線性系統(tǒng)理論第6章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合

第6章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合

6．1引言綜合問題的提法系統(tǒng)的綜合問題由受控系統(tǒng)，性能指標(biāo)和控制輸入三個要素組成所謂系統(tǒng)綜合，就是對給定受控系統(tǒng)，確定反饋形式的控制，使所導(dǎo)出閉環(huán)系統(tǒng)的運動行為達(dá)到或優(yōu)于指定的期望性能指標(biāo)性能指標(biāo)的類型1/1,1/406．2狀態(tài)反饋和輸出反饋

狀態(tài)反饋設(shè)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)反饋下受控系統(tǒng)的輸入為：u=-Kx+υ，K∈Rp×n，反饋系統(tǒng)∑xf的狀態(tài)空間描述為：B∫CAK結(jié)論1：對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)反饋保持能控性，不保持能觀測性。1/3,2/40輸出反饋設(shè)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)輸出反饋下受控系統(tǒng)輸入u=-Fy+υ,F∈Rp×q

B∫CAF輸出反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：結(jié)論2：對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，輸出反饋保持能控性和能觀測性。2/3,3/40狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較

反饋原理：狀態(tài)反饋為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的完全反饋，輸出反饋則是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的不完全反饋。反饋功能：狀態(tài)反饋在功能上遠(yuǎn)優(yōu)于輸出反饋。改善輸出反饋的途徑：擴(kuò)展輸出反饋（動態(tài)輸出反饋）反饋實現(xiàn)上：輸出反饋要優(yōu)越于狀態(tài)反饋。解決狀態(tài)反饋物理實現(xiàn)的途徑：引入狀態(tài)觀測器擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)反饋和擴(kuò)展輸出反饋的等價性。3/3,4/406．3狀態(tài)反饋極點配置：單輸入情形

極點配置定理對單輸入n維連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)系統(tǒng)全部n個極點可任意配置的充分必要條件為（A，b）完全能控。極點配置算法step1.判別（A，b）能控性step2.計算矩陣A特征多項式det(sI-A)=α(s)=sn+αn-1sn-1+…+α1s+α0step3.計算由期望閉環(huán)特征值決定的特征多項式step41/4,5/40step5step6.Q=P-1step7step8停止計算2/4,6/40例1連續(xù)時間線性時不變狀態(tài)方程為期望閉環(huán)極點為計算狀態(tài)反饋陣K解容易判斷系統(tǒng)能控計算由期望閉環(huán)極點組決定的特征多項式3/4,7/40計算4/4,8/406．4狀態(tài)反饋極點配置：多輸入情況

極點配置定理：對多輸入n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋任意配置全部n個極點的充分必要條件為{A,B}完全能控。極點配置算法：給定n維多輸入連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng){A,B}和一組任意期望閉環(huán)特征值要求確定一個p×n狀態(tài)反饋矩陣K，使step1.判斷A的循環(huán)性，若非循環(huán)，選取一個p×n實常陣K1，使為循環(huán)；若循環(huán)，表step2:選取一個p×1實常量ρ，有b=Bρ使為完全能控step3.對等價單輸入系統(tǒng)利用單輸入情形極點配置算法，計算狀態(tài)反饋向量k。step4.對A為循環(huán)，K＝ρk對A為非循環(huán)，K＝ρk＋K11/2,9/40step5停止計算狀態(tài)反饋對系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣零點的影響結(jié)論：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋任意配置傳遞函數(shù)全部n個極點的同時，一般不影響其零點。結(jié)論：對完全能控n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)反饋在配置傳遞函數(shù)矩陣全部n個極點同時，一般不影響其零點。定義：設(shè)完全能控多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)

其傳遞函數(shù)矩陣G(s)=C(sI-A)-1B,G(s)的極點為其特征方程式的根。零點定義使得的所有s值2/2,10/406.5輸出反饋極點配置結(jié)論：對完全能控連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)采用輸出反饋一般不能任意配置系統(tǒng)全部極點。結(jié)論：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)采用輸出反饋只能使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置到根軌跡上，而不能任意配置到根軌跡以外位置上。1/1,11/406.6狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定所謂狀態(tài)鎮(zhèn)定問題就是：對給定時間線性時不變受控系統(tǒng)，找到一個狀態(tài)反饋型控制律使所導(dǎo)出的狀態(tài)反饋型閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，即系統(tǒng)閉環(huán)特征值均具有負(fù)實部。結(jié)論：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)不能控部分為為漸近穩(wěn)定結(jié)論：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的一個充分條件是系統(tǒng)完全能控狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法：Step1判斷(A.B)能控性，若完全能控，去Step4。Step2對(A.B)按能控性分解Step3對能控部分進(jìn)行極點配置Step4計算鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋矩陣Step5計算停止。1/1,12/406.7狀態(tài)反饋動態(tài)解耦問題的提法：設(shè)多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)采用包含輸入變換的狀態(tài)反饋系統(tǒng)B∫CAKL1/9,13/40則系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：所謂動態(tài)解耦控制，就是尋找輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣使得所導(dǎo)出的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為非奇異對角有理分式矩陣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征量

輸出矩陣傳遞函數(shù)矩陣2/9,14/40對連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)特性指數(shù)定義為：對連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)特性向量定義為：可解耦條件結(jié)論：對方連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)，使包含輸入變換狀態(tài)反饋系統(tǒng)可實現(xiàn)動態(tài)解耦的充分必要條件是：基于結(jié)構(gòu)特征向量組成的pхp矩陣E非奇異

3/9,15/40則可導(dǎo)出包含輸入變換狀態(tài)反饋系統(tǒng)這種解耦稱為積分型解耦系統(tǒng)。4/9,16/40動態(tài)解耦控制綜合算法

給定n維方連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)要求綜合一個輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣對{L,K},使系統(tǒng)實現(xiàn)動態(tài)解耦，并使解耦后每個單輸入單輸出系統(tǒng)實現(xiàn)期望極點配置。Step1：計算受控系統(tǒng)(A,B,C)的結(jié)構(gòu)特征量Step2：組成并判斷矩陣E的非奇異性若E為非奇異，即能解耦若E為奇異，則不能解耦。Step3：5/9,17/40Step4：取導(dǎo)出積分型解耦系統(tǒng)Step5：判斷的能觀測性，若不完全能觀測，計算Step6：引入線性非奇異變換化積分型解耦系統(tǒng)為解耦規(guī)范型。對完全能觀測6/9,18/407/9,29/40Step7求Step8：對解耦規(guī)范型選取狀態(tài)反饋矩陣的結(jié)構(gòu)對完全能觀測對不完全能觀測8/9,20/40Step9：根據(jù)指定期望極點組按單輸入情形極點配置法，定出狀態(tài)反饋矩陣Step10：最后得例6.4p2989/9,21/406.8狀態(tài)反饋靜態(tài)解耦問題的提法：設(shè)多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)所謂靜態(tài)解耦，就是綜合一個輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣對使導(dǎo)出的包含輸入變換狀態(tài)反饋系統(tǒng)及其傳遞函數(shù)矩陣滿足：i）閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，即ii）閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣當(dāng)s=0時為非奇異對角常陣，即有1/2,22/40可解耦條件

