高二數(shù)學：雙曲線性質(zhì)及其綜合運用教案

第十一講雙曲線的性質(zhì)及其綜合運用

雙曲線及其性質(zhì)雙曲線及其性質(zhì)雙曲線離心率和漸近線問題雙曲線離心率和漸近線問題點、直線與雙曲線的位置關(guān)系雙曲線點、直線與雙曲線的位置關(guān)系雙曲線雙曲線的弦長與中點弦問題雙曲線的弦長與中點弦問題1．雙曲線的概念平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(2a<2c)，則點P的軌跡叫________．這兩個定點叫雙曲線的________，兩焦點間的距離叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0；(1)當________時，P點的軌跡是_______；(2)當________時，P點的軌跡是_______；(3)當_______時，P點不存在．這里要注意兩點：(1)距離之差的絕對值．(2)2a<|F1F2|．這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同：①當|MF1|－|MF2|＝2a時，曲線僅表示焦點F2所對應(yīng)的一支；②當|MF1|－|MF2|＝－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應(yīng)的一支；③當2a＝|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；④當2a>|F1F2|時，動點軌跡不存在．2．雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)共軛雙曲線：與雙曲線共軛的雙曲線為（共軛雙曲線的漸近線完全相同）等軸雙曲線：的漸近線方程為且兩條漸近線互相垂直，離心率為；焦半徑：，（點P在雙曲線的右支上）；，（點P在雙曲線的右支上）；與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程為：題型1雙曲線的定義及標準方程例1.已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1練習1.已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________．例2.已知雙曲線C與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2），求雙曲線C的方程例3.與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的漸近線，且過點(－3,2eq\r(3))，求雙曲線的標準方程.例4.與橢圓焦點相同的等軸雙曲線的標準方程為__________________.練習2.過點的等軸雙曲線的標準方程為____________________.題型2雙曲線的離心率與漸近線問題例5.此雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為α，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,3)，求雙曲線的離心率的取值范圍．例6.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝eq\r(2)，則一條漸近線與實軸所成銳角的值是________．例7.雙曲線C:的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，則C的焦距等于()A.2B.C.4D. 練習3.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點且斜率為eq\f(\r(3),3)的直線與雙曲線漸近線平行，則此雙曲線離心率是()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)題型3點、直線與雙曲線的位置關(guān)系點與雙曲線的位置關(guān)系先將點P的坐標代入計算結(jié)果，然后與1比較大?。?；；.直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線方程聯(lián)立，通過聯(lián)立方程的判別式來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，；；(直線與漸近線平行的話就相交，直線與漸近線不平行就相切).特別注意：直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點．例8.判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系.例9.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)，O為坐標原點，離心率e＝2，點M(eq\r(5)，eq\r(3))在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且·＝0.求eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2)的值．題型4雙曲線的焦點三角形雙曲線的焦點三角形面積公式：;雙曲線周長公式：設(shè)點，當雙曲線的焦點在軸上時，；當雙曲線的焦點在軸上時，.例10.已知雙曲線，A,B是其兩個焦點，點在雙曲線上，，則三角形AMB的面積為_____________.例11.已知雙曲線上一點的坐標為，則其與雙曲線的兩個焦點所圍成的的周長為______________.題型5雙曲線的弦長問題弦長公式:,其長度為.例12.已知一雙曲線中心在原點，焦點在軸，直線與雙曲線所截得的弦長為,且以為直徑的圓過原點，求雙曲線的方程.題型6雙曲線的中點弦問題“由弦的中點坐標，求弦所在的直線方程或相關(guān)問題，叫做中點弦問題”根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，得到一個關(guān)于的一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式解決問題.點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入雙曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系；已知，是雙曲線上的兩個不同的點，是線段的中點，②①則由①-②，得，②①變形得，即.共線法：利用中點坐標公式，如果弦的中點為，設(shè)其一交點為，則另一交點為，則，作差即得所求直線方程.例13.過點作直線交雙曲線于兩點，且點恰為線段中點，則直線的方