實例說明利用Excel進行主成分分析

方法:1利用Excel2000進行主成分分析第一步，錄入數(shù)據(jù)，并對進行標(biāo)準(zhǔn)化?！纠恳唤M古生物腕足動物貝殼標(biāo)本的兩個變量：長度和寬度。圖1原始數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)及其均值、方差

（取自張超、楊秉庚《計量地理學(xué)基礎(chǔ)》）計算的詳細過程如下：⑴將原始數(shù)據(jù)繪成散點圖（圖2）。主持分分析原則上要求數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)趨勢——如果數(shù)據(jù)之間不相關(guān)（即正交），則沒有必要進行主成分分析，因為主成分分析的目的就是用正交的變量代替原來非正交的變量；如果原始數(shù)據(jù)之間為非線性關(guān)系，則有必要對數(shù)據(jù)進行線性轉(zhuǎn)換，否則效果不佳。從圖2可見，原始數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)趨勢，且測定系數(shù)R2=0.4979，相應(yīng)地，相關(guān)系數(shù)R=0.7056。⑵對數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)公式為這里假定按列標(biāo)準(zhǔn)化，式中]i 匚 X=一芝x，c=谷（x-x）2=*Var（x）7"i=i， ''i=1'' 7 ''分別為第j列數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，x..為第i行（即第i個樣本）、第j列（即第j個變量）的數(shù)據(jù)，x*為j i.）相應(yīng)于x’.的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，n=25為樣本數(shù)目。U 圖2原始數(shù)據(jù)的散點圖圖3標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點圖對數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的具體步驟如下：①求出各列數(shù)據(jù)的均值，命令為average，語法為：average（起始單元格:終止單元格）。如圖1所示，在單元格B27中輸入“=AVERAGE（B1:B26）”，確定或回車，即得第一列數(shù)據(jù)的均值％=10.88；然后抓住單元格B27的右下角（光標(biāo)的十字變細）右拖至C27,便可自動生成第二列數(shù)據(jù)的均值x2=10.68。求各列數(shù)據(jù)的方差。命令為varp，語法同均值。如圖1所示，在單元格B28中輸入“=VARP（B2:B26）”，確定或回車，可得第一列數(shù)據(jù)的方差Var（氣）=19.4656，右拖至C28生成第二列數(shù)據(jù)的方差Var（x）=23.0976。 '2求各列數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。將方差開方便得標(biāo)準(zhǔn)差。也可利用命令stdevp直接生成標(biāo)準(zhǔn)差，語法和操作方法同均值、方差，不贅述。標(biāo)準(zhǔn)化計算。如圖1所示，在單元格D2中輸入"=（B2-$B$27）/$B$29”，回車可得第一列第一個數(shù)據(jù)“3”的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值-1.786045，然后按住單元格D2的右下角下拖至D26，便會生成第一列數(shù)據(jù)的全部標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值；按照單元格D2的右下角右拖至E2，就能生成第二列第一個數(shù)據(jù)“2”的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)-1.806077，抓住單元格E2的右下角下拖至E26便會生成第二列數(shù)據(jù)的全部標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值。作標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點圖（圖3）。可以看出，點列的總體趨勢沒有變換，兩種數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化以前完全相同。但回歸模型的截距近似為0，即有aT0，斜率等于相關(guān)系數(shù)，即有b=R。⑶求標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣或協(xié)方差矩陣。求相關(guān)系數(shù)矩陣的方法是：沿著“工具（T）”-“數(shù)據(jù)分析（D）”的路徑打開“分析工具（冬）”選項框（圖4），確定，彈出“相關(guān)系數(shù)”對話框（圖5），在“輸入?yún)^(qū)域”的空白欄中輸入標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)范圍，并以單元格G1為輸出區(qū)域，具體操作方法類似于回歸分析。確定，即會在輸出區(qū)域給出相關(guān)圖4分析工具選項框

