電大復變函數(shù)形成性考核冊參考復習資料

17/17復變函數(shù)習題總匯與參考答案第1章復數(shù)與復變函數(shù)一,單項選擇題1,若Z1=（a,b）,Z2=(c,d),則Z1·Z2=（C）A（ac+bd,a）B(ac-bd,b)C（ac-bd,ac+bd）D(ac+bd,bc-ad)2,若R>0，則N（∞，R）={z：（D）}A|z|<RB0<|z|<RCR<|z|<+∞D(zhuǎn)|z|>R3,若z=x+iy,則y=(D)ABCD4,若A=，則|A|=（C）A3B0C1D2二,填空題1,若z=x+iy,w=z2=u+iv,則v=（2xy）2,復平面上滿意Rez=4的點集為（{z=x+iy|x=4}）3,（設E為點集，若它是開集，且是連通的，則E）稱為區(qū)域。4,設z0=x0+iy0,zn=xn+iyn(n=1,2,……)，則{zn}以zo為極限的充分必要條件是xn=x0，且yn=y0。三,計算題1,求復數(shù)-1-i的實部,虛部,模與主輻角。解：Re(-1-i)=-1Im(-1-i)=-12,寫出復數(shù)-i的三角式。解：3,寫出復數(shù)的代數(shù)式。解：4,求根式的值。解：四,證明題1,證明若，則a2+b2=1。證明：而3,證明：證明：第2章解析函數(shù)一,單項選擇題1．若f(z)=x2-y2+2xyi,則2,若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),則柯西—黎曼條件為（D）ABCD3,若f(z)=z+1,則f(z)在復平面上（C）A僅在點z=0解析B無處解析C到處解析D在z=0不解析且在z≠0解析4,若f（z）在復平面解析，g(z)在復平面上連續(xù)，則f(z)+g(z)在復平面上（C）A解析B可導C連續(xù)D不連續(xù)二,填空題1,若f(z)在點a不解析，則稱a為f(z)的奇點。2,若f(z)在點z=1的鄰域可導，則f(z)在點z=1解析。3,若f(z)=z2+2z+1，則4,若，則不存在。三,計算題：1,設f(z)=zRe(z),求解：=2,設f(z)=excosy+iexsiny,求解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosyv=exsinyf(z)=u+iv∴f(z)在復平面解析，且=excosy+iexsiny3,設f(z)=u+iv在區(qū)域G內(nèi)為解析函數(shù)，且滿意u=x3-3xy2，f(i)=0,試求f(z)。解：依C-R條件有Vy=ux=3x2-3y2則V（x1y）=3x2y-y3+c(c為常數(shù))故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic=z3+ic，為使f(i)=0,當x=0,y=1時，f(i)=0,有f(0)=-i+ic=0∴c=1∴f(z)=Z3+i4,設f(z)=u+iv在區(qū)域G內(nèi)為解析函數(shù)，且滿意u=2(x-1)y,f(2)=-i,試求f(z)。解：依C-R條件有Vy=ux=2y∴V==y2+(x)∴Vx=∴(x)=V=y2-x2+2x+c(c為常數(shù))∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)為使f(z)=-i,當x=2y=0時,f(2)=ci=-i∴c=-1∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)=-(z-1)2i四,證明題1,試在復平面探討f(z)=iz的解析性。解：令f(z)=u+ivz=x+iy則iz=i(x+iy)=-y+ix∴u=-yv=x于是ux=0uy=-1Vx=1Vy=0∵ux,uy,vx在復平面內(nèi)到處連接又Ux=VyUy=-Vx?！鄁(z)=iz在復平面解析。2,試證：若函數(shù)f(z)在區(qū)域G內(nèi)為解析函數(shù)，且滿意條件（z）=0，z∈G，則f(z)在G內(nèi)為常數(shù)。證：設f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G內(nèi)解析，Ux=Vy,Uy=-Vx又（z）=0,（z）=Ux+iVxUx=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U為實常數(shù)C1，V也為實常數(shù)C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G內(nèi)為常數(shù)。復變函數(shù)課程作業(yè)參考解答2第3章初等函數(shù)一,單項選擇題1.z=(A)是根式函數(shù)的支點.(A)0(B)1(C)(D)i2.z=(D)是函數(shù)的支點.(A)i(B)2i(C)-1(D)03.ei=(B).(A)e-1+e(B)cos1+isin1(C)sin1(D)cos14.sin1=(A)(A)(B)(C)(D)二,填空題1.cosi=2.=e(cos1+isin1)3.lni=4.ln(1+i)=k為整數(shù).三,計算題1.設z=x+iy，計算.解:∴∴==2.設z=x+iy,計算.解:∵z=x+iy∴∴∴3.求方程的解.解:∵lnz=∴由對數(shù)函數(shù)的定義有:Z=∴所給方程的解為z=i4.