2023年剛體力學(xué)習(xí)題庫

第四章剛體力學(xué)一、計(jì)算題1.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為ｍ的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)．假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M、半徑為R,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,滑輪軸光滑.試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系.解：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程對(duì)物體:mg－Ｔ=ma①2分對(duì)滑輪：TR=J②2分運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:a＝R③1分將①、②、③式聯(lián)立得ａ=mg/(ｍ+M)1分∵v0=0,∴v=at＝mｇt／（m＋Ｍ)2分2.如圖所示，轉(zhuǎn)輪A、B可分別獨(dú)立地繞光滑的固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的質(zhì)量分別為ｍＡ=10ｋg和mB=20ｋg，半徑分別為rA和rB.現(xiàn)用力fA和fB分別向下拉繞在輪上的細(xì)繩且使繩與輪之間無滑動(dòng).為使A、B輪邊沿處的切向加速度相同，相應(yīng)的拉力fＡ、fB之比應(yīng)為多少?(其中A、Ｂ輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和)解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律ｆAｒA=JＡA①1分其中,且fBrＢ＝JBB②1分其中．要使A、B輪邊上的切向加速度相同，應(yīng)有a=rAA=rＢB③1分由①、②式，有④由③式有Ａ／B=rＢ/rＡ將上式代入④式,得fＡ/fＢ=mA/ｍB＝2分3.一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上,如圖所示.軸水平且垂直于輪軸面,其半徑為ｒ,整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承之上．當(dāng)物體從靜止釋放后，在時(shí)間t內(nèi)下降了一段距離S．試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(用m、ｒ、t和S表達(dá)).解：設(shè)繩子對(duì)物體(或繩子對(duì)輪軸）的拉力為Ｔ,則根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得:mｇ-T＝ma①2分Tr=J②２分由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系有：a=r③２分由①、②、③式解得:Ｊ=m(g－a)r２/a④又根據(jù)已知條件ｖ０=０∴S＝,ａ=２Ｓ/ｔ2⑤2分將⑤式代入④式得:J=mｒ2(－1)2分４.質(zhì)量為5kg的一桶水懸于繞在轆轤上的輕繩的下端,轆轤可視為一質(zhì)量為１0kｇ的圓柱體．桶從井口由靜止釋放,求桶下落過程中繩中的張力.轆轤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其中M和R分別為轆轤的質(zhì)量和半徑，軸上摩擦忽略不計(jì).解:對(duì)水桶和圓柱形轆轤分別用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程mg－T=ma①1分TR＝Ｊ②1分a=R③1分由此可得T=m(g-a）＝m那么將J＝MＲ2代入上式，得=24.５N2分5.一長(zhǎng)為1m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．抬起另一端使棒向上與水平面成60°,然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放．已知棒對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其中m和l分別為棒的質(zhì)量和長(zhǎng)度.求：(１)放手時(shí)棒的角加速度;(2)棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)的角加速度．