圖5相關(guān)系數(shù)對話框系數(shù)矩陣的下三角即對角線部分，由于系對稱矩陣，上三角的數(shù)值與下三角相等，故未給出（圖6），可以通過“拷貝——轉(zhuǎn)置——粘帖”的方式補充空白部分。圖6標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差求協(xié)方差的方法是在“分析工具”選項框中選擇“協(xié)方差”（圖7），彈出“協(xié)方差”選項框（圖8），具體設(shè)置與“相關(guān)系數(shù)”類似，不贅述。結(jié)果見圖6,可以看出，對于標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)而言，協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣完全一樣。因此，二者任取其一即可。圖7在分析工具選項框中選擇“協(xié)方差”圖8協(xié)方差選項框而二階單位矩陣為⑷計算特征根。我們已經(jīng)得到相關(guān)系數(shù)矩陣為而二階單位矩陣為「10.7056C=0.70561「10「I=，，01于是根據(jù)公式det（XI-C）=0，我們有按照行列式化為代數(shù)式的規(guī)則可得根據(jù)一元二次方程的求根公式，當(dāng)b2-4ac>0時，我們有據(jù)此解得%=1.7056，人2=0.2944（對于本例，顯然人1=1+R，七=1-R）。這便是相關(guān)系數(shù)矩陣的TOC\o"1-5"\h\z兩個特征根。 2 1 2⑸求標(biāo)準(zhǔn)正交向量。將七代入矩陣方程（人I-C）W=0，得到在系數(shù)矩陣人I-c中，用1第一行加第二行，化為由此得W1=W2，令w1=1，則有w2=1，于是得基礎(chǔ)解系10.7071&1=_1_，單位化為e=10.7071TOC\o"1-5"\h\z w ―單位化的公式為e= i（i=1,2）。i.、：W2+w21 2完全類似，將七代入矩陣方程?-C）W=0，得到用系數(shù)矩陣的第二彳行減去第一行，化為21「0.7071一&2=_-1_，單位化為e=2-0.7071于是得到w1=-W2，取W1=1，則有W一=-1，因此得基礎(chǔ)解系為這里e、e2便是標(biāo)準(zhǔn)正交向量。⑹求對角陣。首先建立標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣已即有該矩陣的一個特殊性質(zhì)便是Pt=P-1，即矩陣的轉(zhuǎn)置等于矩陣的逆。根據(jù)D=PTCP，可知下面說明一下利用Excel進行矩陣乘法運算的方法。矩陣乘法的命令為mmult，語法是mmult（矩陣1的單元格范圍，矩陣2的單元格范圍）。例如，用矩陣pt與矩陣C相乘，首先選擇一個輸出區(qū)域如G1:H2，然后輸入“=mmult（A1:B2,C1:D2）”，然后按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵（圖9），即可給出1.2060441.2060440.20817-0.20817再用乘得的結(jié)果與P陣相乘，便得對角矩陣1.705603 000.294397如果希望一步到位也不難，選定輸出區(qū)域如 C3：D4，然后輸入“=mmult（mmult（A1:B2,C1:D2）,E1:F2）”（圖10），同時按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵，立即得到結(jié)果（圖11）。顯然，對角矩陣對角線的數(shù)值恰是相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值。圖9矩陣乘法示例

圖10矩陣連乘的命令與語法至此，標(biāo)準(zhǔn)化的原始變量x與主成分之間z之間可以表作顯然Z1與z2之間正交。1 2 圖11乘法結(jié)果：對角矩陣⑺根據(jù)特征根計算累計方差貢獻率?，F(xiàn)已求得第一特征根為人1=1.7056，第二特征根為人2=0.2944，二者之和剛好就是矩陣的維數(shù)，即有七+氣=m=2，這里m=2為變量數(shù)目（注意前面的；=25為樣本數(shù)目）。比較圖6或圖10中給出的相關(guān)系數(shù)矩陣C與圖11中給出的對角矩陣D可以看出，Tr.（C）=1+1=2,Tr.（D）=1.7056+0.2944=2，即有Tr.（C）=Tr.（D），可見將相關(guān)系數(shù)亦即協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為對角矩陣以后，矩陣的跡（trace，即對角線元素之和）沒有改變，這 意味著將原始變量化為主成分以后，系統(tǒng)的信息量2

沒有減少?，F(xiàn)在問題是，如果我們只取一個主成分代表原來的兩個變量，能反映原始變量的多少信息？這個問題可以借助相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根來判斷。利用Excel容易算出，第一特征根占特征根總和即矩陣維數(shù)的85.28%沒有減少?，F(xiàn)在問題是，如果我們只取一個主成分代表原來的兩個變量，能反映原始變量的多少信息？這個問題可以借助相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根來判斷。利用Excel容易算出，第一特征根占特征根總和即矩陣維數(shù)的85.28%（見下表），即有特征根1.7056030.294397累計值

