大學(xué)物理相對論練習(xí)題

相對論基礎(chǔ)相對論基礎(chǔ)愛因斯坦習(xí)題總目錄結(jié)束5-15-25-35-45-55-65-75-85-95-105-115-125-135-145-155-165-175-185-195-205-215-225-23相對論習(xí)題習(xí)題總目錄5-1一個質(zhì)點，在慣性系K′中作勻速圓周運動，軌道方程為：試證：在慣性系K中的觀察者測得該質(zhì)點作橢圓運動，橢圓的中心以速度u移動。a2′x=+′y220=′z結(jié)束目錄解：設(shè)K′系相對K系以速度v沿x軸正向運動，由洛侖茲坐標(biāo)變換a2′x=+′y220=′z代入式t=xx′vv21c2′=zz′=yz2y=+txvv21c22a2在K系中的觀察者測得該質(zhì)點作橢圓運動，橢圓的中心以速度v移動。2y=+txvv21c22a2a()1結(jié)束目錄5-2一觀察者測得運動著的米尺長0.5m，問此尺以多大的速度接近觀察者？結(jié)束目錄l0v21c2=l10.5c2==c0l21l2=v0.08c=2.6×108m/s解：由長度收縮公式：結(jié)束目錄5-3一張宣傳畫5m見方，平行地貼于鐵路旁邊的墻上，一高速列車以2×108m/s速度接近此宣傳畫，這張畫由司機測量將成為什么樣子？結(jié)束目錄2353.7m2()l0v21c2=l=1=hl0==5解：由長度收縮公式：畫面的尺寸為5×3.7m2結(jié)束目錄5-4遠(yuǎn)方的一顆星以0.8c的速度離開我們，接受到它輻射出來的閃光按5晝夜的周期變化，求固定在此星上的參考系測得的閃光周期。結(jié)束目錄解：固定在此星上的參照系測得的閃光周期為固有時間τ0時間Δt=5既包括地球上測得的閃光周期在此星上測得的閃光周期為5/3晝夜結(jié)束目錄τtΔ=vcτ+τ0=v21c2τ=tΔvc+1()v21c2510.82=1+0.8=35tΔ=vcτ+1()τ,還包括光信號傳遞的時間vτ/c

，即：5-5假設(shè)宇宙飛船從地球射出，沿直線到達(dá)月球，距離是3.84×108m，它的速率在地球上被量得為0.30c。根據(jù)地球上的時鐘，這次旅行花多長時間？根據(jù)宇宙飛船所做的測量，地球和月球的距離是多少？怎樣根據(jù)這個算得的距離，求出宇宙飛船上時鐘所讀出的旅行時間？結(jié)束目錄3.84×108HtvΔ0===0.3×3.0×1084.27s解：設(shè)地球至月球的距離為H0,飛船的速度為v,地球上的觀察者測得飛船從地球到月球的時間為Δt在飛船上測量，地球到月球的距離H為H0=v21c2H3.67×108m==3.84×10221-0.3在飛船上測量，飛船的旅行時間為：′3.67×108HtvΔ===0.3×3.0×1084.08s結(jié)束目錄飛船的飛行時間也可以這樣求得：對于飛船上的觀察者來說，從地球出發(fā)及到達(dá)月球這兩事件都發(fā)生在飛船上，他所測得的時間為固有時間τ0由時間膨脹公式可得:4.08s4.2710.32==結(jié)束目錄τtΔ0=v21c25-6在K系中觀察到兩個事件同時發(fā)生在x軸上，其間距離是1m，在K′系中觀察這兩個事件之間的空間距離是2m，求在K′系中這兩個事件的時間間隔。結(jié)束目錄vc23=vΔx′v21c2=ΔxΔt解：設(shè)K′系相對于K系以速度v沿x軸正向運動,K系中觀測到兩事件同時發(fā)生Δt=0，空間間隔Δx=1m；K′系中觀測到這兩事件發(fā)生的時間間隔為Δt′，空間間隔Δx′=2m。0=Δt12=Δx′v21c2=Δx解得：結(jié)束目錄0.577×10-8s=′Δt′=v21c2ΔtvΔtc2()=×20c231c2所以在K′系中觀測兩事件相隔0.577×10-8s發(fā)生。若K′系相對于K系沿x軸負(fù)向運動，則,Δt′=0.577×10-8s=c23v結(jié)束目錄5-7在K系中觀察到的兩事件發(fā)生在空間同一地點，第二事件發(fā)生在第一事件以后2s。在另一相對K系運動的K′系中觀察到第二事件是在第一事件3s之后發(fā)生的，求在K′系中測量兩事件之間的位置距離。結(jié)束目錄2s==τtΔ0tΔ=′3svΔx′v21c2=ΔxΔt=×230±c352()=±6.71×108m0Δx=解：由已知條件τtΔ0=v21c2′由時間膨脹公式：c()=12τ0tΔ′±=±c35v可得：所以在K′系測得兩事件發(fā)生的空間間隔為：±6.71×108m結(jié)束目錄5-8π+介于是一不穩(wěn)定粒于，平均壽命是2.6×l0-8s（在它自己參考系中測得）．（1）如果此粒于相對于實驗室以0.8c的速度運動，那么實驗室坐標(biāo)系中測量的π+介子壽命為多長？（2）π+介于在衰變前運動了多長距離？結(jié)束目錄解：由已知條件可得π+介子衰變的固有時間為：(1)在實驗室中觀測到π+介子的壽命為：2.6×10-8s=τ0τtΔ0=v21c2=2.6×10-810.824.33×10-8s=(2)在實驗室坐標(biāo)系中觀測到π+介子的飛行距離為：10.4m=LtvΔ==0.8×3.0×108×4.33×108結(jié)束目錄5-9地球上一觀察者，看見一飛船A以速度2.5×l03m／s從他身邊飛過，另一飛船B以速度2.0×l08m／s跟隨A飛行。求：（1）A上的乘客看到B的相對速度；（2）B上的乘客看到A的相對速度。中國航天A中國航天B結(jié)束目錄1u=xvvc2uxux′=1.125×108m/s

