實(shí)驗(yàn)一微分學(xué)基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)3班學(xué)號(hào)：4:康萍時(shí)間：2016.03.22實(shí)驗(yàn)一微分學(xué)基礎(chǔ)一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簩W(xué)習(xí)使用Mathematica的一些基本功能來驗(yàn)證或觀察得出微積分學(xué)的幾個(gè)基本理論。1、 函數(shù)應(yīng)用及圖像2、 數(shù)e3、 積分與自然對(duì)數(shù)4、 調(diào)和數(shù)列5、 雙曲函數(shù)二、 實(shí)驗(yàn)環(huán)境基于Windows環(huán)境下的Mathematica7.0軟件。三、 實(shí)驗(yàn)的基本理論與方法使用Mathematica4.0軟件可繪制函數(shù)圖像。四、 實(shí)驗(yàn)的容和步驟及得到的結(jié)果和分析實(shí)驗(yàn)1函數(shù)及其圖像Taylor級(jí)數(shù)1.1.1（1）實(shí)驗(yàn)容：在同一坐標(biāo)系中畫出同一個(gè)區(qū)間xg（-K,兀）上的函數(shù)圖像J=sinx,j=0.8x,j=x與》=1.2x的圖像，觀察哪一條與正弦函數(shù)的圖像最接近。（2）實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:Plot[{Sin[x],0.8x,x,1.2x},{x,-Pi,Pi}]（4）結(jié)果分析：在具有不同斜率k的過原點(diǎn)的直線＞=kx中，k=1時(shí)的直線J=x與正弦曲線＞=sinx在原點(diǎn)附近最接近；且從原點(diǎn)出發(fā)沿直線J=x前進(jìn)與沿正弦曲線J=sinx前進(jìn)的方向是一致的，在原點(diǎn)附近很小的一段旅程兩條線路幾乎看不出任何差別，但繼續(xù)下去，兩條線路就分道揚(yáng)鐮了：直線沿原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，而正弦曲線則開始轉(zhuǎn)彎，兩條線路越離越遠(yuǎn)。1.1.2（1）實(shí)驗(yàn)容：在同一坐標(biāo)系中做出區(qū)間Xg（-K,兀）上正弦函數(shù)圖像. X3 X3 X5 X3X5X7>=sinX及多項(xiàng)式>=X—w,>=X—w+ ,>=X— + —的圖像，6 6120 3! 5! 7!觀察這些多項(xiàng)式函數(shù)的圖像逼近正弦曲線的情況。（2）實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:Plot[{Sin[x],x-X3/6,x-X3/6+x5/120,x-X3/3!+x5/5!-X7/7!},{x,-Pi,Pi}]curve1=Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];curve2=Plot[x-x3/6+x5/120,{x,-Pi,Pi},PlotStyle {RGBColor[1,0,1]}];curve3=Plot[x-x3/3!+x5/5!-x7/7!,{x,-Pi,Pi}];Show[curve1,curve2,curve3]（4）結(jié)果分析：通過圖像可以看出，次數(shù)越來越高的多項(xiàng)式函數(shù)的圖像越來越好的逼近正弦函數(shù)的圖像，這些多項(xiàng)式是sinx的泰勒級(jí)數(shù)x2k+1sinx=x-—+ +(-1)k6k1!+—的前若干項(xiàng)組成的。1.2函數(shù)的升降、零點(diǎn)和極值)=x-一y=1-一(1)實(shí)驗(yàn)容：在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)6及其導(dǎo)數(shù) 2的圖像，觀察(i)當(dāng)y〉0,yV0時(shí)y的圖像的升降情況及當(dāng)V=0時(shí)，y是否有極大值或極小值；(ii)觀察得出方程>=0的根的近似值a,比如a=2.5,最后求出在x=2.5附近的根的更精確的近似值。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:Plot[{x-X3/6,1-X2/2},{x,-4,4}]；FindRoot[x-x"3/6,{x,2.5}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：(x2.44949}(4)結(jié)果分析：當(dāng)>'>0時(shí)，y的圖像在區(qū)間[-*2°]上升，在區(qū)間[0?2]上下降；當(dāng)>'V0，在區(qū)間(-8，-J2]上上升，在區(qū)間228)上下降。觀察得出>=0的根近似的有xi=-2.5,x2=0,x3=2.5。通過編程得出，在x=2.5附近的根的更精確的近似值為2.44949.f(x)=x-X3+...+(-1>￡2二，

