統(tǒng)計學03 第3章綜合指標

第三章

綜合指標

綜合指標從它的作用和方法特點的角度可概括為三類：

絕對指標相對指標平均指標概念：

一、總量指標的概念和作用

總量指標是反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象一定時間、地點、條件下總的規(guī)模、水平的統(tǒng)計指標。總量指標表現(xiàn)形式是絕對數(shù)，也可表現(xiàn)為絕對差數(shù)。第一節(jié)總量指標(絕對指標)作用:總量指標能反映一個國家的基本國情和

國力，反映某部門、單位等人、財、

物的基本數(shù)據(jù)?？偭恐笜耸沁M行決策和科學管理的依據(jù)之一?？偭恐笜耸怯嬎阆鄬χ笜撕推骄笜说幕A。按其反映的內(nèi)容不同可分為：總體單位總量——說明總體的單位數(shù)數(shù)量。

標志總量——說明總體中某個標志值總和的量。二、總量指標的分類

按其反映的時間狀況不同可分為：時期指標——反映現(xiàn)象在某一時期發(fā)展過程的總數(shù)量。(可連續(xù)計數(shù)，與時間長短有關(guān)，是累計結(jié)果)時點指標——反映現(xiàn)象在某一時刻的狀況。(間斷計數(shù)，與時間間隔無關(guān)，不能累計)計算原則：

3.計量單位必須一致。

2.明確的統(tǒng)計含義。

1.現(xiàn)象的同類性。

三、總量指標的計算

根據(jù)總量指標所反映的社會經(jīng)濟現(xiàn)象性質(zhì)不同，計量單位分三種形式：

(1)

實物單位自然單位：輛、雙、頭、根、個……b.度量衡單位：噸、米、克、立方米……c.雙重單位：公里/小時、人/平方公里……d.復合單位：噸公里、公斤米、千瓦小時……

對有些性質(zhì)相同但規(guī)格或含量不同的產(chǎn)品總量的計算，要按折合標準實物量的方法計算。(2)價值單位(貨幣單位)

貨幣單位有現(xiàn)行價格和不變價格之分。

價值單位使不能直接相加的產(chǎn)品產(chǎn)量過渡到能夠加總，用于綜合說明具有不同使用價值的產(chǎn)品生產(chǎn)總量或商品銷售量等的總規(guī)模、總水平。(3)勞動單位

工時——工人數(shù)和勞動時數(shù)的乘積；臺時——設備臺數(shù)和開動時數(shù)的乘積。

例由于具體條件不同，不同企業(yè)的勞動量指標不具有可比性，因此，勞動量指標只限于企業(yè)內(nèi)部使用。第二節(jié)相對指標

是兩個有聯(lián)系的絕對指標之比。

一、相對指標的概念

-人口密度：人/平方公里

-平均每人分攤的糧食產(chǎn)量：千克/人

系數(shù)或倍數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1；

成數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為10；百分數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為100；

千分數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1000。

相對指標的數(shù)值有兩種表現(xiàn)形式：無名數(shù)，分以下幾種:

有名數(shù)(一)計劃完成相對指標

二、相對指標的種類及其計算1.計算公式(1)根據(jù)絕對數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

計算結(jié)果表明該廠超額10%完成總產(chǎn)值計劃。

設某工廠某年計劃工業(yè)總產(chǎn)值為200萬元，實際完成220萬元，則：

(2)根據(jù)平均數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

(3)根據(jù)相對數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

以五年計劃來說明這個問題。2.長期計劃的檢查(1)水平法

計算公式為：（2）累計法

計算公式為：

(二)

結(jié)構(gòu)相對指標

計算公式為：

(三)比例相對指標

計算公式為：

常用的比例形式有兩種：

1.將作為比較基礎的數(shù)值抽象化為1、10、100或1000，看被比較的數(shù)值是多少。2.首先將總體全部數(shù)值抽象化為100，求得各部分數(shù)值在總體中所占百分數(shù)，然后將各部分的百分數(shù)連比得比例相對數(shù)。

(四)比較相對指標(類比相對指標)

