán)，并指明單位權(quán)觀測(cè)值