n3! (2n+1),(1)實(shí)驗(yàn)容：設(shè) +對(duì)n=3，4，5，6，7f(x依次求出'〃 在x=3附近的零點(diǎn)，觀察：隨著n的增加，所求出的零點(diǎn)有何變化趨勢(shì)？有何道理？實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:f[x_,n_]：=Sum[(T)"k*x"(2*k+1)/((2*k+1)!),(k,0,n}]；Do[Print[FindRoot[f[x,n],(x,3.0}]],(n,3,7}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：(x3.07864}(x3.14869}{x3.14115}{x3.14161}{x3.14159}（4）結(jié)果分析：隨著n的增加，所求出的零點(diǎn)越來月穩(wěn)定于3.141附近，因?yàn)殡S著n的增加f"，n）的圖像越來越接近于fnG）的圖像，因此由f1,n）求得的根也就越來越接近與fnG）的根。1.3正弦函數(shù)的疊加1.3.1（1）實(shí)驗(yàn)容：分別畫出區(qū)間*G[—2”，2”]上的函數(shù)>=sinx+1sin3x,…,

3Z k=i2k-1其中2m-1可以試驗(yàn)從小到大不同的值。比如2m-1=9,19,519等。分別觀察所得的函數(shù)圖像隨著這個(gè)n值的增加的變化情況和變化趨勢(shì)。（2）實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:f[x_,n_]:二Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]；‘f[x_,n_]:二表示定義一個(gè)以x,n為自變量的函數(shù)。Plot[f[x,9],{x,-2Pi,Pi}]f[x_,n_]:二Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}];Plot[f[x,519],{x,-2Pi,Pi}]

sinkx結(jié)果分析：由于每一項(xiàng)一^都是以2兀為周期，經(jīng)過求和之后的函數(shù)當(dāng)然還是以2兀為周期。觀察圖像可知，當(dāng)n值很大時(shí)，圖像越來越接近于“方形”的波。一般的，由于函數(shù)1,sinkx，coskx(k=l，2,3…)都以2兀為周期，他們的實(shí)系數(shù)線性組合(也就是實(shí)數(shù)倍之和)f(x)=b°+a1sinx+b〔cosxH b氣sinkx+b^coskxH—仍以2兀為周期。改變各個(gè)系數(shù)ak(k-^和bk(k-0)就得到各種不同形狀的圖像，只要fG)不要太連續(xù)，就能得到所有的以2兀為周期的函數(shù)fG)的圖像。1.3.2(1)實(shí)驗(yàn)容：分別取n=30,300,3000,在同一坐標(biāo)系中畫出區(qū)間4兀，4"上函數(shù)=sinx與函數(shù)=sinx與p(x)=x*nn[1—k=1[的圖像。觀察當(dāng)n增加時(shí)匕°向sinx逼近的現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:fgsin二Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]；p[x_,n_]：=x*Product[1-x"2/((k*Pi)"2),{k,1,n}]；fgproduct二Plot[p[x,30],{x,-4Pi,4Pi}]；Show[fgsin,fgproduct]可得n=30的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.fgsin=Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]；p[x_,n_]：=x*Product[1-x'2/((k*Pi)'2),{k,1,n}]；fgproduct=Plot[p[x,300],{x,-4Pi,4Pi}]；Show[fgsin,fgproduct]可得n=300的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.fgsin=Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]；p[x_,n_]：=x*Product[1-x'2/((k*Pi)'2),{k,1,n}]；fgproduct=Plot[p[x,3000],{x,-4Pi,4Pi}]；Show[fgsin,fgproduct]可得n=3000的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

