【課件】兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第2課時）課件高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

5.5.1第2課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式問題1請同學們寫出兩角差的余弦公式.提示cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.問題2試比較cos(α－β)和cos(α＋β)，觀察兩者之間的聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？提示我們注意到α－β與α＋β有聯(lián)系，α＋β＝α－(－β)，于是我們可以根據(jù)已知的兩角差的余弦公式進行展開.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，于是我們得到了兩角和的余弦公式.問題3

同學們還記得誘導公式五和六嗎？追問：公式五或六實現(xiàn)了正弦、余弦的相互轉化，你能想到如何表示兩角和與差的正弦嗎？知識點1

兩角和與差的正弦公式、兩角和的余弦公式

名稱公式簡記符號使用條件兩角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβC(α+β)α,β∈R兩角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α+β)α,β∈R兩角差的正弦公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβS(α-β)α,β∈R名師點睛兩角和與差的正弦公式的記憶方法記憶口訣:正余余正,符號相同.正余余正表示展開后的兩項分別是兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;符號相同表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同,即兩角和時用“+”,兩角差時用“-”.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)sin(α-β)=sinαcosα-cosβsinβ.(

)(2)sinα+sinβ=sin(α+β).(

)(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cosβ+cos(α-15°)sinβ.(

)(4)sin15°+cos15°=sin60°.(

)××√√問題4你能用兩角和與差的正弦、余弦公式來表示兩角和與差的正切公式嗎？用－β來代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β).知識點2

兩角和與差的正切公式

名師點睛公式的右邊為分式形式,其中分子為tan

α,tan

β的和或差,分母為1與tan

αtan

β的差或和.公式中左邊的加減號與右邊分子上的加減號相同,與分母上的加減號相反.符號變化規(guī)律可簡記為“分子同,分母反”.當α,β,α±β角的正切值不存在時,不能使用上述公式,但可以用誘導公式或其他方法解題2.你能寫出和角、差角這6個公式的邏輯聯(lián)系框圖嗎?提示

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(3)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立.(

)××√探究點一化簡與求值【例1】

化簡下列各式:(5)∵(1+tan

21°)(1+tan

24°)=1+tan

21°+tan

24°+tan

21°tan

24°=1+tan(21°+24°)(1-tan

21°tan

24°)+tan

21°tan

24°=1+(1-tan

21°tan

24°)tan

45°+tan

21°tan

24°=1+1-tan

21°tan

24°+tan

21°tan

24°=2.同理可得(1+tan

22°)(1+tan

23°)=2,∴原式=2×2=4.規(guī)律方法

1.公式的巧妙運用①順用:如本題中的(1);②逆用:如本題中的(2);③變用:變用涉及兩個方面,一個是公式本身的變用,如cos(α+β)+sin

αsin

β=cos

αcos

β,一個是角的變用,也稱為角的拆分變換,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,從某種意義上來說,是一種整體思想的體現(xiàn),如cos(α+β)cos

β+sin(α+β)sin

β=cos[(α+β)-β]=cos

α.這些需要在平時的解題中多總結、多研究、多留心,唯其如此才能在解題中知道如何選擇公式,選擇哪一個公式會更好.需要說明的是,2.公式的推廣:本例第(5)小題所得結論可以推廣到一般情形:若A+B=,則(1+tan

A)(1+tan

B)=2;若(1+tan

A)(1+tan

B)=2,則A+B=kπ+,k∈Z.變式訓練1探究點二利用兩角和與差的三角函數(shù)公式解決給值求值問題(1)求sin(α+β)的值;(2)求cos(α-β)的值;(3)求tanα的值.規(guī)律方法

給值求值的解題策略在解決此類題目時,一定要注意已知角與所求角之間的關系,恰當?shù)剡\用拆角、拼角技巧,同時分析角之間的關系,利用角的代換化異角為同角,具體做法是:(1)當條件中有兩角時,一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差.(2)當已知角有一個時,可利用誘導公式把所求角轉化為已知角.變式訓練2(1)

答案

3

探究點三利用兩角和與差的三角函數(shù)公式解決給值求角問題變式探究

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)公式的推導.(2)給式求值、給值求值、給值求角.(3)公式的正用、逆用、變形用.2.方法歸納:轉化法、整體法、構造法.3.常見誤區(qū):(1)公式中加減符號易記錯;(2)求值或求角時易忽視角的范圍.1.sin(x+17°)cos(28°-x)+sin(28°-x)cos(x+17°)的值為(

)答案

D

解析

原式=sin(x+17°+28°-x)=sin

45°=.答案

A

解析

cos(α+β)