建筑力學(xué) 第七章2

第七章平面彎曲桿件第七章第Ⅱ部分彎曲應(yīng)力§7–1引言

§7–2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

§7–3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力

§7–4梁的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件

§7–5提高梁強(qiáng)度的主要措施第七章第Ⅱ部分彎曲應(yīng)力mmFSM一、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力

(Stressesinflexuralmembers)

當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩M，又有剪力FS.§7-1引言mmFSmmM

只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩.彎矩M

正應(yīng)力s剪力FS

切應(yīng)力t內(nèi)力

只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=dA

才能合成剪力；

所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力.二、分析方法

(Analysismethod)平面彎曲時(shí)橫截面

純彎曲梁(橫截面上只有M而無(wú)FS的情況)平面彎曲時(shí)橫截面

橫力彎曲(橫截面上既有FS又有M的情況)ss

t

簡(jiǎn)支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.

若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.三、純彎曲（Purebending)++FF+FaFFaaCDABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形，提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship§7-2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力一、實(shí)驗(yàn)（Experiment）1.變形現(xiàn)象（Deformationphenomenon)縱向線且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長(zhǎng).相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度，仍與變形后的縱向弧線垂直.各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線2.提出假設(shè)

(Assumptions）（a）平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線；（b）單向受力假設(shè)：縱向纖維不相互擠壓，只受單向拉壓.推論：必有一層變形前后長(zhǎng)度不變的纖維—中性層中性軸：中性層與橫截面的交線中性軸橫截面對(duì)稱軸

中性層dx圖（b）yzxO應(yīng)變分布規(guī)律：直梁純彎曲時(shí)縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比.圖（a）dx二、變形幾何關(guān)系（Deformationgeometricrelation）圖（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO三、物理關(guān)系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx

直梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力，與它到中性軸的距離成正比.應(yīng)力分布規(guī)律：?待解決問(wèn)題中性軸的位置中性層的曲率半徑r??yzxOMdAzyσdA四、靜力關(guān)系

(Staticrelationship）

橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡(jiǎn)化得到三個(gè)內(nèi)力分量.FNMzMy內(nèi)力與外力相平衡可得（1）（2）（3）將應(yīng)力表達(dá)式代入（1）式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入（2）式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入(3)式，得中性軸通過(guò)橫截面形心自然滿足將代入得到純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式:M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點(diǎn)到中性軸的距離；Iz為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩.討論

（1）應(yīng)用公式時(shí)，一般將My

以絕對(duì)值代入.根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負(fù)號(hào).

以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力(

為正號(hào)).凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（為負(fù)號(hào)）；（2）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處.則公式改寫(xiě)為引用記號(hào)—抗彎截面系數(shù)（3）當(dāng)中性軸為對(duì)稱軸時(shí)矩形截面實(shí)心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdyzy（4）對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面M

應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離和直接代入公式

當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí)，橫截面上既有彎矩又有剪力.梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲.§5-3

橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力

橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力.切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲，橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力，純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立.一、橫力彎曲(Nonuniformbending)

雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進(jìn)一步的分析表明，工程中常用的梁，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式，可以足夠精確的近似計(jì)算橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力.等直梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式為二、公式的應(yīng)用范圍

(Theapplicablerangeoftheflexureformula)

1.在彈性范圍內(nèi)(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)

3.平面彎曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）2.具有切應(yīng)力的梁（Thebeamwiththeshearstress）三、強(qiáng)度條件（Strengthcondition)1.數(shù)學(xué)表達(dá)式（Mathematicalformula)

梁內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力.2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition)（2）設(shè)計(jì)截面（3）確定許可載荷（1）強(qiáng)度校核

對(duì)于鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁橫截面的中性軸一般也不是對(duì)稱軸，所以梁的（兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上）

要求分別不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力例題1

螺栓壓板夾緊裝置如圖所示.已知板長(zhǎng)3a＝150mm，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力[s]＝140MP.試計(jì)算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa

解：（1）作出彎矩圖的最大彎矩為Fa；（2）求慣性矩，抗彎截面系數(shù)（3）求許可載荷80y1y22020120z例題2T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的許用拉應(yīng)力為[t]=30MPa，許用壓應(yīng)力為[c]=160MPa.已知截面對(duì)形心軸z的慣性矩為Iz

=763cm4，y1=52mm，校核梁的強(qiáng)度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：最大正彎矩在截面C上最大負(fù)彎矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z§7-4梁的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件一、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況（1）梁的跨度較短，M

較小，而FS較大時(shí),要校核切應(yīng)力；（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力；（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力.二、梁橫截面上的切應(yīng)力（Shearstressesinbeams）1.矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)b矩型截面的寬度.yz整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩.距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩.切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律(Theshear-stressdistributionontherectangularcrosssection)沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定.截面靜矩的計(jì)算方法A為截面面積為截面的形心坐標(biāo)2.工字形截面梁（工-sectionbeam)假設(shè)求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離為y.研究方法與矩形截面同，切應(yīng)力的計(jì)算公式亦為HoyxbzhzA1zτmaxtmintmax式中:—中性軸任一邊的半個(gè)橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩.