1.705603

2百分比累計百分比85.28%14.72%85.28%

100.00%也就是說：人:1.7056，人/m=1.7056/2=85.28%人:0.2944，人/m=0.2944/m=14.72%人+人：2，（人+人）/m=2/2=100%1 2 1 2這表明，如果僅取第一個主成分，可以反映原來數(shù)據(jù)85.28%的信息一一換言之，舍棄第二個主成分，原來數(shù)據(jù)的信息僅僅損失14.72%，但分析變量的自由度卻減少一個，整個分析將會顯得更加簡明。⑻計算主成分載荷。根據(jù)公式P.=、仄j廣容易算出⑼計算公因子方差和方差貢獻。彳艮據(jù)上述計算結(jié)果可以比較公因子方差和方差貢獻。再考慮全部的兩個主成分的時候，對應(yīng)于七和\的公因子方差分別為對應(yīng)于第一主成分％和第二主成分&的方差貢獻分別為可以看出（圖12）：第一，方差貢獻等于對應(yīng)主成分的特征根，即有第二，公因子方差相等或彼此接近，即有第一，公因子方差之和等于方差貢獻之和，即有第一個規(guī)律是我們決定提取主成分數(shù)目的判據(jù)與之一，第二個規(guī)律是我們判斷提取主成分數(shù)目是否合適的判據(jù)之一，第三個規(guī)律是我們判斷提取主成分后是否損失信息的判據(jù)之一。去掉次要的主成分以后，上述規(guī)律理當(dāng)仍然滿足。這時如果第二個規(guī)律不滿足，就意味著主成分的提取是不合適的。此外，上述規(guī)律也是我們檢驗計算結(jié)果是否正確的判據(jù)之一。圖12公因子方差、方差貢獻的計算結(jié)果及其與特征根的貢獻⑽計算主成分得分。根據(jù)主成分與原始變量的關(guān)系，應(yīng)有或者對于本例而言，式中「x]，Z=，z，p=ee]=「ee「0.7071111112=xz12ee0.70711-2」221221—e=ee｝為前面計算的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量。于是有2 21 220.7071-0.7071X=這里e=\eeL，化為代數(shù)形式便是式中的x均為標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)。對Ze=ee｝為前面計算的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量。于是有2 21 220.7071-0.7071圖13計算特征向量的公式及語法圖14計算主成分得分根據(jù)這個式子，利用Excel計算主成分得分的步驟如下：將特征向量復(fù)制到標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的附近；選中一個與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)占據(jù)范圍一樣大小的數(shù)值區(qū)域（如G2:H26）；輸入如下計算公式“=mmult（標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的范圍，特征向量的范圍）”，在本例中就是“=MMULT（B2:C26,E2:F3）”（圖13）；同時按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵。計算主成分得分的均值和方差，可以發(fā)現(xiàn)，均值為0（由于誤差之故，約等于0），方差等于特征根。最后，可以對主成分得分進行標(biāo)準(zhǔn)化。已知主成分得分的均值為0,我們不按總體方差進行標(biāo)準(zhǔn)化，而按樣本方差進行標(biāo)準(zhǔn)化。圖15主成分得分的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果樣本方差的計算公式為相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)化公式同前面給出的一樣。結(jié)果見表15。注意，這里之所以按樣本方差進行標(biāo)準(zhǔn)化，主要目的是為了與SPSS的計算結(jié)果進行比較。分別以％、&為坐標(biāo)軸，將主成分得分（包括標(biāo)準(zhǔn)化的得分）點列標(biāo)繪于坐標(biāo)圖中，可以發(fā)現(xiàn)，點列分布沒有任何趨勢：回歸結(jié)果表明，回歸系數(shù)和相 關(guān)系數(shù)均為零，即有1=0，b=0，R=0（圖316,圖17)。這從幾何圖形上顯示：主成分之間是正交的，即有cos9=0(試將圖16、圖17與圖2、圖3對比)。圖16主成分得分的相關(guān)系數(shù)為零圖17主成分得分的相關(guān)系數(shù)為零(標(biāo)準(zhǔn)化)最后可以驗證因子載荷即為(標(biāo)準(zhǔn)化)原始數(shù)據(jù)與主成分得分之間的相