存在輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣對L,K,其中可使方n維連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)實現(xiàn)靜態(tài)解耦，當(dāng)且僅當(dāng)2/2,23/40靜態(tài)解耦控制綜合算法

2/2,23/406.10線性二次型最優(yōu)控制：有限時間情形線性二次型最優(yōu)控制屬于線性系統(tǒng)綜合理論中最具重要性和最具典型性的一類優(yōu)化型綜合問題。優(yōu)化型綜合問題的特點是需要通過對指定性能指標(biāo)函數(shù)取極大或極小而來導(dǎo)出系統(tǒng)的控制律。LQ問題LQ問題是對線性二次型（linearquadratic）最優(yōu)控制問題的簡稱。L是指受控系統(tǒng)限定為線性系統(tǒng)，Q是指性能指標(biāo)函數(shù)限定為二次型函數(shù)及其積分。2/2,23/40下面，給出線性二次型最優(yōu)控制問題的提法。給定連續(xù)時間線性時變受控系統(tǒng)給定相對于狀態(tài)和控制的二次型性能指標(biāo)函數(shù)：所謂LQ最優(yōu)控制問題就是：尋找一個容許控制，使沿著由初態(tài)x0出發(fā)的相應(yīng)狀態(tài)線x(t)，性能指標(biāo)函數(shù)取為極小值即成立關(guān)系式：進(jìn)而，對于上述LQ問題需要作如下一些說明。2/2,23/40（1）性能指標(biāo)函數(shù)的屬性從數(shù)學(xué)上看，性能指標(biāo)函數(shù)J(u(.))是以函數(shù)u(.)為宗量的一個標(biāo)量函數(shù)。對不同控制函數(shù)u(.)，J(u(.))取為不同標(biāo)量值，所以J(u(.))為函數(shù)u(.)的函數(shù)即泛函。這是因為，盡管J(u(.))直觀上由控制u和狀態(tài)x同時決定，但由狀態(tài)方程可知狀態(tài)x又由控制u所決定，因此J(u(.))實質(zhì)上由且只由控制u所決定。從物理上看，x的二次型函數(shù)積分代表“運動能量”，u的二次型函數(shù)積分代表“控制能量”，因此性能指標(biāo)函數(shù)屬于能量類型的性能指標(biāo)。2/2,23/40對于LQ問題，綜合中面臨的一個基本問題是，如何合理選取性能指標(biāo)函數(shù)中的加權(quán)陣S，Q，R。盡管對應(yīng)不同加權(quán)矩陣，都可使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)；但是加權(quán)矩陣的不同選取，將使最優(yōu)控制系統(tǒng)具有很不相同動態(tài)功能。加權(quán)陣S，Q，R和系統(tǒng)動態(tài)性能間的關(guān)系是一個復(fù)雜的工程，雖已有文獻(xiàn)進(jìn)行過研究，但至今缺少一般的和有效的指導(dǎo)原則，通常只能由設(shè)計者根據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行選取。（2）加權(quán)陣的選取2/2,23/40在LQ問題中，所謂容許控制u是滿足狀態(tài)方程解存在唯一性條件的所有類型的控制，而對控制u的取值范圍沒有加以任何限制?；嗽颍贚Q問題的討論中，通常總是認(rèn)為控制u取值于即有。（3）容許控制的特點（4）最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線對于LQ 問題，通常稱使性能指標(biāo)函數(shù)取極小值的控制即由（6.249）導(dǎo)出的控制為最優(yōu)控制，系統(tǒng)狀態(tài)方程以為輸入導(dǎo)出的解為最優(yōu)軌線，對應(yīng)的性能值為最優(yōu)性能。2/2,23/40（5）極值化的類型對于LQ問題，基于把二次型性能指標(biāo)看成為能量類型性能指標(biāo)，習(xí)慣地采用極小化類型優(yōu)化形式。工程上，究竟采用極小化還是極大化，取決于性能指標(biāo)的物理內(nèi)涵。若性能指標(biāo)含義為收益、利潤等，自然應(yīng)當(dāng)采用極大化類型優(yōu)化形式；若性能指標(biāo)含義為能耗、花費等，那么就應(yīng)采用極小化類型優(yōu)化形式。并且，任何極大化性能指標(biāo)必可轉(zhuǎn)化為極小化性能指標(biāo)?；嗽?，本節(jié)限于討論極小化類型的LQ問題。2/2,23/40（6）最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)

數(shù)學(xué)上，LQ最優(yōu)控制問題歸結(jié)為性能指標(biāo)泛函的有約束極值問題。即對給定的一個性能指標(biāo)泛函，在系統(tǒng)狀態(tài)方程的約束下，通過對相對于容許控制u求J(u(.))的極值以確定最優(yōu)控制u*(.)。通常，變分法是求解這類形式泛函極值問題的基本工具。（7）最優(yōu)控制問題按末時刻的分類在LQ問題中，按運動過程的末時刻情形，可分類為“有限時間LQ問題”和“無限時間LQ問題”。對有限時間LQ問題，末時刻為有限值且為固定；對無限時間LQ問題，末時刻為。2/2,23/40（8）調(diào)節(jié)問題和跟蹤問題

從控制工程的角度，可把LQ最優(yōu)控制問題分類為“最優(yōu)調(diào)節(jié)問題”和“最優(yōu)跟蹤問題”。最優(yōu)調(diào)節(jié)問題的目標(biāo)是綜合最優(yōu)控制，在保證性能指標(biāo)的泛函取為極小的同時，使系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)驅(qū)動到零平衡狀態(tài)。最優(yōu)跟蹤問題的目標(biāo)是綜合最優(yōu)控制，在保證性能指標(biāo)泛函取為極小的同時，使系統(tǒng)輸出跟蹤已知或未知參考輸入。2/2,23/40有限時間LQ問題的最優(yōu)解首先，討論有限時間時變LQ問題的最優(yōu)解?？紤]時變LQ調(diào)節(jié)問題：2/2,23/40有限時間時變LQ問題的最優(yōu)解，和由如下結(jié)論給出：2/2,23/402/2,23/402/2,23/40其次，求解無條件極值問題（6.256）。為此，通過引入哈米爾頓（Hamilton）函數(shù)：把式（6.256）進(jìn)而表為2/2,23/40為找出J(u(·))取極小應(yīng)滿足條件，需要先找出由的變分引起的J(u(·))的變分。其中，為函數(shù)的增量函數(shù)，定義為增量的主部。注意到末時刻為固定，并由狀態(tài)方程知，只連鎖引起和。由此，為確定應(yīng)同時考慮，和的影響?；?，有2/2,23/40將上式化簡，可以導(dǎo)出：而據(jù)變分法知，J（u*（.））取極小必要條件為由此，并考慮到的任意性，由式(6.261)可推導(dǎo)出：2/2,23/40再之，推證矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠?。為此，利用式?.264）和（6.257），有2/2,23/402/2,23/40可以看出，式（6.272）和式（6.273）即為所要推導(dǎo)的矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠?。最后，證明最優(yōu)控制的關(guān)系式（6.253）。為此，將和的線性關(guān)系式（6.269）代入式（6.266），即可證得：從而，必要性得證。再證充分性。已知即（6.253）成立，欲證為最優(yōu)控制。首先，引入如下恒等式：2/2,23/40進(jìn)而，利用狀態(tài)方程（6.250）和矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠蹋?.252），可把上式進(jìn)而改寫為2/2,23/40再對上式作“配平方”處理，又可得到：基此，并注意到,可以導(dǎo)出：2/2,23/402/2,23/402/2,23/40(1)最優(yōu)化控制的唯一性結(jié)論6.32[最優(yōu)控制存在唯一性]給定有限時間時變LQ調(diào)節(jié)問題（6.250）和（6.251），最優(yōu)控制必存在唯一，即為2/2,23/40(2)最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性結(jié)論6.33[最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性]對有限時間時變LQ調(diào)節(jié)問題（6.250）和（6.251），最優(yōu)控制具有狀態(tài)反饋形式，狀態(tài)反饋矩陣為（6.279）2/2,23/40(3)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述結(jié)論6.34[狀態(tài)空間描述]對有限時間時變LQ調(diào)節(jié)問題（6.250）和（6.251），最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為（6.280）系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖6.11所示。圖略