2.5×108=2.0×1089.0×1016×2.5×1082.0×1081=ux2.0×108m/s

=v2.5×108m/s

解：(1)設(shè)地球為K系，飛船A為K′系。由已知條件可知K′系相對K系是速度為飛船B在K系中的速度為飛船B在K′系中的速度為中國航天A中國航天BK′Kuvx結(jié)束目錄(2)設(shè)地球為K系，飛船B為K′系。由已知條件可知K′系相對K系是速度為=ux2.5×108m/s

=v2.0×108m/s

飛船A在K系中的速度為1u=xvvc2uxux′=1.125×108m/s

2.0×108=2.5×1089.0×1016×2.0×1082.5×1081飛船A在K′系中的速度為中國航天A中國航天BKuxK′vux′結(jié)束目錄5-10二只宇宙飛船相對某遙遠(yuǎn)的恒星以0.8c的速率向相反方向移開。試用速度變換法則證明，二飛船的相對速度是1.6c/1.64，并與們利略變換所得的結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)束目錄1u=xvvc2uxux′(2)設(shè)恒星為K系，飛船A為K′系。由已知條件可知K′系相對K系是速度為：飛船B在K系中的速度為：飛船B在K′系中的速度為：=v0.8c=ux0.8c=+0.8c0.8c0.8c()2c21=0.98c而根據(jù)咖利略速度變換u=xvux′>c==0.8c0.8c1.6c結(jié)束目錄5-11一原子核以0.5c的速度離開一觀察者而運動。原子核在它運動方向上向前發(fā)射一電子，該電子相對于核有0.8c的速度；此原子核又向后發(fā)射了一光子指向觀察者。對靜止觀察者來講，（1）電子具有多大的速度；（2）光子具有多大的速度。結(jié)束目錄解：設(shè)觀測者為K系，原子核為K′系。電子在K′系中的速度為：K′系相對K系是速度為：0.8c=ux′=v0.5c+×=+0.8c0.5c0.81=0.50.93c++1u=xvvc2uxux′′電子在K

系中的速度為：根據(jù)光速不便原理，光子的速度為c。結(jié)束目錄5-12一光源在K′坐標(biāo)系的原點0″發(fā)出一光線。光線在x′y′平面內(nèi)與x′軸的交角為θ′。設(shè)K′相對K以速度u沿x軸運動。試求在K坐標(biāo)中看到這光線的傳播方向。結(jié)束目錄′++1u=xvvc2uxux′′qccos′=ux′0=uzsinqc′′=uy++1vvc2ux′qccos′=()′+1u=yvc2uxuy′gsinqc′v21c2+1vc2ux′=解：設(shè)該一光線在K系x軸的交角為θ。光子在K′系中的速度為：在K系中觀察=tgquyuxsinqc′v21c2+vqccos′=結(jié)束目錄5-13如一觀察者測出電子質(zhì)量為2m。，問電子速度為多少？（m。為電子的靜止質(zhì)量）結(jié)束目錄21=v21c20.866vc==23c2m0=v21c2m0解：結(jié)束目錄5-14某人測得一靜止棒長為人質(zhì)量為m，于是求得此棒線密度為ρ=m/l。假定此棒以速度v在棒長方向上運動，此人再測棒的線密度應(yīng)為多少，若棒在垂直長度方向上運動，它的線密度又為多少？結(jié)束目錄=ρv21c2m′=v21c2ml′=v21c2l解：(1)ρ=′′l′mmρ=′lv21c2()解得：結(jié)束目錄m′=v21c2m=v21c2ρl′=l(2)ρ=′′l′mmρ=′lv21c2解得：結(jié)束目錄5-15設(shè)有一靜止質(zhì)量為m0