時(shí)，Pn(X)的圖像與SinX完全重合.1.4無極限的函數(shù)列1.4.1(1)實(shí)驗(yàn)容：在區(qū)間[-1,1]上做出函數(shù)J=sin1的圖像，觀察圖像當(dāng)X—0X時(shí)的變化情況。在X=0的附近仍然看不清楚，可以再放大，將區(qū)間改為[-0.01,0.01]甚至[-0.001，0.001]。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]Plot[Sin[1/x],{x,-0.01,0.01}](3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果:1.01.0結(jié)果分析：看得出當(dāng)x—0時(shí)曲線在＞=-1和〉=1之間振蕩，x越接近于0就振蕩的越快，越“瘋狂”。在x=0的附近仍然看不清楚，可以再放大，將區(qū)間改為[-0.01,0.01]甚至[-0.001，0.001]，可以看出區(qū)間越小，曲線震蕩的越“瘋狂”，圖像更加一塌糊涂。1.4.2(1)實(shí)驗(yàn)容：從以上曲線J=sin1中取一部分點(diǎn)，比如令xx=!(k=1,2,…,3000)，則當(dāng)k增加時(shí)x向0趨近，相應(yīng)的y值分別是sinl，k… …… /1.?、sin2,…,sin3000。這樣就在曲線上取出了3000個(gè)點(diǎn)-,sink。將這3000個(gè)kk)點(diǎn)畫在同一個(gè)坐標(biāo)系中，看它們組成的圖形是什么樣子？能否辨別出哪些點(diǎn)組成一條曲線？實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:T二Table[{1/k,Sin[k]},{k,1,3000}];P二ListPlot[T]d=44;T1二Table[{1/k,Sin[k]},{k,3,3000,d}];T2二Table[{1/k,Sin[k]},{k,6,3000,d}];P1二ListPlot[T1,PlotJoinedTrue,PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];P2二ListPlot[T2,PlotJoinedTrue,PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];Show[P,P1,P2]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：:n：圖一:n：圖一22些美麗的圖案組成的網(wǎng)。通過利用祖沖之說的近似值了（約率），從而44約等于2兀的7倍，Sin。土44“Sin*，Ak±44與Ak接近，從某一個(gè)Ak開始的一連串點(diǎn)Ak，Ak+44,Ak+88,…，Ak+44尸…組成圖一的曲線中的一條。實(shí)驗(yàn)2數(shù)e — 人 1V。人1V+12.1.1(1)實(shí)驗(yàn)容：觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)數(shù)列與=[1+-j和人〃=[1+—的變化趨勢(shì)。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:Do[Print[((1.0+1/10"n)"(10"n),(1.0+1/10"n)"(10"n+1)}],{n,1,7}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：{2.59374,2.85312}{2.70481,2.73186}{2.71692,2.71964}{2.71815,2.71842}{2.71827,2.7183}{2.71828,2.71828}{2.71828,2.71828}結(jié)果分析：當(dāng)n趨于無窮大時(shí)數(shù)列氣和A。都趨近于2.71828，最后穩(wěn)定于2.71828.2.1.2(1)實(shí)驗(yàn)容：在同一坐標(biāo)系中畫出下面三個(gè)函數(shù)的圖像，觀察當(dāng)x增大時(shí)圖像的走向。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:Plot[((1+10"(-x))"(10"x),(1+10"(-x))"(10"x+1),E},{x,1,4}]Plot[((1+10"(-x))"(10"x),(1+10"(-x))"(10"x+1),E},{x,2,4}]Plot[((1+10"(-x))"(10"x),(1+10"(-x))"(10"x+1),E},{x,3,5}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：，，一、，，一、一、一、一， ， ，，、， ( 1、n…… ，,結(jié)果分析：通過觀察可以看到，當(dāng)n增大時(shí)，氣=[1+：J嚴(yán)格單調(diào)遞增A廣(1+紂〃+i嚴(yán)格單調(diào)遞減。隨著n的無窮增大，七和A。無限接近，趨于共同的極限e=2.70828....以這個(gè)為底的自然對(duì)數(shù)。、，、 、… _ 31 .