2/2,23/40進(jìn)而，討論有限時間時不變LQ問題的最優(yōu)解?？紤]時不變LQ調(diào)節(jié)問題：（6.281）（6.282）其中，x為n維狀態(tài)，u為p維輸入，A和B為相應(yīng)維數(shù)系數(shù)矩陣，加權(quán)矩陣

2/2,23/402/2,23/402/2,23/40最優(yōu)性能值為對于有限時間時不變LQ問題，最優(yōu)控制和調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有如下的一些基本屬性。（1）最優(yōu)控制的惟一性結(jié)論6.36[最優(yōu)控制存在惟一性]給定有限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題(6.281)和（6.282），最優(yōu)控制必存在且惟一，即為（2）最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性

2/2,23/40結(jié)論6.37[最優(yōu)控制狀態(tài)反饋屬性]對有限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題（6.281）和（6.282），最優(yōu)控制具有狀態(tài)反饋形式，狀態(tài)反饋矩陣為（3）最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述結(jié)論6.38[狀態(tài)空間描述]對有限時間時不變LQ的調(diào)節(jié)問題（6.281）和（6.282），最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)不再保持為時不變，狀態(tài)空間描述為2/2,23/406.11線性二次型最優(yōu)控制：無限時間情形無限時間LQ問題是指末時刻的一類LQ問題和無限時間LQ問題的直觀區(qū)別在于，前者只考慮系統(tǒng)在過渡過程中的最優(yōu)運行，后者還需考慮系統(tǒng)趨于平衡狀態(tài)時的漸近行為。在控制工程中，無限時間LQ問題通常更有意義和更為實用。2/2,23/40無限時間LQ問題的最優(yōu)解基于工程背景和理論研究的實際，對無限時間LQ問題需要引入一些附加限定：一是，受控系統(tǒng)限定為線性時不變系統(tǒng)。二是，由調(diào)節(jié)問題平衡狀態(tài)為xe=0和最優(yōu)控制系統(tǒng)前提為漸近穩(wěn)定所決定，性能指標(biāo)泛函中無需再考慮相對于末狀態(tài)的二次項。三是，對受控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性和性能指標(biāo)加權(quán)矩陣需要另加假定。2/2,23/40基此，考慮無限時間時不變LQ問題為：其中，x為n維狀態(tài)，u為p維輸入，A和B為相應(yīng)維數(shù)系數(shù)矩陣，{A,B}為完全能控，對加權(quán)陣有2/2,23/40下面給出無限時間時不變LQ問題的最優(yōu)解以及相關(guān)的一些結(jié)論：(1)矩陣?yán)杩ㄌ岱匠探怅嚨奶匦詫o限時間時不變LQ問題（6.289）和（6.290），基于上一節(jié)中的分析可知，對應(yīng)的矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠叹哂行问剑?/2,23/40性質(zhì)2：對任意，解陣當(dāng)末時刻的極限必存在，即

2/2,23/40性質(zhì)3：解陣當(dāng)末時刻的極限為不依賴與t的一個常陣，即

性質(zhì)4：常陣為下列無限時間時不變LQ問題的矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程的解陣：

性質(zhì)5：矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程（6.295），在“或且完全能觀測”條件下，必有唯一正定對稱解陣P.2/2,23/40(2)無限時間時不變LQ問題的最優(yōu)解

結(jié)論6.39[無限時間LQ最優(yōu)解]給定無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題（6.289）和（6.290），組成對應(yīng)的矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程（6.295），解陣P為正定對稱陣。則為最優(yōu)控制的充分必要條件是具有形式：最優(yōu)軌線為下述狀態(tài)方程的解：

最優(yōu)性能值為2/2,23/40(3)

最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性結(jié)論6.40[最優(yōu)控制狀態(tài)反饋屬性]對無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題（6.289)和（6.290),最優(yōu)控制具有狀態(tài)反饋的形式，狀態(tài)反饋矩陣為(4)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

結(jié)論6.41[狀態(tài)空間描述]對無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題（6.289)和（6.290)，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)保持為時不變，狀態(tài)空間描述為

2/2,23/40穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性

無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題由于需要考慮的系統(tǒng)運動行為，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)將會面臨穩(wěn)定性問題。下面，就漸近穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性兩類情形，給出相應(yīng)的結(jié)論。

（1）最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性

結(jié)論6.42[最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性]對無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題（6.289)和(6.290),其中“R>0,Q>0”或“

2/2,23/40證就兩種情形分別進(jìn)行證明首先，對“R>0,Q>0”情形證明結(jié)論。對此，由矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程（6.295）解陣P為正定，取候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)=xPx,且知V(x)>0?；耍⒗镁仃?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程（6.295），可以導(dǎo)出V(x)沿系統(tǒng)軌線對t的導(dǎo)數(shù)為2/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/40（2）最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性在無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題性能指標(biāo)中同時引入對運動和控制的指定指數(shù)衰減度，可歸結(jié)為使最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有期望的指數(shù)穩(wěn)定性。對此情形，問題的描述具有形式：2/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/40且若（A，B）為完全能控，也為完全能控，對標(biāo)準(zhǔn)形式無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題（6.313）和（6.314），前已證明，最優(yōu)控制具有形式：，其中,n*n正定對稱矩陣P為如下矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程的解陣：2/2,23/40利用還可以導(dǎo)出指定指數(shù)衰減度的無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題（6.306）的最優(yōu)控制為2/2,23/40(4)扇行條件的幾何解釋結(jié)論6.50[扇行條件幾何解釋]對單輸入無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題，引入于最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)反饋通道中的向量非線形攝動且也為標(biāo)量。相應(yīng)地，非線性容限的扇形條件（6.340）化為形式：2/2,23/40最優(yōu)跟蹤問題最優(yōu)跟蹤問題是對最優(yōu)調(diào)節(jié)問題的一個自然的推廣。本部分是對最優(yōu)跟蹤問題的一個簡要的討論并將問題和結(jié)果歸納的成為以下幾個方面。（1）最優(yōu)跟蹤問題的提法考慮連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)：

