理論力學(xué)復(fù)習(xí)課

公理一（二力平衡公理）

作用于剛體的二力,其平衡的充分必要條件是：此二力大小相等，方向相反，作用線沿同一直線。

公理二（增減平衡力系公理）

在作用于剛體的任一力系上，增加或減去一平衡力系，原力系的效應(yīng)不變。

公理三（力的平行四邊形法則）

作用于物體同一點上的二力可以合成為一個力（稱為合力）。合力作用點仍在該點，合力的大小和方向由以兩分力為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的對角線確定。

公理四（作用和反作用定律）

兩物體間的相互作用力，總是大小相等，方向相反，作用線沿同一直線。

公理五（剛化公理）

若可變形體在已知力系作用下處于平衡狀態(tài)，則如將這個已變形但平衡的物體變?yōu)閯傮w，其平衡不受影響。適用于處于平衡狀態(tài)下的物體和物體系統(tǒng)都適用。PAG2

若作用于物體的全部主動力的合力作用線在摩擦角之內(nèi),則無論這個力怎樣大,物塊必保持靜止。自鎖現(xiàn)象自鎖不發(fā)生自鎖

如在同一結(jié)點的所有內(nèi)力為未知的桿中，除某一桿外，其余各桿均共線，則該桿稱為此結(jié)點的單桿

結(jié)點平衡的特殊情況（零桿的判別）零桿：1).兩根桿的結(jié)點

a).若結(jié)點上無荷載，則二桿全為零。a)b).若荷載沿其中一桿的方向，則該桿軸力為F，另一桿為零桿。b)在桁架中，軸力為零的桿件。單桿：2).有單桿的結(jié)點

a).在圖示荷載作用下單桿3的軸力利用Fy=0

可求。

b).在荷載沿單桿作用下，則單桿軸力等于F，另兩桿軸力相等。

c).單桿結(jié)點上無荷載作用，則單桿軸力等于0。b)F

a)αc)F

a)ααα

b)3).四桿結(jié)點

a).X結(jié)點，當(dāng)結(jié)點無荷載時，共線兩桿內(nèi)力相等且符號相同

b).K結(jié)點，當(dāng)結(jié)點無荷載時，非共線兩桿內(nèi)力相等符號相反。已知點作平面曲線運動，其運動方程為：求在任一瞬時該點的切向加速度、法向加速度及軌跡曲線的曲率半徑。解：由已知的運動方程求得動點在任一瞬時的速度與加速度的大小為切向加速度的大小為：法向加速度的大小為：軌跡曲線的曲率半徑為：動量矩質(zhì)點對點O的動量矩：

質(zhì)點對軸Z的動量矩：

正負(fù)號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同對著軸看：

順時針為負(fù)逆時針為正1．質(zhì)點的動量矩質(zhì)點對點O的動量矩與對軸z的動量矩之間的關(guān)系：質(zhì)系對軸Z動量矩：動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉(zhuǎn)動的強(qiáng)弱。2．質(zhì)點系的動量矩質(zhì)系對點O動量矩:(1)平動剛體平動剛體對固定點（軸）的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點（軸）的動量矩。定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。3.剛體動量矩計算：(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。(3)平面運動剛體（一）質(zhì)點的動量矩定理動量矩定理兩邊叉乘矢徑,

有左邊可寫成

質(zhì)點對任一固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一點之矩。這就是質(zhì)點對固定點的動量矩定理。

故：

將上式在通過固定點O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得

上式稱質(zhì)點對固定軸的動量矩定理，也稱為質(zhì)點動量矩定理的投影形式。即質(zhì)點對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一軸之矩。稱為質(zhì)點的動量矩守恒。若則常矢量

質(zhì)點系對任一固定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一點之矩的矢量和（外力系的主矩）。（二）質(zhì)點系的動量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運算的順序，而——質(zhì)點系對固定點的動量矩定理對質(zhì)點系，有對質(zhì)點Mi：將上式在通過固定點O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得

上式稱為質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理。即質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。質(zhì)點系的動量矩守恒

（1）當(dāng)時，常矢量。

（2）當(dāng)時，

常量。

定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點系的動量矩，只有外力才能改變質(zhì)點系的動量矩。剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程代入質(zhì)點系動量矩定理，有—剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程解決兩類問題：（1）已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。（2）已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運動定理求解。對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體特殊情況：（1）若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止。（2）若常量，則

=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。定義剛體對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量的定義為例：勻質(zhì)細(xì)直桿長為l,質(zhì)量為m。

求：（1）對z軸的轉(zhuǎn)動慣量；（2）對z'軸的轉(zhuǎn)動慣量。1．轉(zhuǎn)動慣量的計算解：（１）積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）

對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。由所定義的長度稱為剛體對

z軸的回轉(zhuǎn)半徑。（2）回轉(zhuǎn)半徑同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。

剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。（3）平行移軸定理（4）計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法當(dāng)物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動慣量,然后再加起來就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負(fù)值來處理。【解】例：鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l

；均質(zhì)圓盤：m2,R。求JO

。一、質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理

設(shè)質(zhì)量m為的質(zhì)點，在主動力、約束反力的作用下運動，其加速度為a，如圖（a）所示。(a)(b)質(zhì)點和質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理對質(zhì)點M應(yīng)有上式可改寫為由于，則上式記作：這說明，在質(zhì)點運動的任一瞬時，質(zhì)點所受的主動力、約束反力與質(zhì)點的慣性力的矢量和為零。也可理解為：在質(zhì)點運動的任一瞬時，質(zhì)點所受的主動力、約束反力與虛加