計算公式為：

計算比較相對數(shù)時，作為比較基數(shù)的分母可取不同的對象，一般有兩種情況：

①

比較標準是一般對象，如：這時，分子與分母的位置可以互換。

②

比較標準(基數(shù))典型化，如：

把企業(yè)的各項技術(shù)經(jīng)濟指標都和國家規(guī)定的質(zhì)量水平比較，和同類企業(yè)的先進水平比較，和國外先進水平比較等，這時，分子與分母的位置不能互換。(五)強度相對指標

計算公式為：

①一般用復名數(shù)表示；

②也有少數(shù)用百分數(shù)或千分數(shù)表示。

1.強度相對數(shù)的數(shù)值表示有兩種方法：用百分數(shù)表示說明平均每百元銷售額負擔多少流通費。產(chǎn)值利潤率、資金利潤率一般用千分數(shù)表示。

例某城市人口100萬人，有零售商業(yè)機構(gòu)5000個，則：例2.有些強度相對數(shù)有正、逆兩種計算方法：(六)動態(tài)相對指標

計算公式為：

基期——作為對比標準的時間報告期——同基期比較的時期，也稱計算期

2.相對指標要和總量指標結(jié)合起來運用。1.注意二個對比指標的可比性。三、正確運用相對指標的原則4.在比較二個相對數(shù)時，是否適宜相除再求一個相對數(shù)，應視情況而定。若除出來有實際意義，則除；若不宜相除，只宜相減求差數(shù)，用百分點表示之。(百分點—即百分比中相當于百分之一的單位)

3.多種相對數(shù)結(jié)合運用第三節(jié)平均指標

2.特點-數(shù)量抽象性-集中趨勢代表性1.概念

平均指標是指在同質(zhì)總體內(nèi)將各單位某一數(shù)量標志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

一、平均指標的意義和作用

-比較作用

a.同類現(xiàn)象在不同空間的對比。b.同一總體在不同時間上的比較。

-利用平均指標可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系-利用平均指標可以進行數(shù)量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數(shù)量標準或參考3.作用

4.種類

算術(shù)平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù) 眾數(shù)

位置平均數(shù)

中位數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)的基本公式二、算術(shù)平均數(shù)

式中：——算術(shù)平均數(shù)X——各單位的標志值n——總體單位數(shù)——總和符號2.簡單算術(shù)平均數(shù)式中：——算術(shù)平均數(shù)X——各組數(shù)值f——各組數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(即權(quán)數(shù))3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)設某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合計-16413550例在掌握比重權(quán)數(shù)的情況下，可以直接利用權(quán)數(shù)系數(shù)來求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其公式為：按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計-1641.0082.7加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因素的影響：

變量值大小的影響。次數(shù)多少的影響。而簡單算術(shù)平均數(shù)只反映變量值大小這一因素的影響。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)不同在于：①各個變量值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零4.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)簡單平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)：②各個變量值與算術(shù)平均數(shù)離差平方之和

等于最小值簡單平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)：△算術(shù)平均數(shù)的特點算術(shù)平均數(shù)適合用代數(shù)方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變??；受極大值的影響大于受極小值的影響；當組距數(shù)列為開口組時，由于組中點不易確定，使的代表性也不很可靠。調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。三、調(diào)和平均數(shù)(又稱“倒數(shù)平均數(shù)”)

其計算方法如下：在加權(quán)的情況下：在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。即有以下數(shù)學關(guān)系式成立：m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標志值總量。已知某商品在三個集市貿(mào)易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價格(元)(即銷售量)

甲1.003000030000乙1.503000020000丙1.403500025000合計-95000750001.由平均數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)法的應用：例某公司有四個工廠，已知其計劃完成程度(%)及實際產(chǎn)值資料如下：工廠計劃完成程度(%)X實際產(chǎn)值(萬元)m=Xf實際產(chǎn)值÷計劃完成程度(%)(即計劃產(chǎn)值)(萬元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合計-1,1001,0002.由相對數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)法的應用：例△調(diào)和平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一標志值等于零，則無法計算；較之算術(shù)平均數(shù)，受極端值的影響要小。1.簡單幾何平均數(shù)四、幾何平均數(shù)(又稱“對數(shù)平均數(shù)”)計算時要進行對數(shù)變換，即：例P97表3-13