2/2,23/40設(shè)系統(tǒng)輸出y跟蹤參考輸入，為如下穩(wěn)定連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的輸出：

其中。假定(A,B)為完全能控，(A,C)為完全能觀測，為滿秩陣，(F,H)為完全能觀測。2/2,23/40進(jìn)而，引入一個二次型性能指標(biāo)：其中，加權(quán)矩陣為正半定對稱陣，為正定對稱陣。所謂最優(yōu)跟蹤問題就是，對受控系統(tǒng)（6.346）和參考輸入模型（6.347），由相對于（6.348）所示的性能指標(biāo)，尋找一個控制使輸入y跟蹤參考輸入同時，有2/2,23/40(2)等價調(diào)節(jié)問題及其最優(yōu)解求解最優(yōu)跟蹤問題的簡便途徑是直接借鑒利用最優(yōu)解調(diào)節(jié)問題結(jié)果?；舅悸肥?，首先將跟蹤問題（6.346）~（6.368）化為等價調(diào)節(jié)問題，進(jìn)而對等價調(diào)節(jié)問題直接利用最優(yōu)調(diào)節(jié)問題有關(guān)結(jié)果，最后基此導(dǎo)出相對于跟蹤問題的對應(yīng)討論。2/2,23/40首先，導(dǎo)出跟蹤問題的等價調(diào)節(jié)問題。對此，定義如下增廣狀態(tài)和增廣矩陣：對應(yīng)地，定義等價調(diào)節(jié)問題性能指標(biāo)中的加權(quán)矩陣：2/2,23/40基此，容易證明，給定跟蹤問題的等價調(diào)節(jié)問題為2/2,23/40其中，由于（A，C）能控和參考輸入模型為穩(wěn)定可知為能穩(wěn)，由（A，C）和（F，H）的能觀測及可保證為正半定，而按假定為正定進(jìn)而，求解最優(yōu)等價調(diào)節(jié)問題。對此，直接運用最優(yōu)調(diào)節(jié)問題基本結(jié)論可知，對無限時間時不變LQ調(diào)節(jié)問題（6.352），最優(yōu)控制u*(.)為2/2,23/40最優(yōu)軌線為如下閉環(huán)狀態(tài)方程的解最優(yōu)性能值為其中，為如下矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程的唯一正定對稱解陣：2/2,23/40（3）跟蹤問題的最優(yōu)解結(jié)論6.51[跟蹤問題最優(yōu)解]對由連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)（6.346）~（6.347）和二次型性能指標(biāo)（6.348）組成的跟蹤問題，將等價最優(yōu)調(diào)節(jié)問題的矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程解陣作分塊化表示：2/2,23/40其中，

分別為如下矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程的解陣：2/2,23/40則最優(yōu)跟蹤控制U*(.)為最優(yōu)性能值J*為2/2,23/40證考慮到最優(yōu)跟蹤問題與等價最優(yōu)調(diào)節(jié)問題在控制和性能上的等價性，有2/2,23/40而等價最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定意味著，最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)也為漸近穩(wěn)定。從而，跟蹤誤差向量必漸近趨于零。證明完成。（4）最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

基于跟蹤問題最優(yōu)解的結(jié)論，可容易地導(dǎo)出最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如圖6.20所示。HC2/2,23/40矩陣?yán)杩ㄌ岱匠痰那蠼獠还苡邢迺r間LQ調(diào)節(jié)問題還是無限時間LQ調(diào)節(jié)問題，面臨的一個共同問題是求解矩陣?yán)杩ㄌ岱匠?。對于一般情形，不管矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠踢€是矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程，都不可能找到基于受控系統(tǒng)系數(shù)矩陣和性能指標(biāo)加權(quán)矩陣的解陣顯示表達(dá)式。在過去幾十年中，基于理論上和應(yīng)用上的需要，求解矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎只虼鷶?shù)方程的算法受到廣泛研究。2/2,23/40在已經(jīng)提出的幾十種數(shù)值算法中，比較重要的有直接數(shù)值解法、舒爾向量法、特征向量法、符號函數(shù)法等。但是，求解實踐證明，各種算法通常只能有效地求解對應(yīng)一類矩陣?yán)杩ㄌ岱匠?。基于MATLAB的求解矩陣卡提微分或代數(shù)方程的軟件也已可供利用。限于本書的范圍，這里不再對矩陣卡提方程的求解算法和相應(yīng)軟件進(jìn)行介紹，有興趣讀者可參閱有關(guān)著作和文獻(xiàn)。2/2,23/406.12全維狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器的引入主要基于實現(xiàn)狀態(tài)反饋的需要。狀態(tài)觀測器按結(jié)構(gòu)可分為全維狀態(tài)觀測器和降維狀態(tài)觀測器兩種基本類型。本節(jié)簡要討論全維觀測器，主要內(nèi)容包括問題的提出、觀測器組成原理、以及觀測器綜合方法等。2/2,23/40狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器（1）狀態(tài)反饋在功能和實現(xiàn)上的矛盾狀態(tài)重構(gòu)即狀態(tài)觀測器的提出，概括的說，主要是為了解決狀態(tài)反饋在性能上的不可替代性和在物理上的不能實現(xiàn)性的矛盾。本章先前各節(jié)中所討論的各類綜合問題，包括極點配置、鎮(zhèn)定、動態(tài)解耦控制、漸近跟蹤和擾動抑制、以及線性二次型最優(yōu)控制等，都有賴于采用狀態(tài)反饋才能實現(xiàn)，這從一方面顯示了狀態(tài)反饋的優(yōu)越性。但是，狀態(tài)作為系統(tǒng)內(nèi)部變量組，或由于不可能全部直接量測?；蛴捎诹繙y手段在經(jīng)濟(jì)性和使用性上限制，使?fàn)顟B(tài)反饋的物理實現(xiàn)成為不可能或很難的問題?；诮鉀Q控制工程中實現(xiàn)的這類矛盾的需要，推動了狀態(tài)重構(gòu)問題的研究，并最終導(dǎo)致狀態(tài)觀測器理論的形成和發(fā)展。2/2,23/40（2）解決狀態(tài)反饋物理構(gòu)成的途徑

從控制理論角度，獲取系統(tǒng)狀態(tài)信息以構(gòu)成狀態(tài)反饋的途徑之一是對受控系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行重構(gòu)。這種途徑的思路是，采用理論分析和對應(yīng)算法的手段，導(dǎo)出在一定意義下等價于原狀態(tài)的一個重構(gòu)狀態(tài)，并用重構(gòu)狀態(tài)代替真實狀態(tài)組成狀態(tài)反饋。2/2,23/40

