測試技術(第一章)3

工程測試技術——郭世偉第一章信號分析基礎（三）五、隨機信號（一）隨機信號的特征

隨機信號不能用確定的數(shù)學表達式表達。隨機信號不能準確預測與復現(xiàn)，只能通過大量觀測記錄，可用離散數(shù)據(jù)序列、圖形形式等描述。用數(shù)理統(tǒng)計的原理描述其特征。對隨機過程進行多次長時間的觀測。每次觀測為一個樣本函數(shù)，有限時間區(qū)間內(nèi)為一個樣本記錄。隨機過程的統(tǒng)計參數(shù)有：均值、方差、均方值和均方根值等。集合平均和時間平均概念（這些概念也可應用于周期信號）隨機過程的分類：平穩(wěn)隨機過程的集合平均值、方差值等不隨時間改變，為常數(shù)值。對于各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，其任意樣本函數(shù)均包括了該隨機過程的全部特征。可從單個樣本函數(shù)中取若干樣本記錄，用其時間平均的統(tǒng)計特征來估計整個隨機過程的特征。實際工程中的隨機過程大多為各態(tài)歷經(jīng)性的，或在某一范圍內(nèi)具有各態(tài)歷經(jīng)性。以下均指的是各態(tài)歷經(jīng)性隨機過程。（二）信號的幅值域分析各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的幅值域分析主要有：均值、均方值、方差等數(shù)字特征參數(shù)，和概率密度函數(shù)描述。1、數(shù)字特征參數(shù)（1）均值均值E[x(t)]表示集合平均值或數(shù)學期望值。對于各態(tài)歷經(jīng)隨機信號，也可用一個樣本函數(shù)的時間平均描述。實際中用樣本記錄來估計其均值均值：反映了信號變化的中心趨勢，也稱之為直流分量。（2）均方值信號的均方值E[x2(t)]，反映了信號的強度（平均功率）；其正平方根值，又稱為有效值(RMS)，也是信號平均能量的一種表達。定義和估計值分別為：工程測量中儀器的表頭示值就是信號的有效值。（3）方差

信號x(t)的方差定義為：

方差：反映了信號繞均值的波動程度。大方差

小方差

估計值為2、概率密度函數(shù)

以幅值大小為橫坐標，以每個幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率為縱坐標進行統(tǒng)計分析的方法。它反映了信號落在不同幅值強度區(qū)域內(nèi)的概率情況。在樣本記錄x(t)中，幅值落在某指定區(qū)間內(nèi)的總時間為：幅值落在該區(qū)間的概率為：概率密度函數(shù)反映了信號的瞬時值落在指定幅值區(qū)間內(nèi)的概率。也可用直方圖表示：以幅值大小為橫坐標，以每個幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的頻次為縱坐標進行統(tǒng)計分析的一種方法。直方圖概率密度函數(shù)歸一化3、概率分布函數(shù)

概率分布函數(shù)是信號幅值小于或等于某值r的概率，其定義為：落在某一區(qū)間的概率為：4、由概密函數(shù)可求各數(shù)字特征參數(shù)：概密函數(shù)圖形特征，可用以判斷信號性質(zhì)用于機械故障診斷（三）信號的相關分析相關函數(shù)可定量地表示信號波形間的相似程度。1、相關的概念相關指變量之間的相依關系，統(tǒng)計學中用相關系數(shù)來描述變量x，y之間的相關性。是兩隨機變量之積的數(shù)學期望，稱為相關性，表征了x、y之間的關聯(lián)程度。xyxyxyxy2、相關函數(shù)相關函數(shù)可定量描述兩信號波形的相似程度。平穩(wěn)隨機過程的相關函數(shù)不隨時間起點而改變，為時差的函數(shù)，即僅與兩信號間的相對移動量τ有關，故相關函數(shù)為時差τ的函數(shù)，反映了兩信號在時移中的相關性，稱為相關函數(shù)（又稱時差域分析）：稱為互相關分析。當時，稱為自相關函數(shù)：由定義可知：計算時，令x(t)、y(t)二個信號之間產(chǎn)生時差τ，再相乘和積分，就可以得到τ時刻二個信號的相關性。

x(t)y(t)時延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)積分器

Rxy(τ)相關分析的離散化計算信號間為了具有相互定量可比性，用均值和方差進行處理，消除均方值不等的影響，成為相關系數(shù)：實際計算中用有限積分時間的離散值估算：相關系數(shù)，其值越大，相似程度越高。等于1時兩波形完全相似，但為-1時相位相反，等于0時兩波形間不存在相似關系。相關函數(shù)的性質(zhì)

