第三、四章第三次向量組的線性相關性與秩

作業(yè)

P77--78

8(1);13

§2向量組的線性相關性

（一）線性相關與線性無關齊次線性方程組的向量表示式為其中系數(shù)矩陣A的第j列所構成m維列向量，o是m維零向量.齊次線性方程組有非零解等價于存在一組不全為零的數(shù),使得定義

對于向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)，使得則稱向量組線性相關；如果只有當時，等式才成立，則稱向量組線性無關．例2

初始單位向量組則必有是線性無關的．這是因為，如果有一組數(shù),使得例1包含零向量的向量組是線性相關的．這是因為當m=1時,向量組只有1個向量線性無關線性相關

當m=2時,向量組有2個向量

對應分量成比例.線性相關對于n維向量組:線性無關對應分量不成比例.向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

． m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．向量組線性無關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0． m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．有非零解的充要條件是：系數(shù)矩陣的秩小于未知量的個數(shù)n．即定理

m維列向量組

線性相關的充分必要條件是：以為列向量的矩陣的秩小于向量組的個數(shù)n.即證因齊次線性方程組或

m維行向量組

線性相關的充分必要條件是：推論1

m維列向量組線性無關的充分必要條件是：推論2

當n>m時,n個m維列向量線性相關.證因所以，向量組線性相關.推論3

設n個n維行向量所構成的方陣是則以下結(jié)論等價：（1）A可逆；（2）r(A)=n；（3）（4）齊次線性方程組

AX=o只有零解；（5）向量組線性無關.t取何值時,下列向量組線性相關?解記當t=5時,上面向量組線性相關.例3例4判斷向量組是否線性相關．因，R(A)=2<3,故線性相關．解:對矩陣

施行初等行變換練習:討論下列向量組的線性相關性:解

∴R(B)=2<3,，向量組線性相關.例5

已知向量組1,2,3線性無關，

1=1+2，2=2+3，3=3+1，試證1,2,3線性無關.證：設x11+x22+x33=0即

x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0,得(x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0，向量組1,2,3線性無關，得故1,2,3線性無關.練習

向量組 線性無關,向量組解

由于

故線性無關.

或是否相關.定理

如果向量組線性相關，則向量組也線性相關.（即：如果向量組的部分組線性相關，則整個向量組也線性相關.）于是證：因向量組線性相關，所以存在一組數(shù)不全為零的數(shù)，使得又，不全為零，所以，也線性相關.推論線性無關向量組的任一非空部分組也是線性無關向量組.（二）線性組合與線性相關的定理定理向量組（）線性相關的充分必要條件是：其中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．定理

設向量組線性無關，而向量組線性相關，則向量可由向量組線性表示，且表示式是唯一的．定理

設有兩個向量組如果向量組B能由向量組A線性表示，若s<t則向量組B線性相關.推論

等價的線性無關向量組所含向量個數(shù)相等．§3.3向量組的秩對于一個給定的向量組(可以含無窮多向量),如何把握向量之間的線性關系(即哪些向量可由另外一些向量線性表示?)希望:在一個向量組中能找到個數(shù)最少的一部分向量,其余的向量都可由這些向量線性表示.這樣的部分組要滿足什么條件？定義設是向量組，如果（1）在T中有r個向量線性無關；（2），向量組總是線性相關的，則稱向量組是向量組T的一個極大線性無關組，簡稱為極大無關組，數(shù)r稱為向量組T的秩，記作規(guī)定：由零向量組成的向量組秩為0.說明（3）向量組中任一向量都可由極大無關組唯一線性表示.

（4）矩陣的秩等于它的行向量組的秩（行秩），也等于它的列向量組的秩（列秩）

.例如：對于向量組A：a1=(1,2,－1),a2=(2,－3,1),a3=(4,1,－1)所以a1,a2,a3線性相關。a1,a2

為A

的一個極大無關組;a2,a3;

a1,a3

也是A

的極大無關組。求向量組的秩及極大無關組的方法

以行向量組的轉(zhuǎn)置為列向量組構成矩陣,對矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換化成行最簡形矩陣，那么，向量組的秩就等于簡化階梯形矩陣的非零行的行數(shù),而行最簡形矩陣的每個非零行的首非零元所在列對應于矩陣A中的列，即是極大無關組中的一個向量.例6求向量組的一個極大無關組,并且把向量組中其余向量由這個