解：設(shè)棒的質(zhì)量為m,當(dāng)棒與水平面成６0°角并開始下落時(shí)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律Ｍ=J1分其中１分于是1分當(dāng)棒轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置時(shí),M＝mgl1分那么1分6.一軸承光滑的定滑輪，質(zhì)量為M＝2．00kg,半徑為Ｒ＝０.１０0m，一根不能伸長(zhǎng)的輕繩,一端固定在定滑輪上，另一端系有一質(zhì)量為m=5.00kg的物體，如圖所示．已知定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J＝,其初角速度0＝10．０rad/s,方向垂直紙面向里．求:(1)定滑輪的角加速度的大小和方向;（2)定滑輪的角速度變化到=０時(shí),物體上升的高度；(3)當(dāng)物體回到本來位置時(shí)，定滑輪的角速度的大小和方向.解:(1)∵mg－Ｔ＝ｍa1分ＴR=J２分a＝R１分∴=ｍgR/（mR2＋J)=81.7rad/s21分方向垂直紙面向外.1分（２)∵當(dāng)=0時(shí),物體上升的高度h=Ｒ=６.12×1０－2m(3)１0.0ｒａd/s方向垂直紙面向外．２分7.一質(zhì)量為M＝15kg、半徑為R=０.３0m的圓柱體,可繞與其幾何軸重合的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝)．現(xiàn)以一不能伸長(zhǎng)的輕繩繞于柱面,而在繩的下端懸一質(zhì)量ｍ=8.０kg的物體．不計(jì)圓柱體與軸之間的摩擦,求：(1)物體自靜止下落,5ｓ內(nèi)下降的距離;(2)繩中的張力.解:J=＝0.675km2∵mｇ-Ｔ=ma1分ＴR=Ｊ2分a＝R1分∴ａ＝mgR2／（mR２+J)=5.０6m/s21分因此（1)下落距離h＝=６３.3m2分(２)張力T=ｍ（g－a)＝３7.９Ｎ1分８.一半徑為2５ｃm的圓柱體，可繞與其中心軸線重合的光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．圓柱體上繞上繩子.圓柱體初角速度為零，現(xiàn)拉繩的端點(diǎn)，使其以1m/s２的加速度運(yùn)動(dòng).繩與圓柱表面無相對(duì)滑動(dòng)．試計(jì)算在t＝5s時(shí)(1)圓柱體的角加速度,(2)圓柱體的角速度,(3)假如圓柱體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為２ｋｇm２，那么要保持上述角加速度不變，應(yīng)加的拉力為多少?解:（1）圓柱體的角加速度＝a／r=４ｒaｄ/s22分（２）根據(jù)，此題中0=0，則有? ?????t=t ? ?? ???那么圓柱體的角速度20ｒaｄ/s１分(3)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 fr=Ｊ ?? ??則ｆ=J／r＝32N2分9.一軸承光滑的定滑輪，質(zhì)量為M＝２.00kg,半徑為R＝０.100m，一根不能伸長(zhǎng)的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質(zhì)量為m＝5.00kg的物體，如圖所示．已知定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J＝，其初角速度０=１0.０ｒad/s,方向垂直紙面向里．求:（1)定滑輪的角加速度的大小和方向；（2)定滑輪的角速度變化到=0時(shí),物體上升的高度；(3)當(dāng)物體回到本來位置時(shí)，定滑輪的角速度的大小和方向．解：(1)∵ｍg-T＝ma1分TR＝J2分ａ＝Ｒ1分∴=mgR/(ｍR2＋Ｊ)＝８1.7ｒaｄ/s21分方向垂直紙面向外.1分(2)∵當(dāng)=0時(shí),物體上升的高度h=R=６.12×10－2m(3)１0.0rad／s方向垂直紙面向外.２分10.一質(zhì)量為M=15kg、半徑為R＝0．30ｍ的圓柱體,可繞與其幾何軸重合的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝)．現(xiàn)以一不能伸長(zhǎng)的輕繩繞于柱面，而在繩的下端懸一質(zhì)量m＝8.0kg的物體．不計(jì)圓柱體與軸之間的摩擦,求：（1)物體自靜止下落,5s內(nèi)下降的距離;(2)繩中的張力.解：Ｊ＝＝０.675km２∵mg-T＝ma１分TＲ=J2分ａ＝R1分∴a=mｇR2/(ｍR2+J)=5.06m／s２1分因此(1)下落距離h＝＝63.3m2分(2)張力T＝m(ｇ-a)=３7.９Ｎ１分11．一半徑為25ｃm的圓柱體,可繞與其中心軸線重合的光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng).圓柱體上繞上繩子.圓柱體初角速度為零,現(xiàn)拉繩的端點(diǎn),使其以1m/ｓ２的加速度運(yùn)動(dòng).