、帶電荷量為q的粒子，其初速為零，在均勻電場E中加速，在時刻t時它所獲得的速度是多少？如果不考慮相對論效應(yīng)，它的速度又是多少？這兩個速度間有什么關(guān)系？討論之。結(jié)束目錄mv0=v21c22Etq22mv0=v21c222=+2Etq22c22Etq22mc022v2=+Etqc2Etq22mc022vEtq=mv0若不考慮相對論效應(yīng)Etq=mv0Etq=mv解：結(jié)束目錄5-16設(shè)電子的速度為(1)1.0×106m/s;(2)2.0×108m/s,試計算電子的動能各是多少？如用經(jīng)典力學(xué)公式計算電子動能又各為多少？結(jié)束目錄Emck112=mc02=v21c2mc02mc021()=v21c2mc021=4.55×10-19J=×0.511×106×1.602×10-19()11213001解：(1)按《相對論》計算當(dāng)電子的速度為v1=1.0×106m/s時的動能結(jié)束目錄Emck222=mc02=v21c2mc02mc021()=v21c2mc021=2.79×10-14J=×0.511×106×1.602×10-19()11213.02.0當(dāng)電子的速度為v2=1.0×108m/s時的動能結(jié)束目錄(2)按《經(jīng)典力學(xué)》計算mv12021Ek1==21×9.1×10-31×

(1.0×106)2=1.82×10-14J=4.55×10-19J=×9.1×10-31×

(1.0×108)221mv22021Ek2=結(jié)束目錄5-17兩個氖核組成質(zhì)量數(shù)為4、原子量為4.0015u的氦核。試計算氦核放出的結(jié)合能。結(jié)束目錄m0=2.0136u1u=1.658×10-27kg2=EΔΔmc=1.602×10-19×1.658×10-27×9.0×10162×2.01364.0015()=23.9×106eV=23.9MeVEHeΔ2++H2H4解：氘核靜止質(zhì)量其中u為原子質(zhì)量單位結(jié)束目錄5-18太陽由于向四面空間輻射能量，每秒損失了質(zhì)量4×109kg。求太陽的輻射功率。結(jié)束目錄=3.6×1026

J/s=3.6×1026

W4×109×(3×108)=21P==2ΔmcΔt2Δmc解：結(jié)束目錄5-19在什么速度下粒子的動量比非相對論動量大兩倍？在什么速度下的動能等于它的靜止能量？結(jié)束目錄=m0v21c2c2m0c2Ek=E0當(dāng)時()=v21c2m0c211m0c2Emck2=mc02(2)2mv0=v21c2mv0(1)由題意解：0.08c==v2.6×108

m/s解得=E0m0c2解得0.866vc==23c結(jié)束目錄5-20一個電子從靜止開始加速到0.1c的速度，需要對它作多少功？速度從0.9c加速到0.99c又要作多少功？結(jié)束目錄=v21c2mc02mc02()=v21c2m0c211()=1110.12×0.511×106=2.57×103eV=keV2.57=mc2mc02A解：(1)結(jié)束目錄=2.45×103eV=keV2.45(2)=mc2mc12A2()=v21c2m0c212v21c211()=110.992×0.511×106110.92結(jié)束目錄5-21設(shè)有一π+介子，在靜止下來后，衰變?yōu)棣?子和中微子ν，三者的靜止質(zhì)量分別為mπ，mμ和0。求μ+子和中微子的動能。結(jié)束目錄nEkn中微子的動能為解：πmc2介子的靜能為設(shè)π+mcm2Ekmm+介子的靜能為動能為Pmm+介子的動量為Pn中微子的動量為由能量守恒和動量守恒可得2()+Emckm2=+mPmc22mcm42πEmckm2=++mc2mEkn0P=mPn=Ek2Pc22nn結(jié)束目錄2()+Emckm2=+mPmc22mcm42πEmckm2=++mc2mEkn0P=mPn=Ek2Pc22nn(1)(4)(3)(2)22=Pmmcm2Ek+mEkmc由式(3)可得：n=PnEkc由式(4)可得：=Ekn22mcm2Ek+mEkm代入式(4)可得：將上式代入式(1)可得：22mcm2Ek+mEkmπEmckm2=++mc2m結(jié)束目錄=πmcm2m()2πm2Ekm=Eknπmcm2m()2πm2222mcm2Ek+mEkmπEmckm2=++mc2m經(jīng)整理后可得：代入式(1)可得：結(jié)束目錄5-22一中性π介子相對于觀察者以速度v=kc運動，后衰變?yōu)閮蓚€光子。兩光子的運動軌跡與π介子原來方向成相等的角度θ（見題圖）．證明：（1）兩光子有相等的能量；（2）cosθ

