九年級(jí)圖形旋轉(zhuǎn)題型

中考新題型研究一、圖形變換型試題的研究原題型：在△ABC中，∠C=90o，D、E、F分別是AB、BC、

CA的中點(diǎn)，連接DE、EF、FD，求證：EF2=DE2+DF2

原題型：在△ABC中，∠C=90o，D、E、F分別是AB、BC、

CA的中點(diǎn)，連接DE、EF、FD.問(wèn)題1.不改變條件，你還能得出哪些結(jié)論？原題型：在△ABC中，∠C=90o，D、E、F分別是AB、BC、

CA的中點(diǎn)，連接DE、EF、FD.問(wèn)題2.根據(jù)1的變式，適當(dāng)互換條件和結(jié)論，你能得出哪些新問(wèn)題？問(wèn)題3：如圖，在△ABC中，∠C=90o，D是AB中點(diǎn)，

E、F分別在BC、CA上，且∠EDF=90o，當(dāng)點(diǎn)F在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E

在BC上隨之運(yùn)動(dòng)，問(wèn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EF與AF、BE有怎樣的關(guān)系？問(wèn)題3：如圖，在△ABC中，∠C=90o，D是AB中點(diǎn)，

E、F分別在BC、CA上，且∠EDF=90o，當(dāng)點(diǎn)F在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E

在BC上隨之運(yùn)動(dòng)，問(wèn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EF與AF、BE有怎樣的關(guān)系？G問(wèn)題4：如圖，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o

，BC=a（a為常數(shù)），D是AB中點(diǎn)，

E、F分別在BC、CA上，且∠EDF=90o，設(shè)AF=x，四邊形CEDF的面積為y.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍；（2）求y的最大值.問(wèn)題5：一付三角尺A/B/C/按如圖放置，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o

，D是AB中點(diǎn)，在△A/B/C/中，∠C/=90o，C/A/=C/B/，其中點(diǎn)C/與點(diǎn)D重合，又AC與A/C/交于點(diǎn)F，BC與B/C/交于點(diǎn)E，（1）如圖甲，當(dāng)三角尺A/B/C/繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使F是AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：E是BC的中點(diǎn)；（2）在（1）的情況下，求證：EF2=AF2+BE2

；問(wèn)題5：（3）如圖乙，當(dāng)F不是AC的中點(diǎn)時(shí)，（2）的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以證明.（4）設(shè)AF=x，四邊形FDEC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍，求出y的最大值.問(wèn)題6：如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點(diǎn)與A重合，并將三角尺繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，使它的斜邊與BC交于點(diǎn)E，一條直角邊與CD交于點(diǎn)F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點(diǎn).（1）求證：△ABP∽△ACF，且相似比為1∶；

問(wèn)題6：如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點(diǎn)與A重合，并將三角尺繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，使它的斜邊與BC交于點(diǎn)E，一條直角邊與CD交于點(diǎn)F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點(diǎn).（1）求證：△ABP∽△ACF，且相似比為1∶；

（2）請(qǐng)?jiān)僭趫D中（不再添線和加注字母）找出兩對(duì)相似比為1∶的非直角三角形的相似三角形；問(wèn)題7：把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分（如圖2）.（1）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

圖1圖2問(wèn)題7：把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分（如圖2）.（2）連接CG，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)△GCH的面積為x，△GKC的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

圖1圖2問(wèn)題8：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將等腰直角三角板EPF的直角頂點(diǎn)P放在線段BC的中點(diǎn)上，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點(diǎn)分別為N、M，線段MN、AP相交于點(diǎn)D.（1）請(qǐng)你猜出線段PN與PM的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；問(wèn)題8：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將直角三角板EPF的直角頂點(diǎn)P放在線段BC的中點(diǎn)上，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點(diǎn)分別為N、M，線段MN、AP相交于點(diǎn)D.（1）請(qǐng)你猜出線段PN與PM的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)線段AM的長(zhǎng)為x，△PMN

的面積為y，請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）.問(wèn)題8：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將直角三角板EPF的直角頂點(diǎn)P放在線段BC的中點(diǎn)上，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點(diǎn)分別為N、M，線段MN、AP相交于點(diǎn)D.（1）請(qǐng)你猜出線段PN與PM的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)線段AM的長(zhǎng)為x，△PMN