在截面邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力的方向與圓周相切.3.圓截面梁(Beamofcircularcrosssection)Ozytmax最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上式中為圓截面的面積.ydzO4.圓環(huán)形截面梁(Circularpipebeam)

圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁.環(huán)壁厚度為，環(huán)的平均半徑為r0，由于

?r0

故可假設(shè)zyr0δ式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生中性軸上，其值為三、強(qiáng)度條件（Strengthcondition）zyr0maxF例題4

一簡(jiǎn)易起重設(shè)備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F=30kN.跨長(zhǎng)l=5m.吊車(chē)大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應(yīng)力[]=170MPa,許用彎曲切應(yīng)力[]=100MPa

，試校核梁的強(qiáng)度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊車(chē)梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，力F

在梁中間位置時(shí)有最大彎矩（M=F·ab/L）.（a）正應(yīng)力強(qiáng)度校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應(yīng)力為+FSmax5mABFC（b）切應(yīng)力強(qiáng)度校核

在計(jì)算最大切應(yīng)力時(shí)，應(yīng)取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示，因?yàn)榇藭r(shí)該支座的支反力最大（FRA=F·b/L），而梁的最大切應(yīng)力也就最大.查型鋼表中，20a號(hào)工字鋼，有d=7mm據(jù)此校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度以上兩方面的強(qiáng)度條件都滿足，所以此梁是安全的.例題5

簡(jiǎn)支梁AB如圖所示.l＝2m，a＝0.2m.梁上的載荷為q為10kN/m，F(xiàn)＝200kN.材料的許用應(yīng)力為[]=160MPa，[]＝100MPa，試選擇工字鋼型號(hào).解：（1）計(jì)算支反力做內(nèi)力圖.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m（2）根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號(hào)查型鋼表，選用22a工字鋼，其Wz＝309cm3FRAFRB（3）校核梁的切應(yīng)力

腹板厚度d=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN查表得τmax超過(guò)[t]很多，應(yīng)重新選擇更大的截面.現(xiàn)已25b工字鋼進(jìn)行試算查表得d=1cm所以應(yīng)選用型號(hào)為25b的工字鋼.例題6

對(duì)于圖中的吊車(chē)大梁，現(xiàn)因移動(dòng)荷載F增加為50kN，故在20a號(hào)工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm10mm而長(zhǎng)度2.2mm的鋼板加強(qiáng)加強(qiáng)段的橫截面尺寸如圖所示.已知許用彎曲正應(yīng)力[]=152MPa，許用切應(yīng)力[]=95MPa.試校核此梁的強(qiáng)度.2.2m200z22012010

解：加強(qiáng)后的梁是階梯狀變截面梁.所以要校核（3）F移至未加強(qiáng)的梁段在截面變化處的正應(yīng)力.（2）F靠近支座時(shí)支座截面上的切應(yīng)力；（1）F位于跨中時(shí)跨中截面上的彎曲正應(yīng)力；（1）校核F位于跨中截面時(shí)的彎曲正應(yīng)力查表得20a工字鋼62.5kN·m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA最大彎矩值為跨中截面對(duì)中性軸的慣性矩為200z22012010略去了加強(qiáng)板對(duì)其自身形心軸的慣性矩.抗彎截面系數(shù)（2）校核突變截面處的正應(yīng)力，也就是校核未加強(qiáng)段的正應(yīng)力強(qiáng)度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA50.4kN·m該截面上的最大彎矩為從型鋼表中查得20a工字鋼梁不能滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件.為此應(yīng)將加強(qiáng)板適當(dāng)延長(zhǎng).（3）校核階梯梁的切應(yīng)力F靠近任一支座時(shí)，支座截面為不利荷載位置請(qǐng)同學(xué)們自行完成計(jì)算.§7-5提高梁強(qiáng)度的主要措施一、降低梁的最大彎矩值1.合理地布置梁的荷載

按強(qiáng)度要求設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件FlFl/4Fl