=k。結(jié)束目錄nqhmv10cos=+k21cnh2cqcossin=qnh1+cnh2csinq0qqyxvπg(shù)g21解：由動量守恒和能量守恒得：+nh1nh2mc0=k212結(jié)束目錄nqhm0cos=k21ckc2nqhmv10cos=+k21cnh2cqcossin=qnh1+cnh2csinq0+nh1nh2mc0=k212(1)(2)(3)n1n2=n=由式(2)可得：所以兩光子能量相等v=kc把及代入式(1)、(3)可得：n1n2=n=nhmc0=k2122=kqcos結(jié)束目錄5-23質(zhì)量為m0的一個受激原子，靜止在參考系K中，因發(fā)射一個光子而反沖，原子的內(nèi)能減少了ΔE，而光子的能量為hν。試證：m0c2=nh()EΔEΔ21結(jié)束目錄EΔ=′m0c2m0c2令βvc=′m0解：設(shè)反沖原子的靜質(zhì)量為速率為v由動量守恒、能量守恒及已知條件可得：′+nh=m0c2m0v21c2c2(1)c=nh′m0v21c2v(2)EΔ=′m0c2m0c2(3)由式(3)可得：結(jié)束目錄()=+()nhEΔm0c2c2m0c2EΔm0c2()+nh2EΔm0c222c2m0c2=nh()EΔEΔ21=nh()+nh2EΔm0c222m0c2()+nh21β2EΔ=m0c2EΔm0c222′m0將代入式(2)可得：′m0將及上式代入式(2)可得：經(jīng)整理后得：結(jié)束目錄習(xí)題總目錄πρτφ<>1234567890.òβaqaABCDEFGKMNPHLOIJgzxnsfhmrtuvyelpcbdkjiomΔΣ1203dijkzxyoacbdsincos?1′v221v22T∵∴m1MAmA≤≥π2()1β2v21c2xdtd′xdtd′t=xx′vv21c2x=tt′vv21c2c21u=xvvc2uxux′×====××××××()()()()()()============+++++++++++++++++++++++++++++++++++×××××××gv21c22.6×108

m/s123456789101112141516171819202122231324

5-24假定觀察者o測得兩個事件相距3.6×108米、相隔2秒發(fā)生。發(fā)生這兩個事件之間的固有時間是多少？′πρτφ<>1234567890.òβaqaABCDEFGKMNPHLOIJgzxnsfhmrtuvyelpcbdkjiomΔΣ1203dijkzxyoacbdsincos?1′v221v22T∵∴m1MAmA≤≥π2()t=xxvv21c2x=tt′vv21c2c2×====××××××()()()()()()============+++++++++++++++++++++++++++++++++++×××××××g2.6×108

m/s2′25-25宇宙飛船A和B的靜止長度分別是90米和200米，如兩者相向飛行，宇宙飛船A中的宇航員測定出宇宙飛船B的頭部越過A的長度須5×10-7秒。這兩艘宇宙飛船的相對速度是多少？若按照B頭部的一個宇航員的測定，通過A的頭尾之間的時間間隔是多少？πρτφ<>1234567890.òβaqaABCDEFGKMNPHLOIJgzxnsfhmrtuvyelpcbdkjiomΔΣ1203dijkzxyoacbdsincos?1′v221v22T∵∴m1MAmA≤≥π2()1β2v21c2xdtd′xdtd′t=xx′vv21c2x=tt′vv21c2c21u=xvvc2uxux′×====××××××()()()()()()============+++++++++++++++++++++++++++++++++++×××××××gv21c22.6×108

m/s5-26

O和O′的相對速度是0.8c。在t′=2×10-7秒時，一粒高速子彈由x′=100m米處射出,該子彈以一恒定速度向負(fù)x′方向飛行，在6×10-7s時擊中x′原點的一個靶子。按O