求方程的解.解:∵=依據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義有:z=n2+i或z=n(1+)四,證明題1.試證:.證明：依據(jù)正弦函數(shù)及余弦正數(shù)定義有：∴sin2z=2sinz·cosz2.證明:.證明:令A=B=sinx+sin2x+…sinnx∴=∴第4章解析函數(shù)的積分理論一,單項選擇題1.(D),c為起點在0,終點在1+i的直線段.(A)0(B)1(C)2i(D)2(1+i)2..(A)0(B)10(C)i(D)3.(A)i(B)10(C)10i(D)04.=(A).(A)(B)(C)(D)二,填空題1.若與沿曲線c可積，則.2.設L為曲線c的長度,若f(z)沿c可積,且在c上滿意,則.3.4.三,計算題1.計算積分,其中c為自0到2+i的直線段.解:c的方程為:其次由得∴==2.計算積分.解:=作區(qū)域D:積分途徑在D內(nèi)被積函數(shù)的奇點Z=2與Z=3均不在D內(nèi),所以被積函數(shù)在D內(nèi)解析.由定理4.2得:=03.計算積分.解:∵奇點z=1和z=-1不在區(qū)域D,內(nèi)的三個根也不在D內(nèi)∴由定理4.2得=04.計算積分,.解:由定理4.6得四,證明題1.計算積分，并由此證明.證明：∵在圓域|z|≤1內(nèi)解析∴=另一方面,在圓|z|=∴=(實部和虛部為0)====∵=0∴∴而為偶函數(shù)∴0==∴復變函數(shù)課程作業(yè)參考解答3第5章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示一,單項選擇題1.冪級數(shù)的收斂半徑等于(B)(A)0(B)1(C)2(D)32.點z=-1是f(z)=r(B)級零點.(A)1(B)2(C)3(D)53.級數(shù)的收斂圓為(D).(A)|z-1|<3(B)|z|<3(C)|z-1|>1(D)|z|<14.設f(z)在點a解析,點b是f(z)的奇點中離點a最近的奇點,于是,使f(z)=成立的收斂圓的半徑等于(C).(A)a+b+1(B)b-a+1(C)|a-b|(D)|a+b|二,填空題1.級數(shù)1+z+的收斂圓R=+．即整個復平面．2.若f(z)=(k為常數(shù)),則z=m(m=0,……)為f(z)的1級零點.3.冪有數(shù)的收斂半徑等于0.4.z=0是f(z)=ez-1的1級零點.三,計算題1.將函數(shù)f(z)=在點z=0綻開冪級數(shù).解:f(z)==-2.將函數(shù)f(z)=(1-z)-2在點z=0綻開成冪級數(shù).解：而(1-z)-1==3．將函數(shù)f(z)=(z+2)-1在點z=1綻開成冪級數(shù).解：f(z)=(z+2)-1==4．將函數(shù)f(z)=ez在點z=1綻開成冪級數(shù).解：f(z)=ezf(n)=ez＝四,證明題1．證明:1-ei2z=-2isinzeiz證：eiz=cosz+isinze-iz=cos-isinzeiz-e-iz=2isinz-2isinz=-(eiz-e-iz)=eiz-e-iz-2isinzeiz=(e-iz-eiz)eiz=e0-e2iz=1-e2iz2．試用解析函數(shù)的唯一性定理證明等式:cos2z=cos2z-sin2z證①f1(z)=cos2z,則f1(z)復平面G解析設f2(z)＝cosz－sin2ｚ，則f2(z)也在整個復平面G解析②取E=K為實數(shù)軸,則E在G內(nèi)有聚點.③當E為實數(shù)時,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)=f2(z)由解析函數(shù)唯一性定理,由以上三條知f1(z)=f2(z)成立即cos2z=cos2z-sin2z解析函數(shù)的羅朗級數(shù)表示一,單項選擇題1．函數(shù)f(z)=在點z=2的去心鄰域(D)內(nèi)可展成羅朗級數(shù).(A)0<(B)0<(C)1<(D)0<2．設點為f(z)的孤立奇點，若=c，則點為f(z)的(C).(A)本性奇點(B)極點(C)可去奇點(D)解析點3．若點為函數(shù)f(z)的孤立奇點，則點為f(z)的極點的充分必要條件是(D).(A)f(z)=c()(B)f(z)=(C)f(z)=c()(D)f(z)=4．若點為函數(shù)f(z)的孤立奇點，則點為f(z)的本性奇點的充要條件是（B）.(A)f(z)=c()(B)f(z)不存在(C)f(z)=c()(D)f(Z)=二,填空題1．設為函數(shù)f(z)在點的羅朗級數(shù),稱為該級數(shù)的主要部分.2.設點為函數(shù)f(z)的奇點,若f(z)在點的某個某個去心鄰域內(nèi)解析,則稱點為f(z)的孤立奇點.3.若f(z)=，則點z=0為f(z)的0級極點.不是極點,若f(z)=則z=0為f(z)的一個極點.4.若f(z)=(sin)-1,則點z＝0為f(z)非孤立奇點.三,計算題1．將函數(shù)f(z)=(z-2)-1在點z=0的去心鄰域展成羅朗級數(shù).解:f(z)==-=-2．將函數(shù)f(z)＝在點ｚ＝１的去心鄰域展成羅朗級數(shù).解:f(z)=3．試求函數(shù)f(z)=z-3·sinz3的有限奇點,并判定奇點的類別.