繩與圓柱表面無相對(duì)滑動(dòng)．試計(jì)算在t=5s時(shí)(１)圓柱體的角加速度,(2）圓柱體的角速度,(3)假如圓柱體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2kｇｍ2，那么要保持上述角加速度不變，應(yīng)加的拉力為多少?解:(1)圓柱體的角加速度＝a/r＝４ｒad／s２2分(2)根據(jù)，此題中0=0,則有 ???? ｔ=t?? ?? ? 那么圓柱體的角速度20rad/s１分(3)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律? ? fr＝J ? ? ??則f=J／r=３2Ｎ2分12.長(zhǎng)為Ｌ的梯子斜靠在光滑的墻上高為ｈ的地方,梯子和地面間的靜摩擦系數(shù)為,若梯子的重量忽略,試問人爬到離地面多高的地方,梯子就會(huì)滑倒下來?解:當(dāng)人爬到離地面x高度處梯子剛要滑下，此時(shí)梯子與地面間為最大靜摩擦,仍處在平衡狀態(tài)(不穩(wěn)定的).１分N1－ｆ＝0,Ｎ2－P=01分N1h-Px·ctg=０1分f=N21分解得1分13.一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),起初角速度為0.設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比,即M=-k(ｋ為正的常數(shù)），求圓盤的角速度從0變?yōu)闀r(shí)所需的時(shí)間.解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律:Jd/ｄt=-k∴2分兩邊積分: ? ? ??得???ｌn2=kt／J? ? ∴t＝（Jlｎ2）/k3分14．一圓柱體截面半徑為r,重為Ｐ,放置如圖所示．它與墻面和地面之間的靜摩擦系數(shù)均為.若對(duì)圓柱體施以向下的力F＝２P可使它剛好要反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求作用于A點(diǎn)的正壓力和摩擦力,力與之間的垂直距離d.解：設(shè)正壓力NA、NB,摩擦力fA,fB如圖.根據(jù)力的平衡,有ｆＡ＋NＢ＝F＋P＝3P①1分NA=ｆB②１分根據(jù)力矩平衡,有Ｆｄ=(fA＋ｆB)r③2分剛要轉(zhuǎn)動(dòng)有④⑤1分(1)把④及②、⑤代入①可求得NA=０.9P,fA=0.３Ｐ2分(２）由③可求得d＝0.６r１分１５.一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量均為m、半徑均為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為m和2m的重物，如圖所示.繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑.兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為．將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為m和2ｍ的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放,求兩滑輪之間繩內(nèi)的張力．解:受力分析如圖所示．2分2ｍg－T１＝2ma1分T2-ｍg＝ma１分Ｔ1r－Tｒ＝１分Tｒ－T2ｒ=1分a=r2分解上述5個(gè)聯(lián)立方程得:T=11ｍg/8２分16.質(zhì)量分別為m和2m、半徑分別為ｒ和2r的兩個(gè)均勻圓盤,同軸地粘在一起,可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為9mr2/2,大小圓盤邊沿都繞有繩子,繩子下端都掛一質(zhì)量為ｍ的重物,如圖所示．求盤的角加速度的大?。猓菏芰Ψ治鋈鐖D．2分mg-Ｔ2=mａ2１分T1-mｇ=ma11分T2(2ｒ)-Ｔ1r=9ｍr２/２2分2r=a２１分r=a11分解上述5個(gè)聯(lián)立方程,得：２分１７.質(zhì)量m＝1.1kｇ的勻質(zhì)圓盤,可以繞通過其中心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=(ｒ?yàn)楸P的半徑)．圓盤邊沿繞有繩子,繩子下端掛一質(zhì)量m1＝１．0kg的物體，如圖所示．起初在圓盤上加一恒力矩使物體以速率v0＝0.6ｍ解：撤去外加力矩后受力分析如圖所示.2分m1g－T=ｍ1aTr=J1分a＝ｒ1分ａ=m1ｇr/（ｍ1r+J/ｒ）代入J＝,ａ=＝6.32ms22分∵v0-at=０2分∴t=v0/ａ＝0.09５ｓ1分18.一輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑,滑輪的半徑為R,質(zhì)量為M/４，均勻分布在其邊沿上.繩子的A端有一質(zhì)量為M的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了一質(zhì)量為M的重物,如圖.設(shè)人從靜止開始相對(duì)于繩勻速向上爬時(shí),繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng),求B端重物上升的加速度?(已知滑輪對(duì)通過滑輪中心且垂直于輪面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ｊ=ＭR2/4)解:受力分析如圖所示．設(shè)重物的對(duì)地加速度為a，向上.則繩的A端對(duì)地有加速度ａ向下，人相對(duì)于繩雖為勻速向上，但相對(duì)于地其加速度仍為a向下.２分根據(jù)牛頓第二定律可得：對(duì)人：Ｍg-T２＝Ma①2分對(duì)重物：Ｔ1－Mｇ＝Ma②2分根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，對(duì)滑輪有(T2－T１)Ｒ＝Ｊ＝MR2/４③2分因繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)，a＝Ｒ④1分①、②、③、④四式聯(lián)立解得a＝２g/7１分1９．如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為m1和ｍ2，且m１＞m２,定滑輪的半徑為r,對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，輕繩與滑輪間無滑動(dòng),滑輪軸上摩擦不計(jì).設(shè)開始時(shí)系統(tǒng)靜止，試求t時(shí)刻滑輪的角速度.解:作示力圖．兩重物加速度大小a相同,方向如圖．示力圖2分m１g－T1=ｍ1aT2－m2g＝m2a１分設(shè)滑輪的角加速度為，則(T１－T2)r=J且有a＝r１分由以上四式消去T1,T2得：２分開始時(shí)系統(tǒng)靜止，故ｔ時(shí)刻滑輪的角速度.1分2０.質(zhì)量為M1=2４kg的圓輪，可繞水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一輕繩纏繞于輪上,另一端通過質(zhì)量為Ｍ2＝5kｇ的圓盤形定滑輪懸有m＝10ｋg的物體.求當(dāng)重物由靜止開始下降了h＝(１)物體的速度；（2)繩中張力．(設(shè)繩與定滑輪間無相對(duì)滑動(dòng),圓輪、定滑輪繞通過輪心且垂直于橫截面的水平光滑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為，)解：各物體的受力情況如圖所示．圖2分由轉(zhuǎn)動(dòng)定律、牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可列出以下聯(lián)立方程:T1R=Ｊ11＝方程各1分共５分T2r-T１r＝J22＝mg-Ｔ2=ma，ａ＝R1＝r2,v２=2aｈ求解聯(lián)立方程，得m/s2=2ｍ/s1分T2=m(g-a)=58N1分T1＝＝48N１分21.兩個(gè)勻質(zhì)圓盤,一大一小,同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)組合輪．小圓盤的半徑為r,質(zhì)量為m；大圓盤的半徑＝２r,質(zhì)量＝2m．組合輪可繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng),對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ｊ＝９mr2/2．兩圓盤邊沿上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩,細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為ｍ的物體A和B，如圖所示.這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng),繩與盤無相對(duì)滑動(dòng)，繩的長(zhǎng)度不變.已知ｒ＝10cm．求：（1)組合輪的角加速度；（2)當(dāng)物體A上升ｈ=40cｍ時(shí),組合輪的角速度.解:(１)各物體受力情況如圖．圖2分T-ｍg=ｍａ１分mg-＝m１分(２r)-Ｔr=９mｒ2/21分a＝ｒ1分=(2r）１分由上述方程組解得:=2g/(19ｒ)＝１0．3raｄ·s-2(２）設(shè)為組合輪轉(zhuǎn)過的角度，則＝ｈ/ｒ２＝2所以,=（２ｈ/r）1/2=9．０８ｒad·s－1２分22.