電磁場與電磁波ch3-1-復矢量麥克斯韋方程

第三章麥克斯韋方程

3.13.23.33.4主題：1、微分形式的麥克斯韋方程、復矢量形式的麥克斯韋方程2、連續(xù)方程3、物質(zhì)的本構關系積分形式的麥克斯韋方程組微分形式的麥克斯韋方程組根據(jù)矢量場的斯托克斯定理

麥克斯韋方程中兩個旋度方程可寫為

由上兩式可得

同樣根據(jù)矢量場的散度定理

麥克斯韋方程組中兩個散度方程可寫成

由此得到

這就是微分形式的麥克斯韋方程組。積分形式的麥克斯韋方程組反映電磁運動在某一局部區(qū)域的平均性質(zhì)。而微分形式的麥克斯韋方程反映場在空間每一點的性質(zhì)，它是積分形式的麥克斯韋方程當積分域縮小到一個點的極限。我們對電磁問題的分析一般都從微分形式的麥克斯韋方程出發(fā)。從麥克斯韋方程組能看出什么？麥克斯韋方程組中兩個旋度方程表示變化的磁場產(chǎn)生電場，變化的電場產(chǎn)生磁場。麥克斯韋方程組中兩個散度方程，一個表示磁通的連續(xù)性，即磁力線既沒有起始點也沒有終點。這意味著空間不存在自由磁荷，或者說在人類研究所能達到的空間區(qū)域中至今還沒有發(fā)現(xiàn)單獨的磁荷存在。另一個表明電場是有源的。時變場中電場的散度和旋度都不為零，所以電力線起始于正電荷而終止于負電荷。磁場的散度恒為零，而旋度不為零，所以磁力線是與電流交鏈的閉合曲線，并且磁力線與電力線兩者還互相交鏈。在遠離場源的無源區(qū)域中，電場和磁場的散度都為零，這時磁力線和電力線將自行閉合，相互交鏈，在空間形成電磁波。時諧場量E、D、B、H、J與r的復量表示

引入E、B的復矢量后，麥克斯韋方程因為算符只對空間求導數(shù)，所以運算與取實部運算Re可調(diào)換次序，即

所以時諧電磁場量用復矢量表示時，麥克斯韋方程表示為同理，麥克斯韋方程其它三個可表示為

式中

這就是時諧場的麥克斯韋方程。時諧矢量引入復矢量表示后，兩時諧矢量叉積的時間平均值計算也可簡化為取實部運算。時諧場的麥克斯韋方程電流連續(xù)性原理而根據(jù)式·D=v，所以上式成為

這是關于電流和電荷的連續(xù)方程。如果把上式左邊第二項移到等式右邊其物理意義就是流出體積元的電流等于體積元內(nèi)電荷隨時間的減少率。J(x,y,z,t)和v(x,y,z,t)隨時間作簡諧變化時，引入與J(x,y,z,t)對應的復矢量J(x,y,z)以及與v(x,y,z,t)對應的復數(shù)v(x,y,z)，則有這就是時諧場的電荷守恒定律麥克斯韋方程組中有幾個是獨立的？對取散度，因為旋度的散度等于零，故得到所以包含在中。對取散度已得到

如果把電荷與電流的連續(xù)方程作為一個基本方程那末將上式與比較便得到

所以也不是一個獨立的方程。歸納起來麥克斯韋方程組中兩個散度方程包含在兩個旋度方程以及電流與電荷的連續(xù)方程中。所以如果把電流與電荷的連續(xù)方程作為基本方程，麥克斯韋方程組中只有兩個旋度方程是獨立的。麥克斯韋方程+物質(zhì)本構關系=一組自洽方程兩個獨立的旋度方程以及電流與電荷的連續(xù)方程共包含E、D、B、H，J五個矢量和一個標量ρ，每個矢量又有三個分量，所以這三個獨立的方程共有16個獨立的標量場分量，而這三個獨立的方程總共只包含7個獨立的標量方程，所以僅從麥克斯韋方程以及電流與電荷的連續(xù)方程出發(fā)還不足以解出16個獨立的標量場分量。我們還需要另外九個標量場方程，這就是第一章提到的由介質(zhì)特性決定的三個方程叫做物質(zhì)的本構關系，每個方程可分解為三個標量方程，共有九個標量方程。它們作為輔助方程與麥克斯韋方程組一起構成一組自洽的方程。物質(zhì)可以按、、進行分類線性和非線性：、、與E、B的強度無關，就是線性介質(zhì)，否則就是非線性介質(zhì)。均勻和非均勻：、、與空間坐標無關，就是均勻介質(zhì)，否則就是不均勻介質(zhì)。各向同性和各向異性：、、與電磁波在空間傳播的方向性無關，叫做各向同性介質(zhì)，否則就是各向異性介質(zhì)。線性、均勻、各向同性介質(zhì)叫做簡單介質(zhì)。物質(zhì)可以按、、進行分類色散和非色散：

、、與頻率無關叫非色散介質(zhì)，否則就是色散介質(zhì)。色散介質(zhì)一定有損耗，有損耗的介質(zhì)一定色散。

0的介質(zhì)有損耗，可用復介電系數(shù)的介質(zhì)表示。當、為復數(shù)時，其虛部表示介質(zhì)損耗。完純介質(zhì)：

=0的介質(zhì)完純導體：

=的介質(zhì)用麥克斯韋方程求解電磁問題時，首先要把所研究場占有空間的介質(zhì)特性描述出來。、、是描述介質(zhì)特性的量。這就是說，只有在所研究空間、、的具體表達式知道后，才能對麥克斯韋方程求解。介質(zhì)的特性、、描述舉例y0d2d121導電板導電板yd1d