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第26講矩形、菱形與正方形內(nèi)容索引基礎(chǔ)診斷梳理自測(cè),理解記憶考點(diǎn)突破分類講練,以例求法易錯(cuò)防范辨析錯(cuò)因,提升考能基礎(chǔ)診斷返回知識(shí)梳理11.矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.矩形的四個(gè)角都是

,對(duì)角線相等且

.矩形的判定方法:(1)有三個(gè)角是直角的四邊形;(2)是平行四邊形且有一個(gè)角是直角;(3)對(duì)角線相等的平行四邊形;(4)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形.直角互相平分2.菱形有一組鄰邊

的平行四邊形叫做菱形.菱形的四條邊都相等,對(duì)角線互相

,且每一條對(duì)角線平分一組

.菱形的判定方法:(1)四條邊都相等;(2)有一組鄰邊相等的平行四邊形;(3)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形;(4)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形.相等垂直平分對(duì)角3.正方形有一組鄰邊

且有一個(gè)角是

的平行四邊形叫做正方形.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊都相等,兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.正方形的判定方法:(1)鄰邊相等的矩形;(2)有一個(gè)角是直角的菱形.直角相等4.平行四邊形與矩形、菱形、正方形的聯(lián)系(1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系:在平行四邊形的基礎(chǔ)上,增加“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”的條件可為矩形;若在四邊形的基礎(chǔ)上,則需有三個(gè)角是直角(第四個(gè)角必是直角)才可判定為矩形.(2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系:在平行四邊形的基礎(chǔ)上,增加“一組鄰邊相等”或“對(duì)角線互相垂直”的條件可為菱形;若在四邊形的基礎(chǔ)上,則需有四邊相等才可判定為菱形.(3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系:正方形的判定可簡(jiǎn)記為:菱形+矩形=正方形,其證明思路有兩個(gè):①先證四邊形是菱形,再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形);②先證四邊形是矩形,再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形).1.(2016·益陽(yáng))下列判斷錯(cuò)誤的是(

)A.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形B.四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形C.四條邊都相等的四邊形是菱形D.兩條對(duì)角線垂直且平分的四邊形是正方形診斷自測(cè)212345D解析兩條對(duì)角線互相垂直、平分且相等的四邊形才是正方形.2.(2016·菏澤)在?ABCD中,AB=3,BC=4,當(dāng)?ABCD的面積最大時(shí),下列結(jié)論正確的有(

)①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.A.①②③ B.①②④C.②③④ D.①③④1234解析根據(jù)題意得,當(dāng)?ABCD的面積最大時(shí),四邊形ABCD為矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,B53.(2016·無(wú)錫)下列性質(zhì)中,菱形具有而矩形不一定具有的是(

)A.對(duì)角線相等 B.對(duì)角線互相平分C.對(duì)角線互相垂直 D.鄰邊互相垂直1234C解析A.對(duì)角線相等是矩形具有的性質(zhì),菱形不一定具有;B.對(duì)角線互相平分是菱形和矩形共有的性質(zhì);C.對(duì)角線互相垂直是菱形具有的性質(zhì),矩形不一定具有;D.鄰邊互相垂直是矩形具有的性質(zhì),菱形不一定具有.512344.(2015·梧州)如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=1,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F,使DF=CD,連接AC、CE、EF、AF,則下列描述正確的是(

)B51234解析∵DE=AD,DF=CD,∴四邊形ACEF是平行四邊形,∵四邊形ABCD為菱形,∠B=60°,AB=1,∴∠ADC=60°,AD=CD=1,∴△ACD是等邊三角形,∴AE=CF,∴四邊形ACEF是矩形,∴AC=EF=1.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AF于點(diǎn)G,512345123455.(2016·聊城)如圖,把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處,點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,若∠2=40°,則圖中∠1的度數(shù)為(

)AA.115° B.120°C.130° D.140°解析∵把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處,點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,∴∠1=∠EFB′,∠B′=∠B=90°,∵∠2=40°,∴∠CFB′=50°,∴∠1+∠EFB′-∠CFB′=180°,即∠1+∠1-50°=180°,解得:∠1=115°.返回考點(diǎn)突破返回例1

(2016·福州)如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是邊CD上一點(diǎn),將△ADM沿直線AM對(duì)折,得到△ANM.

(1)當(dāng)AN平分∠MAB時(shí),求DM的長(zhǎng);考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定答案解由折疊性質(zhì)得:△ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM,∵AN平分∠MAB,∴∠MAN=∠NAB,∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠DAM=30°,(2)連接BN,當(dāng)DM=1時(shí),求△ABN的面積;答案解延長(zhǎng)MN交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,如答圖1所示,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA=∠MAQ,由折疊性質(zhì)得:△ANM≌△ADM,∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=DM=1,∴∠MAQ=∠AMQ,∴MQ=AQ,設(shè)NQ=x,則AQ=MQ=1+x,∵∠ANM=90°,∴∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中,由勾股定理得:AQ2=AN2+NQ2,即(x+1)2=32+x2,解得:x=4,答案∴NQ=4,AQ=5,∵AB=4,AQ=5,(3)當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí),求DF的最大值.答案規(guī)律方法解過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BF于點(diǎn)H,如答圖2所示,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠HBA=∠BFC,∵∠AHB=∠BCF=90°,答案規(guī)律方法∵AH≤AN=3,AB=4,∴當(dāng)點(diǎn)N、H重合(即AH=AN)時(shí),AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此時(shí)點(diǎn)M、F重合,B、N、M三點(diǎn)共線,如答圖3所示,由折疊性質(zhì)得:AD=AH,∵AD=BC,∴AH=BC,在△ABH和△BFC中,規(guī)律方法∴△ABH≌△BFC(AAS),∴CF=BH,本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí).本題綜合性強(qiáng),難度較大,熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì),證明三角形相似和三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.規(guī)律方法練習(xí)1答案(2016·十堰)如圖,將矩形紙片ABCD(AD>AB)折疊,使點(diǎn)C剛好落在線段AD上,且折痕分別與邊BC,AD相交,設(shè)折疊后點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H,折痕分別與邊BC,AD相交于點(diǎn)E,F(xiàn).(1)判斷四邊形CEGF的形狀,并證明你的結(jié)論;解證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC,∵圖形翻折后點(diǎn)G與點(diǎn)C重合,EF為折線,∴∠GEF=∠FEC,∴∠GFE=∠FEG,∴GF=GE,∵圖形翻折后EC與GE完全重合,∴EC=GE,∴GF=EC,∴四邊形CEGF為菱形.答案(2)若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.答案解如答圖1,當(dāng)F與D重合時(shí),CE取最小值,由折疊的性質(zhì)得,CD=DG,∠CDE=∠GDE=45°,∵∠ECD=90°,∴∠DEC=45°=∠CDE,∴CE=CD=DG,∵DG∥CE,∴四邊形CEGD是正方形,∴CE=CD=AB=3;如答圖2,當(dāng)G與A重合時(shí),CE取最大值,由折疊的性質(zhì)得,AE=CE,∵∠B=90°,∴AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9-CE)2,解得:CE=5,∴線段CE的取值范圍為3≤CE≤5.菱形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)二例2

