九年級圖形旋轉(zhuǎn)題型

中考新題型研究一、圖形變換型試題的研究原題型：在△ABC中，∠C=90o，D、E、F分別是AB、BC、

CA的中點，連接DE、EF、FD，求證：EF2=DE2+DF2

原題型：在△ABC中，∠C=90o，D、E、F分別是AB、BC、

CA的中點，連接DE、EF、FD.問題1.不改變條件，你還能得出哪些結(jié)論？原題型：在△ABC中，∠C=90o，D、E、F分別是AB、BC、

CA的中點，連接DE、EF、FD.問題2.根據(jù)1的變式，適當(dāng)互換條件和結(jié)論，你能得出哪些新問題？問題3：如圖，在△ABC中，∠C=90o，D是AB中點，

E、F分別在BC、CA上，且∠EDF=90o，當(dāng)點F在AC上運動時，點E

在BC上隨之運動，問在運動過程中，EF與AF、BE有怎樣的關(guān)系？問題3：如圖，在△ABC中，∠C=90o，D是AB中點，

E、F分別在BC、CA上，且∠EDF=90o，當(dāng)點F在AC上運動時，點E

在BC上隨之運動，問在運動過程中，EF與AF、BE有怎樣的關(guān)系？G問題4：如圖，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o

，BC=a（a為常數(shù)），D是AB中點，

E、F分別在BC、CA上，且∠EDF=90o，設(shè)AF=x，四邊形CEDF的面積為y.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍；（2）求y的最大值.問題5：一付三角尺A/B/C/按如圖放置，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o

，D是AB中點，在△A/B/C/中，∠C/=90o，C/A/=C/B/，其中點C/與點D重合，又AC與A/C/交于點F，BC與B/C/交于點E，（1）如圖甲，當(dāng)三角尺A/B/C/繞點D旋轉(zhuǎn)，使F是AC的中點時，求證：E是BC的中點；（2）在（1）的情況下，求證：EF2=AF2+BE2

；問題5：（3）如圖乙，當(dāng)F不是AC的中點時，（2）的結(jié)論還成立嗎？請加以證明.（4）設(shè)AF=x，四邊形FDEC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍，求出y的最大值.問題6：如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點與A重合，并將三角尺繞點A轉(zhuǎn)動，使它的斜邊與BC交于點E，一條直角邊與CD交于點F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點.（1）求證：△ABP∽△ACF，且相似比為1∶；

問題6：如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點與A重合，并將三角尺繞點A轉(zhuǎn)動，使它的斜邊與BC交于點E，一條直角邊與CD交于點F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點.（1）求證：△ABP∽△ACF，且相似比為1∶；

（2）請再在圖中（不再添線和加注字母）找出兩對相似比為1∶的非直角三角形的相似三角形；問題7：把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）.（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

圖1圖2問題7：把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）.（2）連接CG，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)△GCH的面積為x，△GKC的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

圖1圖2問題8：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將等腰直角三角板EPF的直角頂點P放在線段BC的中點上，以點P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點分別為N、M，線段MN、AP相交于點D.（1）請你猜出線段PN與PM的大小關(guān)系，并說明理由；問題8：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將直角三角板EPF的直角頂點P放在線段BC的中點上，以點P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點分別為N、M，線段MN、AP相交于點D.（1）請你猜出線段PN與PM的大小關(guān)系，并說明理由；（2）設(shè)線段AM的長為x，△PMN

的面積為y，請求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）.問題8：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將直角三角板EPF的直角頂點P放在線段BC的中點上，以點P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點分別為N、M，線段MN、AP相交于點D.（1）請你猜出線段PN與PM的大小關(guān)系，并說明理由；（2）設(shè)線段AM的長為x，△PMN

的面積為y，請求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）當(dāng)直角三角板EPF運動到使時，求線段AM的長.問題8：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將直角三角板EPF的直角頂點P放在線段BC的中點上，以點P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點分別為N、M，線段MN、AP相交于點D.（1）請你猜出線段PN與PM的大小關(guān)系，并說明理由；（2）設(shè)線段AM的長為x，△PMN

的面積為y，請求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）當(dāng)直角三角板EPF運動到使時，求線段AM的長.H問題9：已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點D、E.當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），易證：OD+OE=OC.當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與圖1圖3圖2OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.問題9：已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點D、E.當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），易證：OD+OE=OC.當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.圖1圖2PQ圖2的結(jié)論是：OD+OE=OC.圖1問題9：已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點D、E.當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），易證：OD+OE=OC.當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.圖3QP圖3的結(jié)論是：OE-OD=OC.問題10：已知在△ABC中，∠C=90o，AC=BC=2，將一塊等腰直角三角板的直角頂點P放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AC、CB于D、E兩點，如圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的三種情況.（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，線段PD與PE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖2加以說明；圖1圖2圖3問題10：已知在△ABC中，∠C=90o，AC=BC=2，將一塊等腰直角三角板的直角頂點P放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AC、CB于D、E兩點，如圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的三種情況.（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，線段PD與PE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖2加以說明；圖1圖2圖3問題10：已知在△ABC中，∠C=90o，AC=BC=2，將一塊等腰直角三角板的直角頂點P放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AC、CB于D、E兩點，如圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的三種情況.（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，線段PD與PE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖2加以說明；（2）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，請指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由；圖1圖2圖3問題10：（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB=1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD與ME之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖4加以說明.圖4問題10：（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB=1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD與ME之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖4加以說明.圖4FH問題11：在ABC中，AB=BC，將△ABC繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得△

AB1C1，使點Cl落在直線BC上(點Cl與點C不重合)，(1)如圖，當(dāng)C>60°時，寫出邊ABl與邊CB的位置關(guān)系，并加以證明；問題11：在ABC中，AB=BC，將△ABC繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得△

AB1C1，使點Cl落在直線BC上(點Cl與點C不重合).(2)當(dāng)C=60°時，寫出邊ABl與邊CB的位置關(guān)系(不要求證明)；(3)當(dāng)C<60°時，請你在圖中用尺規(guī)作圖法作出△AB1C1(保留作圖痕跡，不寫作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的結(jié)論是否還成立?并說明理由．問題11：在ABC中，AB=BC，將△ABC繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得△

AB1C1，使點Cl落在直線BC上(點Cl與點C不重合).(3)當(dāng)C<60°時，請你在圖中用尺規(guī)作圖法作出△AB1C1(保留作圖痕跡，不寫作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的結(jié)論是否還成立?并說明理由．問題12：一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；問題12：（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．問題13：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點。將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。（1）當(dāng)α＝30°時(如圖②)，求證：AG=DH；圖①圖②問題13：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點。將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。（2）當(dāng)α＝60°時(如圖③)，(1)中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由；問題14：把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中AB=DE=4，∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時AP·CQ=

．問題14：把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中AB=DE=4，∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（2）將三角板DEF由圖所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α

＜90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由.問題14：把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中AB=DE=4，∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=X，兩塊三角板重疊面積為Y，求Y與

X的函數(shù)關(guān)系式．問題16：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心的⊙O的半徑為，直線m：與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點，點B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點M.（1）求點A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；xy問題16：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心的⊙O的半徑為，直線m：與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點，點B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點M.（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時，直線m繞點A順時針勻速旋轉(zhuǎn).當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時，直線m也恰好與⊙B第一次相切.求直線AC繞點A每秒鐘旋轉(zhuǎn)多少度？xy問題17：如圖1，把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點M，（1）求證：MD=MF；圖1問題17：如圖1，把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點M，（1）求證：MD=MF