（3）狀態(tài)重構(gòu)的實質(zhì)狀態(tài)重構(gòu)的實質(zhì)是，對給定確定性線性時不變被觀測系統(tǒng)，構(gòu)造與有相同屬性的一個系統(tǒng)即線性時不變系統(tǒng)，利用中可直接量測的輸出y和輸入u作為的輸入，并使?fàn)顟B(tài)或其變換在一定指標(biāo)提法下等價于狀態(tài)x。等價指標(biāo)的提法通常取為漸近等價，即2/2,23/40并且，稱為狀態(tài)為被觀測系統(tǒng)狀態(tài)的重構(gòu)狀態(tài)，所構(gòu)造系統(tǒng)為被觀測系統(tǒng)的一個狀態(tài)觀測器。對狀態(tài)重構(gòu)含義的直觀說明如圖6.21所示。進(jìn)而，若被觀測系統(tǒng)為包含裝置噪聲和量測噪聲的隨機(jī)線性系統(tǒng)，則實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)需要采用卡爾曼濾波器，稱相應(yīng)重構(gòu)狀態(tài)為被觀測系統(tǒng)狀態(tài)的估計狀態(tài)。對卡爾曼濾波的討論超出本書范圍，有興趣的讀者可參考相應(yīng)著作。2/2,23/40BCA狀態(tài)觀測器2/2,23/40（4）觀測器的分類對線性時不變被觀測系統(tǒng)，觀測器也是一個線性時不變系統(tǒng)。觀測器可按兩種方式進(jìn)行分類。從功能角度，可把觀測器分類為狀態(tài)觀測器和函數(shù)觀測器。狀態(tài)觀測器以重構(gòu)被觀測系統(tǒng)狀態(tài)為目標(biāo)，取重構(gòu)狀態(tài)和被觀測狀態(tài)的漸近等價即式（6.365）為等價指標(biāo)。狀態(tài)觀測器的特點是，當(dāng)即系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時可使重構(gòu)狀態(tài)完全等同于被觀測狀態(tài)。函數(shù)觀測器以重構(gòu)被觀測系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)如反饋線性函數(shù)Kx為目標(biāo)，將等價指標(biāo)取為重構(gòu)輸出w和被觀測狀態(tài)函數(shù)如Kx的漸近等價，即2/2,23/402/2,23/40（1）全維狀態(tài)觀測器的屬性給定n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.367），全維狀態(tài)觀測器也為n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)。并且，取狀態(tài)觀測器的輸入為被觀測系統(tǒng)的輸出y和輸入u，其狀態(tài)為被觀測系統(tǒng)狀態(tài)x的重構(gòu)狀態(tài)，和x滿足如下漸近等價關(guān)系：2/2,23/40（2）全維狀態(tài)觀測器的構(gòu)造思路方案I全維狀態(tài)觀測器在構(gòu)造上有“復(fù)制”和“反饋”合成。復(fù)制就是，基于被觀測系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A，B，C，按相同結(jié)構(gòu)建立一個復(fù)制系統(tǒng)。反饋則指，取被觀測系統(tǒng)輸出y和復(fù)制系統(tǒng)輸出的差值作為修正變量，經(jīng)增益矩陣L反饋到復(fù)制系統(tǒng)中積分器組輸入端以構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。圖6.22給出全維狀態(tài)觀測器的這種構(gòu)造思路。虛線框出的部分為被觀測系統(tǒng)，虛線以外部分為構(gòu)造的全維狀態(tài)觀測器?？梢钥闯觯瑺顟B(tài)觀測器的維數(shù)為n，以被觀測系統(tǒng)的輸出y和輸入u作為輸入，結(jié)構(gòu)上與被觀測系統(tǒng)的唯一區(qū)別是引入由表示的反饋項。2/2,23/40BCABCAL2/2,23/40（3）引入反饋項的必要性表面上看，在全維狀態(tài)觀測器構(gòu)造中，由被觀測系統(tǒng)系數(shù)矩陣A，B，C導(dǎo)出的復(fù)制系統(tǒng)已可實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)。這對于一些理想情形是可行的，且若進(jìn)一步做到使初始狀態(tài)為相等。2/2,23/40即，則理論上應(yīng)當(dāng)可以實現(xiàn)對所有t0有，即實現(xiàn)完全狀態(tài)重構(gòu)。但是，這種開環(huán)型狀態(tài)觀測器在實際應(yīng)用存在三個基本問題。一是，對系統(tǒng)矩陣A包含不穩(wěn)定特征值情形，只要初始狀態(tài)和存在很小偏差，系統(tǒng)狀態(tài)和重構(gòu)狀態(tài)的偏差就會隨t增加而擴(kuò)散或振蕩，不可能滿足漸近等價目標(biāo)。二是，對系統(tǒng)矩陣A為穩(wěn)定情形，盡管系統(tǒng)狀態(tài)和重構(gòu)狀態(tài)最終趨于漸近等價，但收斂速度不能由設(shè)計者按期望要求來綜合，從控制工程角度這是不能允許的。三是，對系統(tǒng)矩陣A出現(xiàn)攝動情形，開環(huán)型狀態(tài)觀測器由于系數(shù)矩陣不能相應(yīng)調(diào)整，從而使系統(tǒng)狀態(tài)和重構(gòu)狀態(tài)的偏差情況變壞。2/2,23/40反饋項的引入，有助于克服和減少上述這些問題的影響，從而說明這個反饋項對方案I全維狀態(tài)觀測器的不可缺少性。（4）全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)空間描述結(jié)論6.52[全維觀測器狀態(tài)空間描述]對按圖6.22思路組成的全維狀態(tài)觀測器，狀態(tài)空間描述為（6.370），相應(yīng)結(jié)構(gòu)圖如圖6.23所示，虛線框內(nèi)為被觀測系統(tǒng)，虛線框外為全維狀態(tài)觀測器。2/2,23/40證據(jù)圖可導(dǎo)出：（6.371）（6.372）將式（6.372）代入式（6.371），并加以整理歸并，即可導(dǎo)出式（6.370）。證明完成。2/2,23/40（5）全維狀態(tài)觀測器的觀測偏差2/2,23/40對初始條件，可由直接導(dǎo)出。證明完成。結(jié)論6.54

[觀測偏差表達(dá)式]對圖6.23所示結(jié)構(gòu)的全維狀態(tài)觀測器，即觀測偏差的表達(dá)式為2/2,23/40證利用線性時不變系統(tǒng)零輸入響應(yīng)關(guān)系式，由式（6.373）即可導(dǎo)出（6.375）（6）全維狀態(tài)觀測器的漸近等價和極點配置條件

結(jié)論6.55[全維觀測器漸近等價條件]對圖6.23所示結(jié)構(gòu)n維全維狀態(tài)觀測器。存在反饋矩陣L使成立：2/2,23/40充分必要條件是被觀測系統(tǒng)∑不能觀測部分為漸近穩(wěn)定，充分條件為被觀測系統(tǒng)（A，C）完全能觀測。

證基于對偶原理，（A，C）能觀測性等價于（AT，CT）能控性。由此，并利用線性時不變系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題對應(yīng)結(jié)論，即可證得

結(jié)論6.56

[全維觀測器極點配置]對圖6.23所示結(jié)構(gòu)n維全維狀態(tài)觀測器，存在n×q反饋矩陣L可任意配置觀測器全部特征值，即對任給n個期望特征值{λ1*，λ2*，…，λn*}可找到n×q矩陣L使成立：充分必要條件為被觀測系統(tǒng)（A，C）完全能觀測。證基于對偶原理，（A，C）能觀測性等價于（AT，CT）能控性。由此，并利用線性時不變系統(tǒng)的極點配置定理，即可證得結(jié)論。證明完成。2/2,23/40（7）全維觀測器綜合算法