(2016·沈陽(yáng))如圖,△ABC≌△ABD,點(diǎn)E在邊AB上,CE∥BD,連接DE.求證:(1)∠CEB=∠CBE;答案證明

∵△ABC≌△ABD,∴∠ABC=∠ABD,∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,∴∠CEB=∠CBE.(2)四邊形BCED是菱形.答案規(guī)律方法證明

∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD,∵∠CEB=∠CBE,∴CE=CB,∴CE=BD,∵CE∥BD,∴四邊形BCED是平行四邊形,∵BC=BD,∴四邊形BCED是菱形.規(guī)律方法本題考查全等三角形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定等知識(shí),熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,記住平行四邊形、菱形的判定方法,屬于中考常考題型.(2016·蘇州)如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;練習(xí)2答案解證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°,∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,∴DE∥AC,∴四邊形ACDE是平行四邊形.(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周長(zhǎng).答案解∵四邊形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,AD=CD=5,∵四邊形ACDE是平行四邊形,∴AE=CD=5,DE=AC=8,∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+DE=5+5+8=18.考點(diǎn)三

正方形的性質(zhì)與判定A.2 B.3 C.4 D.5B答案分析規(guī)律方法分析

①∵四邊形ABCD是正方形,∴∠GAD=∠ADO=45°,故①正確.②由折疊的性質(zhì)可得:AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,∴AE=EF<BE,分析規(guī)律方法③∵∠AOB=90°,∴AG=FG>OG,△AGD與△OGD同高,∴S△AGD>S△OGD,故③錯(cuò)誤.④∵∠EFD=∠AOF=90°,∴EF∥AC,∴∠FEG=∠AGE,∵∠AGE=∠FGE,∴∠FEG=∠FGE,∴EF=GF,∵AE=EF,∴AE=GF,∴四邊形AEFG是菱形,故④正確.⑤∵四邊形AEFG是菱形,∴∠OGF=∠OAB=45°,分析規(guī)律方法⑥∵四邊形AEFG是菱形,∠BAO=45°,∠GOF=90°,∴△OGF是等腰直角三角形,∴AE=GF=2,分析規(guī)律方法綜上可知,其中正確結(jié)論的序號(hào)是:①④⑤.規(guī)律方法本題考查的是四邊形綜合題,涉及到正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí).本題綜合性較強(qiáng),難度較大,注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.規(guī)律方法練習(xí)3答案(2016·臨沂)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB上的點(diǎn),且CE=BF.連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.(1)請(qǐng)判斷:FG與CE的數(shù)量關(guān)系是____________,位置關(guān)系是____________;解

FG=CE;FG∥CE.FG=CEFG∥CE答案(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CB,BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)作出判斷并給予證明;解

FG=CE,F(xiàn)G∥CE.理由如下:過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,∵EG⊥DE,∴∠GEH+∠DEC=90°,∵∠GEH+∠EGH=90°,∴∠DEC=∠EGH,在△HGE和△CED中,∵∠GHE=∠ECD,∠EGH=∠DEC,EG=DE,∴△HGE≌△CED(AAS),∴GH=CE,HE=CD,∵CE=BF,∴GH=BF,答案∵GH∥BF,∴四邊形GHBF是矩形,∴FG=BH,F(xiàn)G∥CH,∴FG∥CE,∵四邊形ABCD是正方形,∴CD=BC,∴HE=BC,∴HE+EB=BC+EB,∴BH=CE,∴FG=CE.答案(3)如圖3,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.解

∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°,在△CBF與△DCE中,∵BF=CE,∠FBC=∠ECD,BC=DC,∴△CBF≌△DCE(SAS),∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,∵EG=DE,∴CF=EG,∵DE⊥EG,∴∠DEC+∠CEG=90°,∵∠CDE+∠DEC=90°,∴∠CDE=∠CEG,∴∠BCF=CEG,∴CF∥EG,∴四邊形CEGF是平行四邊形,∴FG∥CE,F(xiàn)G=CE.返回易錯(cuò)防范返回易錯(cuò)警示系列

26不認(rèn)真畫(huà)圖導(dǎo)致錯(cuò)誤試題在△ABC的兩邊AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH,過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線分別交BC于點(diǎn)D,交FH于M,求證:FM=MH.錯(cuò)誤答案展示證明:如圖,∵四

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