相關函數(shù)描述了兩個信號間或信號自身不同時刻的相似程度，通過相關分析可以發(fā)現(xiàn)信號中許多有規(guī)律的東西。自相關函數(shù)性質(zhì)：（1）自相關函數(shù)是的偶函數(shù)，Rx()=Rx(-)；（2）當=0時，自相關函數(shù)具有最大值，且（3）周期信號的自相關函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，但不保留原信號的相位信息。互相關函數(shù)性質(zhì)：（1）不是偶函數(shù)，但有（2）兩等周期信號的互相關函數(shù)仍然是同頻率的周期信號，且保留原了信號的相位信息。（3）兩個非同頻率的周期信號互不相關，且。（4）隨機信號的相關函數(shù)將隨的增大快速衰減。相關分析的工程應用

案例：機械加工表面粗糙度自相關分析被測工件相關分析提取出回轉(zhuǎn)誤差等周期性的故障源。用來檢測混淆在干擾信號中的確定性周期信號成分。案例：自相關分析測量轉(zhuǎn)速理想信號干擾信號實測信號自相關系數(shù)提取周期性轉(zhuǎn)速成分。案例：地下輸油管道漏損位置的探測

案例：AGV小車定位，聲位筆定位相關測速法運動物體速度的測量案例：互相關汽車測速互相關分析可應用于：同頻檢測技術，相關濾波器，從噪聲背景中分離出有用信號。滯后時間確定信號源定位測速測距離教材中例題的講解（四）功率譜密度分析功率譜分析是從頻域研究平穩(wěn)隨機過程的重要方法。1、自功率譜密度函數(shù)平穩(wěn)隨機信號的相關函數(shù)和功率譜是傅立葉變換的關系，定義自功率譜密度函數(shù)為：它為雙邊譜，也有單邊譜密度函數(shù)，定義域為，有：此即著名的維納—辛欽公式2、功率譜的物理意義

可見，自功率譜密度函數(shù)曲線與頻率軸包圍的面積就等于信號的平均功率，則自功率譜密度函數(shù)就是單位頻帶寬度內(nèi)的信號功率，描述了信號功率隨頻率的分布規(guī)律，具有功率密度的含義。3、自功率譜密度函數(shù)與幅頻譜之間的關系由頻率卷積定理推導得帕什瓦爾能量積分等式：在整個時間軸上的信號平均功率為：性質(zhì)：（1）自功率譜密度函數(shù)為實偶函數(shù)。（2）自功率譜密度函數(shù)不僅可由相關函數(shù)的傅立葉變換得到，也能由信號幅值頻譜得到，但失去了原信號的相位信息。（3）信號的自功率譜密度函數(shù)和幅值頻譜函數(shù)均反映了原信號的頻譜結構，但前者反映的是幅頻譜的平方，使原信號的頻譜結構特征更為明顯。周期圖法建立在FFT的基礎上，它為一種經(jīng)典譜估計法，還需要對它進行平滑處理，如分段平均。4、互功率譜密度函數(shù)（1）互功率譜密度函數(shù)與互相關函數(shù)間關系為傅立葉變換?；スβ首V密度函數(shù)不象自功率譜那樣有明顯物理意義，但可在頻域內(nèi)描述兩個隨機信號的相關性。實際計算中的互譜估計式為：（2）相干函數(shù)常用相干函數(shù)來描述輸入信號和輸出信號之間的因果性，即輸出信號的功率譜中有多少是輸入量所引起的響應。