算法6.9[全維觀測器綜合算法]給定完全能觀測連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)：2/2,23/40Sept3:取L=Sept4:計算(A-LC)。Sept5:所綜合全維觀測器為

全維狀態(tài)觀測器：綜合方案Ⅱ現(xiàn)在，討論方案Ⅱ全維狀態(tài)觀測器的綜合理論和綜合算法?？紤]n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)：2/2,23/40其中，完全能控，狀態(tài)不能直接測量，輸出和輸入是可以利用的。（1）全維狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)

給定n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)(6.378)，方案Ⅱ全維狀態(tài)觀測器也是一個n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)。狀態(tài)觀測器的輸入取為被觀測系統(tǒng)的輸入和輸入，狀態(tài)空間描述為yu2/2,23/40其中，待定系數(shù)矩陣為被觀測狀態(tài)的重構(gòu)狀態(tài)。

方案II全維狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖如圖6.24所示2/2,23/40(2)全維狀態(tài)觀測器的條件結(jié)論6.57[全維狀態(tài)觀測器條件]給定n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.378），n維線性時不變系統(tǒng)（6.379）對任意z0，x0，u可成為全維狀態(tài)觀測器的充分必要條件是；（i）TA-FT=GC，T非奇異；（ii）H=TB；

(iii)矩陣F的全部特征值均具有負(fù)實部。2/2,23/40證表并利用式（6.379）和式（6.378），可以導(dǎo)出：（6.380）

2/2,23/40先證充分性。已知條件，欲證式（6.379）為全維狀態(tài)觀測器。對此，將條件代入式（6.380），可以得到：

（6.381）由條件知，對任意非零有

（6.382）或等價地有（6.383）注意到T非奇異，由上式可進(jìn)而導(dǎo)出：2/2,23/40再證必要性。已知系統(tǒng)（6.379）為全維狀態(tài)觀測器，欲證條件（i）~（iii）。對此，若條件（iii）不成立，則系統(tǒng)（6.379）不為漸近穩(wěn)定，這意味著對任意x00和u(t)0，當(dāng)有。若條件（ii）不成立即HTB，則可找到一個u（t）使當(dāng)。若條件（i）不成立即TA-FTGC，但由（A，B）完全能控，則可找到一個u（t）以產(chǎn)生一個x（t），使當(dāng)。這就表明，對上述三種情形，都將導(dǎo)致?；耍箈和為漸近等價，必要前提是條件（i）~（iii）成立。必要性得證。證明完成。2/2,23/40注1上述結(jié)論中，條件（i）是最為關(guān)鍵的條件，涉及到求解西爾維斯特（Sylvester）方程TA-FT=GC問題。并且，只有滿足一定條件，才能保證非奇異nn解陣T存在。注2要求解陣T非奇異是基于導(dǎo)出重構(gòu)狀態(tài)的需要。這是因為，只有T-1存在，才能由全維狀態(tài)觀測器（6.379）唯一導(dǎo)出被觀測狀態(tài)x的重構(gòu)狀態(tài)（3）西爾維斯特方程解陣為非奇異的條件

結(jié)論6.58[解陣T非奇異條件]對多輸出n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.378）和方案II全維狀態(tài)觀測器（6.379），設(shè)矩陣F的全部特征值均具有負(fù)實部，且矩陣A和F不具有公共特征值，則西爾維斯特方程TA-FT=GC（6.385）存在非奇異nn解陣T的必要條件是{A，C}完全能觀測和{F，G}完全能控。2/2,23/40證分為三步進(jìn)行證明。表矩陣A的特征多項式為

且歸結(jié)為證明a(F)非奇異。對此，據(jù)凱萊-哈密爾頓定理，有a(A)=0。設(shè)為穩(wěn)定矩陣F的一個特征值，則a(F)的一個特征值為。而由A和F不具有公共特征值知，對矩陣F所有特征值和從而證得a(F)為非奇異。命題得證。其次，推導(dǎo)T的一個關(guān)系式。對此，利用西爾維斯特方程TA-FT=GC，可以導(dǎo)出：2/2,23/40將上述結(jié)果加以整理，并增補(bǔ)顯等式，可以得到如下一組方程：再將上述方程組中，第一個方程乘以，第二個方程乘以，2/2,23/40依次類推，最后一個方程乘以1。于是，把所的結(jié)果相加，并經(jīng)化簡和整理，可以得到：2/2,23/402/2,23/402/2,23/40

結(jié)論6.59[解陣T非奇異條件]對單輸出n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.378）和方案II全維狀態(tài)觀測器（6.379），設(shè)矩陣F的全部特征值均具有負(fù)實部，且矩陣A和F不具有公共特征值，則{A，C}完全能觀測和{F，G}完全能控制是西爾維斯特方程（6.385）解陣T為非奇異的充分必要條件。證對單輸出即q=1情形，T關(guān)系式（6.395）中，判別陣和轉(zhuǎn)化為方陣，矩陣由結(jié)構(gòu)知必為非奇異?；丝芍?，解陣T非奇異當(dāng)且僅當(dāng)和，即{A，C}完全能觀測和{F，G}完全能控。證明完成。2/2,23/40（4）全維狀態(tài)觀測器的綜合算法

算法6.10[全維觀測器綜合算法]給定完全能觀測連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)：其中，2/2,23/40Step2:組成矩陣Step3:任取非奇異矩陣S，計算,計算Step4:任取使完全能控的矩陣G。Step5:求解西爾維斯特方程解陣T。Step6:若q=1，去到step8；若q>1，進(jìn)入下一步。Step7:判斷解陣T非奇異性。若為非奇異，進(jìn)入下一步；若為奇異，去到Step3。Step8:計算H=TB。2/2,23/40Step9:定出全維觀測器狀態(tài)方程和重構(gòu)狀態(tài)：Step10:停止計算6.13降維狀態(tài)觀測器本節(jié)討論降維狀態(tài)觀測器的綜合理論和綜合算法。降維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)上簡單于全維狀態(tài)觀測器。構(gòu)造降維狀態(tài)觀測器的根據(jù)在于利用被觀測系統(tǒng)輸出中所包含的狀態(tài)信息。本節(jié)主要內(nèi)容包括降維狀態(tài)觀測器的基本特征、構(gòu)造方案及綜合算法等。2/2,23/40降維狀態(tài)觀測器的基本特性這一部分中，先來簡要討論降維狀態(tài)觀測器的一些基本特征。（1）降維狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)動態(tài)系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器也是一個動態(tài)系統(tǒng)。降維狀態(tài)觀測器具有和被觀測系統(tǒng)相同的結(jié)構(gòu)屬性。對線性時不變被觀測系統(tǒng)，降維狀態(tài)觀測器也為線性時不變系統(tǒng)。2/2,23/40考慮n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)：其中，完全能觀測。那么，若系統(tǒng)輸出矩陣C為滿秩，即,則系統(tǒng)降維狀態(tài)觀測器最小維數(shù)為2/2,23/40進(jìn)而，若被觀測系統(tǒng)為單輸出即q=1，則降維狀態(tài)觀測器最小維數(shù)為n-1。若被觀測系統(tǒng)為多輸出即q>1,則降維狀態(tài)觀測器最小維數(shù)為n-q,且q愈大的最小維數(shù)愈小，即降維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)上比全維狀態(tài)觀測器愈簡單。（3）降維狀態(tài)觀測器的工程意義降低維數(shù)意味著觀測器只需由較少個數(shù)積分器來構(gòu)成。特別是，在提出狀態(tài)觀測器的20世紀(jì)70年代，受到那個年代模擬集成電路發(fā)展水平的限制，減少積分器個數(shù)無疑為狀態(tài)觀測器的工程實現(xiàn)提供了簡便性。2/2,23/40（4）降維狀態(tài)觀測器的抗噪聲能力基于降維狀態(tài)觀測器得到的重構(gòu)狀態(tài)一般可表為其中，y為被觀測系統(tǒng)輸出，z為降維狀態(tài)觀測器狀態(tài)，和為相應(yīng)維數(shù)矩陣。因此，若輸出y中包含噪聲，則噪聲直接進(jìn)入重構(gòu)狀態(tài)。而基于全維狀態(tài)觀測器的重構(gòu)狀態(tài)不直接包含輸出y，可利用觀測器的低通濾波特性對包含于y中的噪聲產(chǎn)生抑制作用。這就說明，在抗噪聲的影響上，降維狀態(tài)觀測器差于全維狀態(tài)觀測器。