物體A和Ｂ疊放在水平桌面上,由跨過定滑輪的輕質(zhì)細(xì)繩互相連接，如圖所示．今用大小為Ｆ的水平力拉A.設(shè)Ａ、B和滑輪的質(zhì)量都為m,滑輪的半徑為R，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=．AB之間、A與桌面之間、滑輪與其軸之間的摩擦都可以忽略不計(jì)，繩與滑輪之間無相對(duì)的滑動(dòng)且繩不可伸長(zhǎng)．已知F=10N，m＝8.0ｋg，R=0．050m.求:(1)滑輪的角加速度；(2)物體A與滑輪之間的繩中的張力;(3)物體B與滑輪之間的繩中的張力．解:各物體受力情況如圖.圖２分F-Ｔ=ma1分＝ma1分（）R＝1分a＝R1分由上述方程組解得:＝2F/(５mR)＝10rａｄ·s-2T=3Ｆ/5＝6.0N1=2F/５＝４.0N1分2３.兩個(gè)大小不同、具有水平光滑軸的定滑輪，頂點(diǎn)在同一水平線上．小滑輪的質(zhì)量為ｍ,半徑為r，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=．大滑輪的質(zhì)量ｍ=2m,半徑r=２ｒ,對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．一根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩跨過這兩個(gè)定滑輪，繩的兩端分別掛著物體A和Ｂ.A的質(zhì)量為m,Ｂ的質(zhì)量=2m.這一系統(tǒng)由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng).已知m=6.0kg,r＝5.0ｃｍ.求兩滑輪的角加速度和它們之間繩中的張力．解：各物體受力情況如圖.２分TA－mg=ma1分(2ｍ)g－ＴA＝(2ｍ）ａ(T－TA)r=１分(ＴB－Ｔ）(2r)＝(２m)（2r)21分ａ＝ｒ＝(２ｒ)1分由上述方程組解得：=2g／(9r)=43.6rad·s-２＝=21.8rad·s-21分T=(４／3)ｍg=78.4Ｎ１分24．一質(zhì)量m=6.00kg、長(zhǎng)ｌ=1.00m的勻質(zhì)棒，放在水平桌面上，可繞通過其中心的豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=ml2/12．t=0時(shí)棒的角速度0=10．0raｄ·s1.由于受到恒定的阻力矩的作用,t=20s時(shí)，棒停止運(yùn)動(dòng)．求：（1)棒的角加速度的大??；（2）棒所受阻力矩的大小;(3)從ｔ＝０到t=１0s時(shí)間內(nèi)棒轉(zhuǎn)過的角度.解：（1)0＝０＋ｔ=-０／t=-０.50rａｄ·s－22分（2)Mr＝ml２/12=-0．25N·m2分（3)10=０t＋ｔ2=7５ｒad１分25.如圖所示的阿特伍德機(jī)裝置中，滑輪和繩子間沒有滑動(dòng)且繩子不可以伸長(zhǎng),軸與輪間有阻力矩，求滑輪兩邊繩子中的張力．已知m1＝20kg,m２＝１0kg.滑輪質(zhì)量為ｍ3＝5ｋg．滑輪半徑為r＝0.２ｍ.滑輪可視為均勻圓盤，阻力矩Mf＝6.6N·m，已知圓盤對(duì)過其中心且與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.解:對(duì)兩物體分別應(yīng)用牛頓第二定律(見圖)，則有m1g－Ｔ１=m1ａT2–m2ｇ=m2a②對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，則有③2分對(duì)輪緣上任一點(diǎn),有a=r④１分又：=T１，=T2⑤則聯(lián)立上面五個(gè)式子可以解出＝２m/s22分 ?T１＝m1g-ｍ1aT２＝m2g－ｍ2a=26.如圖所示，一半徑為R的勻質(zhì)小木球固結(jié)在一長(zhǎng)度為l的勻質(zhì)細(xì)棒的下端,且可繞水平光滑固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng).今有一質(zhì)量為ｍ,速度為的子彈，沿著與水平面成角的方向射向球心,且嵌于球心．已知小木球、細(xì)棒對(duì)通過Ｏ的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的總和為Ｊ．求子彈嵌入球心后系統(tǒng)的共同角速度．解：選子彈、細(xì)棒、小木球?yàn)橄到y(tǒng).子彈射入時(shí),系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒.2分mv０(R+l)ｃos＝[J+m(R+l)２］2分1分27．如圖所示,一半徑為Ｒ,質(zhì)量為m的水平圓臺(tái),正以角速度０繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)