、2.1.3(1)實(shí)驗(yàn)容：計(jì)算e=1+Z；的近似值，精確到小數(shù)點(diǎn)后30位。k=1k!實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Do[Print[N[1+Sum[1/(k!),{k,1,n}],30]],{n,5,30}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：2.72.62.52.42.72.52.02.22.12.32.72.32.52.12.42.72.32.72.72.12.82.62.52.52.52.5結(jié)果分析：上面的對(duì)數(shù)表反映了自然對(duì)數(shù)的產(chǎn)生過程。在科學(xué)中廣泛應(yīng)用以e為底的的自然對(duì)數(shù)的更直接的理由是：它使涉及到對(duì)數(shù)的微積分和積分公式變得更為簡單。2.2.1(1)實(shí)驗(yàn)容：通過運(yùn)行Mathematica語句，計(jì)算當(dāng)工=10-〃，n=1，2,,7時(shí)，4)=畫+x)/X的值。觀察當(dāng)x趨于0時(shí)，人O是否趨于某一極限值實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Do[Print[Log[10,1.0+10.0"(-n)]/(10"(-n))],{n,1,7}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：0.4139270.4321370.4340770.4342730.4342920.4342940.434294結(jié)果分析：當(dāng)x趨于0時(shí)，人G)越來越趨近于0.43429附近，最后穩(wěn)定于0.434294.2.2.2(1)實(shí)驗(yàn)容：通過運(yùn)行Mathematica語句，計(jì)算當(dāng)x=10-〃，n=1,2,,7時(shí)，山)=lnG+x)/x的值。觀察當(dāng)x趨于0時(shí)，pl)是否趨于某一極限值實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:Do[Print[Log[1.0+10.0"(-n)]/(10"n)],{n,1,7}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：0.009531020.00009950339.995X10-79.9995X10-99.99995X10-119.99999X10-131.X10-14結(jié)果分析：當(dāng)x趨于0時(shí)，pQ趨于極限值1.X10-14實(shí)驗(yàn)3積分與自然對(duì)數(shù)實(shí)驗(yàn)容：畫出函數(shù)S(x)=fx1dt在區(qū)間[0.1，10]上的圖像，觀察圖像的形it狀，看他像是什么函數(shù)的圖像，求出函數(shù)的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:S[x_]：=NIntegrate[1/t,{t,1,x}]；Plot[S[x],{x,0.1,10}]在求這個(gè)對(duì)數(shù)的底時(shí)，它應(yīng)滿足條件S(b)=1,從圖像上可以看出b比3稍小一些，從而以3作為初始值，利用牛頓切線法，用遞推關(guān)系式S(”)。廣a-箝求出近似值。輸入語句如下：g[a_]：=a-(S[a]-1)aNestList[g,3,4](3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：{3,2.70416,2.71825,2.71828,2.71828}（4）結(jié)果分析：觀察可以看出，圖中所畫圖像很像是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像。計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)b恰是自然對(duì)數(shù)的底e。實(shí)驗(yàn)四調(diào)和數(shù)列（1） 實(shí)驗(yàn)容：將坐標(biāo)偵H（n》"=1,2,100）的點(diǎn)依次連接成光滑曲線，觀察曲線的形狀，它與什么函數(shù)的圖像形狀類似？并進(jìn)行驗(yàn)證。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下:H[n_]:二NSum[1/k,{k,1,n}];t二Table[{n,H[n]},{n,1,100}];pic1二ListPlot[t]為了驗(yàn)證，輸入語句如下：pic2=Plot[Log[x],{x,1,100},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}];Show[pic1,pic2]為了更準(zhǔn)確的刻畫，輸入語句如下：c=H[