2/2,23/40降維狀態(tài)觀測器：綜合方案I與全維觀測器相對應(yīng)，降維狀態(tài)觀測器也可采用兩種綜合方案。本部分先來討論方案I降維狀態(tài)觀測器的綜合理論和算法。（1）構(gòu)造降維狀態(tài)觀測器的變換矩陣考慮n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)：（6.399）其中，2/2,23/40結(jié)論6.60[變換矩陣]對連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.399），用以構(gòu)造方案I降維狀態(tài)觀測器的變換矩陣{P,Q}可按如下方式組成?；趓ankC=q,任選一個,使矩陣（6.400）為非奇異；求出矩陣P的逆記為Q，再將其作分塊化表示:(6.401)2/2,23/40其中，為陣，為陣。結(jié)論6.61[變換矩陣屬性]（6.400）和(6.401)給出的變換矩陣{P,Q}具有如下屬性：

（6.402）證基于P和Q互為逆關(guān)系，有2/2,23/40（2）被觀測系統(tǒng)的變換作為構(gòu)造方案I降維狀態(tài)觀測器的基礎(chǔ)，現(xiàn)基于變換矩陣對被觀測系統(tǒng)（6.399）引入線性非奇異變換。結(jié)論6.62[基本變換屬性]對連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.399），引入線性非奇異變換，并將結(jié)果向量做分塊表示：

由此，即可導(dǎo)出（6.402）。證明完成。2/2,23/40其中，為q維分狀態(tài)，為n-q維分狀態(tài)。則有

證基于變換，并利用變換矩陣屬性（6.402），即可證得：注上述結(jié)論說明，對被觀測系統(tǒng)(6.399)引入上述特定變換，可以顯示揭示系統(tǒng)輸出y中的狀態(tài)信息。從而就為利用輸出y構(gòu)造降維狀態(tài)觀測器提供了可能性。2/2,23/40結(jié)論6.63[狀態(tài)方程變換形式]對連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)(6.399),狀態(tài)方程的變換形式為2/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/40并且，{A，C}能觀測可以保證能觀測?；耍⒗梅桨涪袢S狀態(tài)觀測器結(jié)論，可對n-q維分系統(tǒng)（6.414）構(gòu)造全維狀態(tài)觀測器且通過選?。╪-q）×q陣可使?jié)M足漸近穩(wěn)定或期望極點配置。再將和w定義式（6.413）代入式（6.415），可以得到（6.416）2/2,23/40為消去上式中的導(dǎo)數(shù)項，引入變量變換：（6.417）于是，由式（6.416）和式（6.417），即可得到（6.418）從而式（6.409）得證。而由式（6.417），則可導(dǎo)出重構(gòu)狀態(tài)關(guān)系式（6.411）。證明完成。2/2,23/40結(jié)論6.65[重構(gòu)狀態(tài)關(guān)系式]對連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.399），確定系統(tǒng)狀態(tài)x重構(gòu)狀態(tài)的關(guān)系式為其中，z為觀測器（6.409）狀態(tài)，y為被觀測系統(tǒng)（6.399）輸出，為觀測器（6.409）中反饋矩陣，和給出于式（6.401）。證明：如前所述，對變換狀態(tài)系統(tǒng)（6.407），2/2,23/40分狀態(tài)的重構(gòu)狀態(tài)為2/2,23/40結(jié)論6.66[降維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)]對連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.399），方案I降維狀態(tài)觀測器即重構(gòu)狀態(tài)的維狀態(tài)觀測器為：其組成結(jié)構(gòu)圖如圖6.25所示。

2/2,23/40∫2/2,23/40（4）降維狀態(tài)觀測器的綜合算法

下面，給出方案Ⅰ降維狀態(tài)觀測器的綜合算法。

算法6.11[降維觀測器綜合算法]給定連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.399），{A，C}完全能觀測，C滿秩即rankC=q，再指定觀測器期待特征值組{}，要求綜合方案Ⅰ降維狀態(tài)觀測器。Step1：對給定C任取，使如下n×n矩陣P為非奇異：

Step2：計算矩陣P的逆，并分塊化：2/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/40基此可以看出，若不完全能控即，則必導(dǎo)致和矩陣P奇異；若不完全能觀測即這就表明，P非奇異的必要條件為完全能控。證明完成。2/2,23/40結(jié)論6.69[解陣T滿秩條件]對單輸出連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.425）和漸近穩(wěn)定方案Ⅱ降維觀測器（6.426），設(shè)矩陣A和F不具有公共特征值，則完全能觀測和完全能控為西爾維斯特方程TA-FT=GC存在滿秩解陣T，使非奇異的充分必要條件。證明：由多輸出情形結(jié)論知，必要性顯然成立。下面，只證明充分性。對此，基于方案Ⅱ全維狀態(tài)觀測器對應(yīng)結(jié)論證明中關(guān)系式，由q=1并考慮到“”，所以對任一非零向量v有2/2,23/40(6.435)2/2,23/40為非奇異。由此和（6.433），又可知矩陣P非奇異。充分性得證。證明完成。2/2,23/40（4）降維狀態(tài)觀測器的綜合算法

算法6.12[降維觀測器綜合算法]給定連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.425），{A，C}能觀測，C滿秩即rankC=q，指定觀測器的期望特征值組

{},要求綜合方案II降維狀態(tài)觀測器。2/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/40圖6.26方案Ⅱ降維狀態(tài)觀測器組成結(jié)構(gòu)圖2/2,23/402/2,23/40其中，設(shè)觀測器的維數(shù)為m,F為陣，G為陣，H為陣，M為陣，N為陣。Kx-函數(shù)觀測器的目標(biāo)為（2）Kx-函數(shù)觀測器的條件

