利用向量證明垂直與平行問題

3.2立體幾何中的向量方法（2）xxz----利用向量解決平行與垂直問題1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”

（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進(jìn)行向量運算）（回到圖形問題）2、平行與垂直關(guān)系的向量表示（1）平行關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線平行線面平行面面平行點擊點擊點擊

（2）垂直關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，平面，的法向量分別為，線線垂直線面垂直面面垂直點擊點擊點擊二、新課

（一）用向量處理平行問題（二）用向量處理垂直問題XYZ（一）用向量處理平行問題XYZ例3、如圖，在直三棱柱-中，是棱的中點，求證：（二）用向量處理垂直問題證明：分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系圖中相應(yīng)點的坐標(biāo)為：所以：所以：即，DACBBCDAFEXYZDACBBCDAFEXYZ例5正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:面AED⊥面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1

證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長為2,則E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),于是設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得解之得取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD練習(xí)：棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(II),而

n=-2+0+2=0AB1

∥平面DBC1坐標(biāo)法三、小結(jié)利用向量解決平行與垂直問題向量法：利用向量的概念技巧運算解決問題。坐標(biāo)法：利用數(shù)及其運算解決問題。

兩種方法經(jīng)常結(jié)合起來使用。ABCD