模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識

模糊數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)老師:宋榮榮日期：5.112014數(shù)學(xué)模型培訓(xùn)第一講一、什么是數(shù)學(xué)建模？根據(jù)背景知識（已知條件）和查找資料，選擇正確的方法建立模型，通過計算機(jī)編程計算模型的結(jié)果，利用結(jié)果回答要解決的問題。數(shù)學(xué)建模的簡要介紹1、全國數(shù)學(xué)建模比賽官方網(wǎng)站/home/2、美國數(shù)學(xué)建模比賽官方網(wǎng)站/undergraduate/contests二、兩個重要的比賽三、參加數(shù)學(xué)建模的意義1、提高學(xué)生的綜合能力分析和解決復(fù)雜問題的能力、查找資料的能力、合作的能力、吃苦耐勞的能力、寫作的能力、領(lǐng)導(dǎo)的能力、協(xié)調(diào)的能力、科研能力2、給學(xué)生帶來很多榮譽(yù)加分、保研、發(fā)獎金、出國留學(xué)第

1章模糊數(shù)學(xué)的基本概念生活中的現(xiàn)象用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫；2.隨機(jī)現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠概率統(tǒng)計去刻畫;3.模糊現(xiàn)象：如“今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，…等等。模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的必然性1、多少粒種子是一堆?2、禿子問題：所有人都是禿頭。確定性的知識無法解決模糊現(xiàn)象。模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人1965年，L.A.Zadeh（扎德）發(fā)表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)模糊數(shù)學(xué)的基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。某個人屬于禿子的程度為0.8,另一個人屬于禿子的程度為0.3等.

課堂主要內(nèi)容一、基本概念二、主要應(yīng)用1.模糊聚類分析（模糊關(guān)系）——對所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類模糊集，隸屬函數(shù)，模糊關(guān)系與模糊矩陣?yán)纾o出不同地方的土壤，根據(jù)土壤中氮磷以及有機(jī)質(zhì)含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性狀，對土壤進(jìn)行分類。2.模糊識別（貼近度）——已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，給出一個具體的對象，確定把它歸于哪一類模型。例如：蘋果分級問題蘋果，有{I級，II級，III級，IV級}四個等級?，F(xiàn)有一個具體的蘋果，如何判斷它的級別。3.模糊決策(權(quán)重)——把事物按照優(yōu)劣進(jìn)行排序，或者選出“令人滿意的最佳事物”。例如：某班學(xué)生對于對某一教師上課進(jìn)行評價從{清楚易懂，教材熟練，生動有趣，板書清晰}四方面給出{很好，較好，一般，不好}四層次的評價最后問該班學(xué)生對該教師的綜合評價究竟如何。4.模糊線性規(guī)劃（普通線性規(guī)劃）——將線性規(guī)劃的約束條件或目標(biāo)函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導(dǎo)出一個新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解5.模糊系統(tǒng)控制（模糊規(guī)則）——模糊系統(tǒng)是一種基于知識或基于規(guī)則的系統(tǒng)。它的核心就是由所謂的IF—THEN規(guī)則所組成的控制器。一個IF—THEN規(guī)則就是一個用連續(xù)的隸屬度函數(shù)對所描述的某些句子所做的ＩＦ—ＴＨＥＮ形式的陳述。（一）經(jīng)典集合確定性；無重復(fù)性；互異性

集合的表示法：

(1)枚舉法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

AB若xA，則xB；

AB若xB，則xA；

A=BAB且AB.

（3）圖示法一、經(jīng)典集合的性質(zhì)

集合A的所有子集所組成的集合稱為A的冪集，記為(A).并集A∪B={x|xA或xB}；交集A∩B={x|xA且xB}；余集Ac

={x|xA}.集合的運(yùn)算規(guī)律冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪=A

，A∩=

；還原律：(Ac)c=A

；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=；U為全集，為空集.集合的直積：

XY={(x,y)|xX,yY

}.二、映射1、映射f：XY特征函數(shù)滿足（證明）

取大運(yùn)算,如2∨3=3取大運(yùn)算,如2∧3=22、集合A的特征函數(shù)：三、二元關(guān)系

XY的子集R稱為從X到Y(jié)的二元關(guān)系，特別地，當(dāng)X=Y時，稱之為X上的二元關(guān)系.二元關(guān)系簡稱為關(guān)系.

若(x,y)R，則稱x與y有關(guān)系，記為R(x,y)=1；

若(x,y)R，則稱x與y沒有關(guān)系，記為R(x,y)=0.

映射R:XY{0,1}實際上是XY的子集R上的特征函數(shù).關(guān)系的三大特性：

設(shè)R為X上的關(guān)系

(1)自反性：若X上的任何元素都與自己有關(guān)系R，即R(x,x)=1，則稱關(guān)系R具有自反性；

(2)對稱性：對于X上的任意兩個元素x,y，若x與y有關(guān)系R時，則y與x也有關(guān)系R，即若R(x,y)=1，則R(y,x)=1，那么稱關(guān)系R具有對稱性；

(3)傳遞性：對于X上的任意三個元素x,y,z，若x與y有關(guān)系R，y與z也有關(guān)系R時，則x與z也有關(guān)系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，則R(x,z)=1，那么稱關(guān)系R具有傳遞性.

關(guān)系的矩陣表示法

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R為從X到Y(jié)的二元關(guān)系，記rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，則R為布爾矩陣(Boole)，稱為R的關(guān)系矩陣.

布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1的矩陣.關(guān)系三大特性的矩陣表示法：

設(shè)R為X={x1,x2,…,xn}

上的關(guān)系，則其關(guān)系矩陣R=(rij)n×n

為n階方陣.(1)R具有自反性I≤R；(2)R具有對稱性RT

=R

；(3)R具有傳遞性R2≤R

.

若R具有自反性，則

I≤R≤R2≤R3

≤…關(guān)系合成的矩陣表示法

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)的關(guān)系R1=(aik)m×s，Y到Z的關(guān)系R2=(bkj)s×n，則X到Z的關(guān)系可表示為矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

例設(shè)X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y(jié)的關(guān)系,R2是Y到Z的關(guān)系,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},則R1與R2的合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.合成(°

)運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質(zhì)3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質(zhì)5：A≤B，C≤DA°C≤B°D.其中O為零矩陣，I為n階單位方陣.A≤B

aij≤bij

.集合上的等價關(guān)系

設(shè)

X上的關(guān)系R具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R為X上的等價關(guān)系.

若x與y有等價關(guān)系R，則記為xy.集合上的等價類

設(shè)

R是X上的等價關(guān)系，xX.定義x的等價類：[x]R={y|yX

，yx}.相似關(guān)系

設(shè)

X上的關(guān)系R具有自反性、對稱性，則稱R為X上的相似關(guān)系.集合上的相似類設(shè)

R是X上的相似關(guān)系，若C

X，任取x，yC，有x

Ry則稱C是由相似關(guān)系R產(chǎn)生的相似類，記為[x]R.（二）模糊集合一、模糊集合的定義

設(shè)U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度.

使A(x)=0.5的點(diǎn)x稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性.例

設(shè)論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：二、模糊集的運(yùn)算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：AB

A(x)≤B(x)；并：A∪B的隸屬函數(shù)為

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隸屬函數(shù)為

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隸屬函數(shù)為Ac(x)=1-

A(x).

例設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義兩個模糊集：A=“商品質(zhì)量好”，B=“商品質(zhì)量壞”，并設(shè)A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).則Ac=“商品質(zhì)量不好”,Bc=“商品質(zhì)量不壞”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可見Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.模糊集的運(yùn)算律

冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，