結(jié)論6.70[Kx-函數(shù)觀測器條件]對連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.438），線性時不變系統(tǒng)（6.439）可成為Kx-函數(shù)觀測器即（6.440）成立的充分必要條件為TA-FT=GC，T為實常陣；H=TB；F的所有特征值均具有負(fù)實部；MT+NC=K。2/2,23/40證限于證明充分性。已知條件（i）~（iv），欲證（6.440）成立。對此，由狀態(tài)方程（6.438）和（6.439），并利用條件（i）~（ii），可以導(dǎo)出：求解上述方程，得到2/2,23/40從而充分性得證。證明完成。2/2,23/40（3）單輸入Kx-函數(shù)觀測器的維數(shù)確定Kx-函數(shù)觀測器維數(shù)m是一個較為復(fù)雜的問題。這里，僅就單輸入即p=1情形，給出確定觀測器維數(shù)m的一個結(jié)論。結(jié)論6.71[Kx-函數(shù)觀測器維數(shù)]對單輸入n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.438），{A，C}完全能觀測，v為能觀測性指數(shù)，rankC=q，k為1*n常陣，必可構(gòu)造維數(shù)m=v-1的Kx-函數(shù)觀測器。2/2,23/40證為使思路更為清晰，分為四步進(jìn)行證明。（i）對被觀測系統(tǒng)引入變換。對此，任取一個常陣R，使變換矩陣

為非奇異。且在方案I降維狀態(tài)觀測器相應(yīng)結(jié)果中已經(jīng)證明，被觀測系統(tǒng)（6.438）在變換下可化為形式：2/2,23/40(ii)對變換方程（6.446）導(dǎo)出函數(shù)觀測器的各個對應(yīng)關(guān)系式。對此，有：第一，推導(dǎo)漸近等價指標(biāo)kx的對應(yīng)關(guān)系式。對此，表，并利用，則Kx函數(shù)觀測器（6.439）標(biāo)量輸出w(x)的漸近等價指標(biāo)kx可化為

第二，推導(dǎo)西爾維斯特方程的對應(yīng)形式。對此，由，并利用和2/2,23/40基此，并對上式右乘，得到西爾維斯特方程的對應(yīng)形式為2/2,23/402/2,23/402/2,23/402/2,23/40其中，為函數(shù)觀測器的相應(yīng)于任給期望特征值組的特征多項式系數(shù)。進(jìn)一步，表

則由F和M的形式，并據(jù)式（6.455）和式（6.451），可以導(dǎo)出：

2/2,23/40上述方程組中，除最后一個等式以外的其余等式，可以通過由上而下的迭代改寫為

2/2,23/40再將式（6.460）代入式（6.459）最后一個等式，經(jīng)簡單計算和整理，可以得到2/2,23/40可以看出，一旦由控制系統(tǒng)綜合定出則為已知，而若由函數(shù)觀測器特征值配置定出則矩陣為已知且必為非奇異?；耍?dāng)且僅當(dāng)矩陣列滿秩，即2/2,23/40方程（6.461)的解存在,即對任意可定出解。進(jìn)而，由{A，C}能觀測知為能觀測，且后者具有能觀測指數(shù)v-1。這意味著，式（6.462)對m=v-1仍成立,從而證得對m=v-1可定出解即存在。第二,對m=v-1推證存在。對此，基于，并利用式（6.460)，即可證得對m=v-1可定出即 存在。2/2,23/40第三,對m=v-1推證解陣T存在。由,和對m=v-1存在意味著對m=v-1存在。進(jìn)而，由，意味著T對m=v-1存在。（iv）證明結(jié)論。由上述分析知，在m=v-1下，基于F，和可由式（6.450）定出G，基于M，和可由式（6.454）定出N，基于T和b可定出H=Tb。從而，對單輸入n維被觀測系統(tǒng)（6.438）?？蓸?gòu)造維數(shù)m=v-1的Kx-函數(shù)觀測器。證明完成。2/2,23/402/2,23/40Step4:取2/2,23/40Step5:為非奇異。計算變換矩陣逆Step6:計算2/2,23/402/2,23/40Step9:計算2/2,23/40組成：2/2,23/40Step12:計算H=TbStep13:綜合得到的Kx-函數(shù)觀測器為2/2,23/40Step14:畫出Kx-函數(shù)觀測器的組成結(jié)構(gòu)圖，如圖6.27所示。圖6.27Kx-函數(shù)觀測器的組成結(jié)構(gòu)圖UH+++GFMXNz+w+Xy2/2,23/40（5）多輸入Kx-函數(shù)觀測器的維數(shù)對多輸入n維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.438），Kx-函數(shù)觀測器的最小維數(shù)因具體問題而不同。但是，若反饋陣K為秩1，即rankK=1，則可基于單輸入情形結(jié)論直接導(dǎo)出如下結(jié)論。結(jié)論6.27[Kx-函數(shù)觀測器維數(shù)]考慮多輸入N維連續(xù)時間線性時不變被觀測系統(tǒng)（6.438），{A，C}完全能觀測，v為能觀測性指數(shù)，rankC=q。再知2/2,23/40反饋陣K為秩1，即rankK=1，向量使表，k為陣。那么，必可構(gòu)造維數(shù)m=v-1的函數(shù)觀測器重構(gòu)2/2,23/406.15基于觀測器的狀況反饋控制系統(tǒng)特性觀測器的引入使受控系統(tǒng)狀態(tài)反饋的物理實現(xiàn)成為可能。討論以重構(gòu)狀態(tài)代替系統(tǒng)狀態(tài)實現(xiàn)狀態(tài)反饋所導(dǎo)致的影響是一個需要進(jìn)一步研究的基本問題。本節(jié)是對這個基本問題的較為系統(tǒng)和較為全面的討論，著重于闡明基于觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的基本特性。

2/2,23/40基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構(gòu)成基于觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)由受控系統(tǒng)、狀態(tài)反饋和觀測器三部分所構(gòu)成?？紤]n維連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)：（6.464）其中，為滿秩即，并設(shè)完全能觀測，完全能控。狀態(tài)反饋控制為（6.465）2/2,23/40其中，反饋矩陣K可按期望性能指標(biāo)綜合，v為p維參考輸入。如前所述，典型性能指標(biāo)提法包括極點配置、鎮(zhèn)定、動態(tài)解耦、靜態(tài)解耦、擾動抑制和漸近跟蹤、二次型最優(yōu)等。觀測器也為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，以重構(gòu)受控系統(tǒng)狀態(tài)x或反饋函數(shù)Kx為目標(biāo)，類型包括全維狀態(tài)觀測器、降維狀態(tài)觀測器、函數(shù)觀測器等。不失一般性，這里取觀測器為維降維狀態(tài)觀測器：（6.466）其中,矩陣F的特征值可按期望要求任意配置，系數(shù)矩陣滿足關(guān)系式：2/2,23/40圖6.28基于觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)2/2,23/402/2,23/40則其狀態(tài)空間描述為：2/2,23/40