的面積為y，請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）當(dāng)直角三角板EPF運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，求線段AM的長(zhǎng).問(wèn)題8：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將直角三角板EPF的直角頂點(diǎn)P放在線段BC的中點(diǎn)上，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點(diǎn)分別為N、M，線段MN、AP相交于點(diǎn)D.（1）請(qǐng)你猜出線段PN與PM的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)線段AM的長(zhǎng)為x，△PMN

的面積為y，請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）當(dāng)直角三角板EPF運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，求線段AM的長(zhǎng).H問(wèn)題9：已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D、E.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），易證：OD+OE=OC.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與圖1圖3圖2OA不垂直時(shí)，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.問(wèn)題9：已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D、E.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），易證：OD+OE=OC.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.圖1圖2PQ圖2的結(jié)論是：OD+OE=OC.圖1問(wèn)題9：已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D、E.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），易證：OD+OE=OC.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.圖3QP圖3的結(jié)論是：OE-OD=OC.問(wèn)題10：已知在△ABC中，∠C=90o，AC=BC=2，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AC、CB于D、E兩點(diǎn)，如圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的三種情況.（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，線段PD與PE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖2加以說(shuō)明；圖1圖2圖3問(wèn)題10：已知在△ABC中，∠C=90o，AC=BC=2，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AC、CB于D、E兩點(diǎn)，如圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的三種情況.（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，線段PD與PE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖2加以說(shuō)明；圖1圖2圖3問(wèn)題10：已知在△ABC中，∠C=90o，AC=BC=2，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AC、CB于D、E兩點(diǎn)，如圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的三種情況.（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，線段PD與PE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖2加以說(shuō)明；（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，請(qǐng)指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；圖1圖2圖3問(wèn)題10：（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB=1∶3，和前面一樣操作，試問(wèn)線段MD與ME之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖4加以說(shuō)明.圖4問(wèn)題10：（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB=1∶3，和前面一樣操作，試問(wèn)線段MD與ME之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖4加以說(shuō)明.圖4FH問(wèn)題11：在ABC中，AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△

AB1C1，使點(diǎn)Cl落在直線BC上(點(diǎn)Cl與點(diǎn)C不重合)，(1)如圖，當(dāng)C>60°時(shí)，寫出邊ABl與邊CB的位置關(guān)系，并加以證明；問(wèn)題11：在ABC中，AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△

AB1C1，使點(diǎn)Cl落在直線BC上(點(diǎn)Cl與點(diǎn)C不重合).(2)當(dāng)C=60°時(shí)，寫出邊ABl與邊CB的位置關(guān)系(不要求證明)；(3)當(dāng)C<60°時(shí)，請(qǐng)你在圖中用尺規(guī)作圖法作出△AB1C1(保留作圖痕跡，不寫作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的結(jié)論是否還成立?并說(shuō)明理由．問(wèn)題11：在ABC中，AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△

AB1C1，使點(diǎn)Cl落在直線BC上(點(diǎn)Cl與點(diǎn)C不重合).(3)當(dāng)C<60°時(shí)，請(qǐng)你在圖中用尺規(guī)作圖法作出△AB1C1(保留作圖痕跡，不寫作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的結(jié)論是否還成立?并說(shuō)明理由．問(wèn)題12：一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．（1）如圖，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BM，F(xiàn)N的長(zhǎng)度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；問(wèn)題12：（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題13：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)。將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。（1）當(dāng)α＝30°時(shí)(如圖②)，求證：AG=DH；圖①圖②問(wèn)題13：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)。將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。（2）當(dāng)α＝60°時(shí)(如圖③)，(1)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；問(wèn)題14：把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中AB=DE=4，∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ．此時(shí)AP·CQ=

．問(wèn)題14：把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中AB=DE=4，∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（2）將三角板DEF由圖所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α

＜90°，問(wèn)AP·CQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由.問(wèn)題14：把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中AB=DE=4，∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=X，兩塊三角板重疊面積為Y，求Y與

X的函數(shù)關(guān)系式．問(wèn)題16：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為，直線m：與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點(diǎn)M.（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；xy問(wèn)題16：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為，直線m：與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點(diǎn)M.（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時(shí)，直線m繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn).當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，直線m也恰好與⊙B第一次相切.求直線AC繞點(diǎn)A每秒鐘旋轉(zhuǎn)多少度？xy問(wèn)題17：如圖1，把正方形CGEF的對(duì)角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上（CG＞BC），取線段AE的中點(diǎn)M，（1）求證：MD=MF；圖1問(wèn)題17：如圖1，把正方形CGEF的對(duì)角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上（CG＞BC），取線段AE的中點(diǎn)M，（1）求證：MD=MF