投資銀行某筆投資的年利率是按復利計算的，25年的年利率分配是：有1年為3%，有4年為5%，有8年為8%，有10年為10%，有2年為15%，求平均年利率。本利率(%)X年數(shù)f本利率的對數(shù)lgXf·lgX10312.01282.012810542.02128.084810882.033416.2672110102.041420.414011522.06074.1214合計25-50.9002例這就是說，25年的平均本利率為108.6%，年平均利率即為8.6%?！鲙缀纹骄鶖?shù)的特點如果數(shù)列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和小；它適用于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標志值是各單位標志值的連乘積。由定義可看出眾數(shù)存在的條件：1.概念：眾數(shù)是在總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個標志值

五、眾數(shù)M0M0M0M0M0M0若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時，

計算眾數(shù)是沒有意義的。①根據(jù)單項數(shù)列確定眾數(shù)；價格(元)銷售數(shù)量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計300某種商品的價格情況眾數(shù)M0=3.00(元)2.眾數(shù)的計算方法例②根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)⑵利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。⑴由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組；按日產(chǎn)量分組(千克)工人人數(shù)(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數(shù)所在組。例計算眾數(shù)的近似值：下限公式：上限公式：由下限公式，日產(chǎn)量眾數(shù)由上限公式，日產(chǎn)量眾數(shù)△眾數(shù)的特點

眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標志值的影響，從而增強了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。

眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標，當分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數(shù)可言；當變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數(shù)2.中位數(shù)的計算方法1.概念：將總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數(shù)。六、中位數(shù)Me⑴n為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標志值

就是中位數(shù)。例⑵n為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標志值的算術(shù)

平均數(shù)為中位數(shù)。②由單項數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）較小制累計較大制累計26338031101377321427673427545336187226418808合計80--例③由組距數(shù)列確定中位數(shù)按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)較小制累計較大制累計50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計164--下限公式（較小制累計時用）：上限公式（較大制累計時用）：①中位數(shù)不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標志值與中位數(shù)離差的絕對值之和是個最小值。③對某些不具有數(shù)學特點或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平。3.中位數(shù)的特點（一）三者的關(guān)系表示為：七、各種平均數(shù)之間的相互關(guān)系f如圖：(二）三者的關(guān)系1.當總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一,如圖：fX2.

當總體分布呈非對稱狀態(tài)時如圖：fX所以如果，則說明分布右偏（或上偏）如果，則說明分布左偏（或下偏）如果，則說明分布對稱根據(jù)卡爾·皮爾遜經(jīng)驗公式，還可以推算出：1.平均指標只能適用于同質(zhì)總體。2.用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù)。八、平均指標的運用原則3.用分配數(shù)列補充說明平均數(shù)①標志變動度是評價平均數(shù)代表性的依據(jù)。第四節(jié)標志變動度2.作用：1.概念：標志變動度是指總體中各單位標志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。一、標志變動度的意義、作用和種類

②標志變動度可用來反映社會生產(chǎn)和其他社會經(jīng)濟活動過程的均衡性或協(xié)調(diào)性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。

供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結(jié)果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標志變動度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標準差、離散系數(shù)等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標準差 S.D.(σ)離散系數(shù) ①優(yōu)點：計算方便，易于理解。②缺點：全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定標志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標志的變異程度。1.全距是總體各單位標志值最大值和最小值之差,2.全距的特點二、全距R1.概念：將總體各單位的標志值按大小順序排列，然后將數(shù)列分為四等分，形成三個分割點(Q1、Q2、Q3)，這三個分割點稱為四分位數(shù)，(其中第二個四分位數(shù)Q2就是數(shù)列的中位數(shù)Me)。

四分位差Q.D.=Q3-Q1三、四分位差Q.D.①根據(jù)未分組資料求Q.D.2.計算：②根據(jù)分組資料求Q.D.

2)若單項數(shù)列，則Q1與Q3所在組的標志值就是Q1與Q3的數(shù)值；

若組距數(shù)列，確定了Q1與Q3所在組后，還要用以下公式求近似值：①四分位差不受兩端各25%數(shù)值的影響，能對開口組數(shù)列的差異程度進行測定；②用四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低；③四分位差不反映所有標志值的差異程度，它所描述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標。3.四分位差的特點平均差是數(shù)列中各單位標志值與平均數(shù)之間絕對離差的平均數(shù)。1.概念和計算：